Matematikk R1 Eksamen høsten 2020 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - høsten 2020 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon ledd for ledd

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver \[f(x)=x^2+e^x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer polynomleddet og eksponentialleddet hver for seg.

Steg 1 - Potensregelen

\((x^2)^\prime=2x\).

Steg 2 - Eksponentialregelen

\((e^x)^\prime=e^x\).

Steg 3 - Summer

\[f^\prime(x)=2x+e^x.\]

Steg 4 - Domene

Begge ledd er definert og deriverbare for alle reelle x.

Steg 5 - Kontroll

En numerisk differansekvotient gir samme stigning.

Steg 6 - Konklusjon

Den deriverte består av summen av de to deriverte leddene.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^2+exp(x)] \(2x+e^x\)

Tolkning: CAS deriverer leddvis.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) f = x ** 2 + sp . exp ( x ) f_prime = sp . diff ( f , x ) expected = 2 * x + sp . exp ( x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( f_prime - expected )) print ( "Domain = all real numbers" ) 

Utskrift fra Python: f(x) = x**2 + exp(x) f'(x) = 2*x + exp(x) Expected = 2*x + exp(x) Difference = 0 Domain = all real numbers

Fasit: \(f^\prime(x)=2x+e^x\).

Vanlig feil: Å skrive den deriverte av \(e^x\) som 1. Sensorpunkt: Begge ledd må være derivert korrekt. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver \[g(x)=x^3\sqrt{2x-1}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt, og rotfaktoren krever kjerneregelen.

Steg 1 - Domene

Originalfunksjonen krever \(x\ge1/2\); den deriverte formelen gjelder for \(x>1/2\).

Steg 2 - Faktorer

Sett \(u=x^3\) og \(v=(2x-1)^{1/2}\).

Steg 3 - Deriver faktorene

\(u^\prime=3x^2\) og \(v^\prime=(2x-1)^{-1/2}\).

Steg 4 - Produktregelen

\[g^\prime=3x^2\sqrt{2x-1}+\frac{x^3}{\sqrt{2x-1}}.\]

Steg 5 - Felles nevner

\[g^\prime(x)=\frac{x^2(7x-3)}{\sqrt{2x-1}}.\]

Steg 6 - Kontroll

Utvidet og faktorisert form er algebraisk identiske.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^3*sqrt(2x-1)] \(x^2(7x-3)/\sqrt{2x-1}\)

Tolkning: CAS bruker produktregelen og kjerneregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) g = x ** 3 * sp . sqrt ( 2 * x - 1 ) g_prime = sp . diff ( g , x ) factored = sp . factor ( g_prime ) expected = x ** 2 * ( 7 * x - 3 ) / sp . sqrt ( 2 * x - 1 ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "Expanded derivative =" , sp . expand ( g_prime )) print ( "Factored derivative =" , factored ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( g_prime - expected )) print ( "Derivative domain: x > 1/2" ) 

Utskrift fra Python: g(x) = x**3*sqrt(2*x - 1) Expanded derivative = x**3/sqrt(2*x - 1) + 3*x**2*sqrt(2*x - 1) Factored derivative = x**2*(7*x - 3)/sqrt(2*x - 1) Expected = x**2*(7*x - 3)/sqrt(2*x - 1) Difference = 0 Derivative domain: x > 1/2

Fasit: \(g^\prime(x)=\dfrac{x^2(7x-3)}{\sqrt{2x-1}}\), for \(x>1/2\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 i kjerneregelen; den kansellerer med 1/2 fra rotderivasjonen. Sensorpunkt: Produktregel, kjerneregel og domene bør vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Kvotientregelen

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver \[h(x)=\frac{x^3}{x^2-1}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker kvotientregelen og beholder de utelukkede x-verdiene.

Steg 1 - Domene

\(x\ne-1\) og \(x\ne1\).

Steg 2 - Teller og nevner

\(u=x^3\), \(v=x^2-1\).

Steg 3 - Deriver

\(u^\prime=3x^2\), \(v^\prime=2x\).

Steg 4 - Kvotientregelen

\[h^\prime=\frac{3x^2(x^2-1)-x^3(2x)}{(x^2-1)^2}.\]

Steg 5 - Forenkle

\[h^\prime(x)=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}.\]

Steg 6 - Kontroll

Nevneren er kvadrert og definisjonsbegrensningen beholdes.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^3/(x^2-1)] \(x^2(x^2-3)/(x^2-1)^2\)

Tolkning: CAS bekrefter kvotientregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) h = x ** 3 / ( x ** 2 - 1 ) h_prime = sp . factor ( sp . diff ( h , x )) expected = x ** 2 * ( x ** 2 - 3 ) / ( x ** 2 - 1 ) ** 2 print ( "h(x) =" , h ) print ( "h'(x) =" , h_prime ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( h_prime - expected )) print ( "Excluded x-values =" , [ - 1 , 1 ]) 

Utskrift fra Python: h(x) = x**3/(x**2 - 1) h'(x) = x**2*(x**2 - 3)/((x - 1)**2*(x + 1)**2) Expected = x**2*(x**2 - 3)/(x**2 - 1)**2 Difference = 0 Excluded x-values = [-1, 1]

Fasit: \(h^\prime(x)=\dfrac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}\), \(x\ne\pm1\).

Vanlig feil: Å glemme minusleddet i telleren eller å ikke kvadrere nevneren. Sensorpunkt: Korrekt kvotientregel og definisjonsmengde. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Logaritmeregler

Oppgave 2

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[2\ln(a^3b^4)-3\ln a-3\ln(ab^2).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker produkt- og potensreglene for logaritmer. Uttrykket forutsetter \(a>0\) og \(b>0\).

Steg 1 - Første logaritme

\(\ln(a^3b^4)=3\ln a+4\ln b\).

Steg 2 - Multipliser med 2

\(2\ln(a^3b^4)=6\ln a+8\ln b\).

Steg 3 - Siste logaritme

\(3\ln(ab^2)=3\ln a+6\ln b\).

Steg 4 - Samle a-ledd

\(6\ln a-3\ln a-3\ln a=0\).

Steg 5 - Samle b-ledd

\(8\ln b-6\ln b=2\ln b\).

Steg 6 - Skriv kompakt

\[2\ln b=\ln(b^2).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Expand[2ln(a^3 b^4)-3ln(a)-3ln(a b^2)] \(2\ln b\)

Tolkning: Under antakelsen a>0 og b>0 kanselleres alle a-leddene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp a , b = sp . symbols ( "a b" , positive = True ) expr = 2 * sp . log ( a ** 3 * b ** 4 ) - 3 * sp . log ( a ) - 3 * sp . log ( a * b ** 2 ) expanded = sp . expand_log ( expr , force = True ) simplified = sp . simplify ( expanded ) print ( "Original expression =" , expr ) print ( "Expanded logs =" , expanded ) print ( "Simplified =" , simplified ) print ( "Equivalent compact form =" , sp . log ( b ** 2 )) print ( "Difference =" , sp . simplify ( simplified - 2 * sp . log ( b ))) 

Utskrift fra Python: Original expression = -3*log(a) - 3*log(a*b**2) + 2*log(a**3*b**4) Expanded logs = 2*log(b) Simplified = 2*log(b) Equivalent compact form = log(b**2) Difference = 0

Fasit: \(2\ln b\), eventuelt \(\ln(b^2)\).

Vanlig feil: Å bruke logaritmeregler uten å forutsette positive argumenter. Sensorpunkt: Mellomregningen som viser kanselleringen bør være med. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Polynomlikning og kontroll

Oppgave 3a

Oppgave: Vis at \(x=2\) er en løsning av \[x^3+2x^2=5x+6.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter inn x=2 på begge sider.

Steg 1 - Venstresiden

\(2^3+2\cdot2^2=8+8=16\).

Steg 2 - Høyresiden

\(5\cdot2+6=10+6=16\).

Steg 3 - Sammenlikn

Begge sider blir 16.

Steg 4 - Nullform

\(P(x)=x^3+2x^2-5x-6\).

Steg 5 - Restsetningen

\(P(2)=0\), så \(x-2\) er en faktor.

Steg 6 - Konklusjon

Dermed er x=2 en løsning.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Substitute[x^3+2x^2=5x+6,x,2] \(16=16\)

Tolkning: Innsetting gir en sann likhet.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) left = x ** 3 + 2 * x ** 2 right = 5 * x + 6 print ( "Left at x=2 =" , left . subs ( x , 2 )) print ( "Right at x=2 =" , right . subs ( x , 2 )) print ( "Difference at x=2 =" , sp . simplify (( left - right ) . subs ( x , 2 ))) print ( "Polynomial factorization =" , sp . factor ( left - right )) print ( "x=2 is solution =" , left . subs ( x , 2 ) == right . subs ( x , 2 )) 

Utskrift fra Python: Left at x=2 = 16 Right at x=2 = 16 Difference at x=2 = 0 Polynomial factorization = (x - 2)*(x + 1)*(x + 3) x=2 is solution = True

Fasit: Begge sider er 16, derfor er \(x=2\) en løsning.

Vanlig feil: Å bare skrive at x=2 er en løsning uten innsetting. Sensorpunkt: Begge sider eller P(2)=0 må dokumenteres. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Fortegnsskjema for tredjegrad

Oppgave 3b

Oppgave: Løs \[x^3+2x^2<5x+6.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi flytter alt til venstre, faktoriserer og analyserer fortegnet.

Steg 1 - Nullform

\[x^3+2x^2-5x-6<0.\]

Steg 2 - Faktoriser

\[(x-2)(x+1)(x+3)<0.\]

Steg 3 - Kritiske punkter

Nullpunktene er \(-3,-1,2\).

Steg 4 - Fortegn

Med positivt ledende ledd skifter fortegnet ved hvert enkelt nullpunkt.

Steg 5 - Negative intervaller

Uttrykket er negativt på \(( -\infty,-3)\) og \((-1,2)\). …