Matematikk R1 Eksempeloppgave våren 2015 – løsningsforslag

Matematikk R1 - eksempelsett våren 2015 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon - potensregelen

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(t)=0{,}02t^3+0{,}6t^2+4{,}1.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et polynom ledd for ledd ved hjelp av potensregelen. Konstantleddet får derivert lik 0.

Steg 1 - Skriv potensregelen

For et ledd \(ct^n\) er den deriverte \(cnt^{n-1}\).

Steg 2 - Deriver tredjegradsleddet

\[\frac{d}{dt}(0{,}02t^3)=3\cdot0{,}02t^2=0{,}06t^2.\]

Steg 3 - Deriver andregradsleddet

\[\frac{d}{dt}(0{,}6t^2)=2\cdot0{,}6t=1{,}2t.\]

Steg 4 - Deriver konstanten

\[\frac{d}{dt}(4{,}1)=0.\]

Steg 5 - Summer de deriverte leddene

\[f'(t)=0{,}06t^2+1{,}2t+0.\]

Steg 6 - Skriv sluttresultatet ryddig

\[f'(t)=0{,}06t^2+1{,}2t.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[0.02t^3+0.6t^2+4.1,t] \(0{,}06t^2+1{,}2t\)

Tolkning: CAS bekrefter den leddvise derivasjonen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp t = sp.symbols("t") f = sp.Rational(2, 100)*t**3 + sp.Rational(6, 10)*t**2 + sp.Rational(41, 10) print("f(t) =", f) print("Deriver ledd for ledd:") print("d/dt(0.02*t^3) =", sp.diff(sp.Rational(2,100)*t**3, t)) print("d/dt(0.6*t^2) =", sp.diff(sp.Rational(6,10)*t**2, t)) print("d/dt(4.1) =", sp.diff(sp.Rational(41,10), t)) print("f'(t) =", sp.diff(f, t))

Utskrift fra Python: f(t) = t**3/50 + 3*t**2/5 + 41/10 Deriver ledd for ledd: d/dt(0.02*t^3) = 3*t**2/50 d/dt(0.6*t^2) = 6*t/5 d/dt(4.1) = 0 f'(t) = 3*t**2/50 + 6*t/5

Fasit: \(f'(t)=0{,}06t^2+1{,}2t\).

Vanlig feil: Å redusere eksponenten uten å multiplisere med den gamle eksponenten. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt potensregel på begge ledd og at konstantleddet forsvinner. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Derivasjon - produkt og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x^2\cdot e^{2x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produktregelen fordi funksjonen er et produkt, og kjerneregelen når vi deriverer eksponentialfunksjonen.

Steg 1 - Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=e^{2x}\).

Steg 2 - Deriver første faktor

\[u'(x)=2x.\]

Steg 3 - Deriver andre faktor med kjerneregel

Den indre funksjonen er \(2x\), med derivert 2. Derfor \[v'(x)=2e^{2x}.\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[g'(x)=u'v+uv'=2x e^{2x}+x^2\cdot2e^{2x}.\]

Steg 5 - Trekk ut felles faktor

Begge ledd inneholder \(2xe^{2x}\): \[g'(x)=2xe^{2x}(1+x).\]

Steg 6 - Skriv i vanlig rekkefølge

\[g'(x)=2x(x+1)e^{2x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^2*exp(2x),x] \(2xe^{2x}+2x^2e^{2x}\) 2 Factor[Derivative[x^2*exp(2x),x]] \(2x(x+1)e^{2x}\)

Tolkning: CAS gir samme uttrykk både utvidet og faktorisert.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") u = x**2 v = sp.exp(2*x) g = u*v print("u(x) =", u) print("u'(x) =", sp.diff(u, x)) print("v(x) =", v) print("v'(x) =", sp.diff(v, x)) print("Produktregelen: g' = u'*v + u*v'") print("g'(x) før faktorisering =", sp.expand(sp.diff(g, x))) print("g'(x) faktorisert =", sp.factor(sp.diff(g, x)))

Utskrift fra Python: u(x) = x**2 u'(x) = 2*x v(x) = exp(2*x) v'(x) = 2*exp(2*x) Produktregelen: g' = u'*v + u*v' g'(x) før faktorisering = 2*x**2*exp(2*x) + 2*x*exp(2*x) g'(x) faktorisert = 2*x*(x + 1)*exp(2*x)

Fasit: \(g'(x)=2x(x+1)e^{2x}\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte 2 i \(e^{2x}\), eller å bruke produktregelen som et produkt av de deriverte. Sensorpunkt: Sensor ser etter både produktregelen og kjerneregelen, med tydelig faktorisering. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Derivasjon - logaritme og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\ln(x^3+1).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke regelen for den deriverte av \(\ln u\), kombinert med kjerneregelen.

Steg 1 - Finn den indre funksjonen

Sett \(u(x)=x^3+1\).

Steg 2 - Deriver den indre funksjonen

\[u'(x)=3x^2.\]

Steg 3 - Skriv logaritmeregelen

\[\frac{d}{dx}\ln u(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.\]

Steg 4 - Sett inn u og u-prime

\[h'(x)=\frac{3x^2}{x^3+1}.\]

Steg 5 - Kontroller definisjonsmengden

Logaritmen krever \(x^3+1>0\), altså \(x>-1\).

Steg 6 - Knytt svaret til domenet

Den deriverte gjelder på hele funksjonens definisjonsmengde, \(x>-1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[ln(x^3+1),x] \(\dfrac{3x^2}{x^3+1}\) 2 Solve[x^3+1>0,x] \(x>-1\)

Tolkning: CAS bekrefter både derivert og definisjonskrav.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) u = x**3 + 1 h = sp.log(u) print("Indre funksjon u(x) =", u) print("u'(x) =", sp.diff(u, x)) print("Regel: d/dx ln(u) = u'/u") print("h'(x) =", sp.simplify(sp.diff(h, x))) print("Definisjonskrav: x^3 + 1 > 0") print("Dette gir x > -1")

Utskrift fra Python: Indre funksjon u(x) = x**3 + 1 u'(x) = 3*x**2 Regel: d/dx ln(u) = u'/u h'(x) = 3*x**2/(x**3 + 1) Definisjonskrav: x^3 + 1 > 0 Dette gir x > -1

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{3x^2}{x^3+1}\), for \(x>-1\).

Vanlig feil: Å skrive \(1/(x^3+1)\) uten å multiplisere med den indre deriverte \(3x^2\). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel og et gyldig uttrykk på riktig definisjonsmengde. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Polynom - restsetningen

Oppgave 2a

Oppgave: En polynomfunksjon \(f\) er gitt ved \[f(x)=x^3+ax^2-13x+15.\] Bestem \(a\) slik at \(f(x)\) blir delelig med \((x-1)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke restsetningen: et polynom er delelig med \(x-1\) akkurat når \(f(1)=0\).

Steg 1 - Bruk restsetningen

Kravet er \(f(1)=0\).

Steg 2 - Sett x lik 1

\[f(1)=1^3+a\cdot1^2-13\cdot1+15.\]

Steg 3 - Regn sammen konstantene

\[f(1)=1+a-13+15=a+3.\]

Steg 4 - Sett resten lik null

\[a+3=0.\]

Steg 5 - Løs likningen

\[a=-3.\]

Steg 6 - Kontroller deleligheten

Med \(a=-3\) får vi \(f(1)=1-3-13+15=0\), så \(x-1\) er en faktor.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[Substitute[x^3+a*x^2-13x+15,x,1]=0,a] \(a=-3\) 2 Factor[x^3-3x^2-13x+15] \((x-1)(x-5)(x+3)\)

Tolkning: CAS viser at a=-3 gir faktoren x-1.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x, a = sp.symbols("x a") f = x**3 + a*x**2 - 13*x + 15 value = sp.expand(f.subs(x, 1)) solution = sp.solve(sp.Eq(value, 0), a) print("f(x) =", f) print("Restsetningen: divisjon med x-1 krever f(1)=0") print("f(1) =", value) print("Likning:", sp.Eq(value, 0)) print("Løsning for a =", solution) print("Kontroll med a=-3: f(1) =", f.subs({a:-3, x:1}))

Utskrift fra Python: f(x) = a*x**2 + x**3 - 13*x + 15 Restsetningen: divisjon med x-1 krever f(1)=0 f(1) = a + 3 Likning: Eq(a + 3, 0) Løsning for a = [-3] Kontroll med a=-3: f(1) = 0

Fasit: \(a=-3\).

Vanlig feil: Å sette \(x=-1\) fordi faktoren er \(x-1\). Nullpunktet til faktoren er \(x=1\). Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt bruk av restsetningen og en kontroll av \(f(1)=0\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Polynomulikhet - fortegnsskjema

Oppgave 2b

Oppgave: Løs ulikheten \(f(x)\leq0\) for denne \(a\)-verdien. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere polynomet for \(a=-3\), finne nullpunktene og bruke fortegnsskifte mellom dem.

Steg 1 - Sett inn a-verdien

\[f(x)=x^3-3x^2-13x+15.\]

Steg 2 - Bruk den kjente faktoren

Siden \(x-1\) er en faktor, dividerer vi og får \[f(x)=(x-1)(x^2-2x-15).\]

Steg 3 - Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2-2x-15=(x-5)(x+3).\]

Steg 4 - Finn nullpunktene

\[x=-3,\quad x=1,\quad x=5.\]

Steg 5 - Bestem fortegnene

Med positiv ledende koeffisient og tre enkle nullpunkter veksler fortegnet: negativt før -3, positivt mellom -3 og 1, negativt mellom 1 og 5, og positivt etter 5.

Steg 6 - Ta med nullpunktene

Ulikheten er \(\leq0\), derfor skal nullpunktene inkluderes.

Steg 7 - Skriv intervallsvaret

\[x\in(-\infty,-3]\cup[1,5].\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Factor[x^3-3x^2-13x+15] \((x+3)(x-1)(x-5)\) 2 Solve[x^3-3x^2-13x+15<=0,x] \(x\leq-3\ \lor\ 1\leq x\leq5\)

Tolkning: CAS bekrefter både faktoriseringen og intervallene. …