Matematikk R1 Eksamen høst 2013 (REA3022) – løsningsforslag

Matematikk R1 — eksamen høst 2013 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon · kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=2\cdot e^{3x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en eksponentialfunksjon der eksponenten er en indre funksjon. Derfor må kjerneregelen brukes.

Steg 1 — Finn den indre funksjonen

Sett \(u(x)=3x\). Da kan funksjonen skrives som \(f(x)=2e^{u(x)}\).

Steg 2 — Deriver den indre funksjonen

Den deriverte av \(u(x)=3x\) er \(u^{\prime}(x)=3\).

Steg 3 — Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(e^u\) med hensyn på \(u\) er fortsatt \(e^u\).

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

Kjerneregelen gir \[(e^{3x})^{\prime}=e^{3x}\cdot3.\]

Steg 5 — Ta med konstantfaktoren

Faktoren 2 beholdes: \[f^{\prime}(x)=2\cdot e^{3x}\cdot3.\]

Steg 6 — Multipliser konstantene

Siden \(2\cdot3=6\), får vi \[f^{\prime}(x)=6e^{3x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative[2 exp(3x)] \(6e^{3x}\) 2 Simplify[Derivative[2 exp(3x)]/(exp(3x))] 6

Tolkning: CAS bekrefter at den deriverte er seks ganger samme eksponentialfaktor.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') f = 2*exp(3*x) u = 3*x u_derivert = diff(u, x) f_derivert = diff(f, x) forventet = 6*exp(3*x) print("f(x) =", f) print("Indre funksjon u(x) =", u) print("u'(x) =", u_derivert) print("Kjerneregelen: 2*exp(u)*u'(x)") print("f'(x) =", f_derivert) print("Kontroll f'(x)-6*exp(3x) =", simplify(f_derivert-forventet))

Utskrift fra Python: f(x) = 2*exp(3*x) Indre funksjon u(x) = 3*x u'(x) = 3 Kjerneregelen: 2*exp(u)*u'(x) f'(x) = 6*exp(3*x) Kontroll f'(x)-6*exp(3x) = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=6e^{3x}\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte 3 og svare \(2e^{3x}\). Sensorpunkt: Sensor ser etter kjerneregelen og faktoren 3 fra den indre funksjonen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Derivasjon · produkt og logaritme

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=2x\cdot\ln(3x).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av \(2x\) og \(\ln(3x)\). Produktregelen og kjerneregelen for logaritmen må kombineres.

Steg 1 — Kontroller definisjonsmengden

Siden \(\ln(3x)\) krever \(3x>0\), arbeider vi med \(x>0\).

Steg 2 — Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=2x\) og \(v(x)=\ln(3x)\).

Steg 3 — Deriver den første faktoren

Vi får \(u^{\prime}(x)=2\).

Steg 4 — Deriver logaritmefaktoren

Kjerneregelen gir \[v^{\prime}(x)=\frac{1}{3x}\cdot3=\frac1x.\]

Steg 5 — Bruk produktregelen

\[g^{\prime}(x)=u^{\prime}v+uv^{\prime}=2\ln(3x)+2x\cdot\frac1x.\]

Steg 6 — Forenkle

Siden \(2x\cdot1/x=2\), blir \[g^{\prime}(x)=2\ln(3x)+2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative[2x ln(3x)] \(2\ln(3x)+2\) 2 Simplify[Derivative[ln(3x)]] \(1/x\)

Tolkning: CAS bekrefter både produktregelen og den forenklede deriverte.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) g = 2*x*log(3*x) u = 2*x v = log(3*x) u_derivert = diff(u, x) v_derivert = diff(v, x) g_derivert = simplify(diff(g, x)) print("Forutsetning: x > 0") print("g(x) =", g) print("u(x) =", u, "og u'(x) =", u_derivert) print("v(x) =", v, "og v'(x) =", v_derivert) print("Produktregelen: u'v + uv'") print("g'(x) = 2*log(3*x) + 2*x*(1/x)") print("Forenklet g'(x) =", g_derivert) print("Kontroll =", simplify(g_derivert-(2*log(3*x)+2)))

Utskrift fra Python: Forutsetning: x > 0 g(x) = 2*x*log(3*x) u(x) = 2*x og u'(x) = 2 v(x) = log(3*x) og v'(x) = 1/x Produktregelen: u'v + uv' g'(x) = 2*log(3*x) + 2*x*(1/x) Forenklet g'(x) = 2*log(3*x) + 2 Kontroll = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=2\ln(3x)+2\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å bruke produktregelen ufullstendig eller å skrive \((\ln(3x))^{\prime}=1/(3x)\) uten kjerneregelens faktor 3. Sensorpunkt: Sensor ser etter begge ledd i produktregelen og korrekt derivasjon av \(\ln(3x)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Derivasjon · brøkregelen

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\frac{2x-1}{x+1}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en kvotient. Derfor bruker vi brøkregelen og forenkler telleren nøye.

Steg 1 — Definer teller og nevner

La \(u(x)=2x-1\) og \(v(x)=x+1\).

Steg 2 — Deriver teller og nevner

Da er \(u^{\prime}(x)=2\) og \(v^{\prime}(x)=1\).

Steg 3 — Skriv brøkregelen

\[h^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}.\]

Steg 4 — Sett inn uttrykkene

\[h^{\prime}(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)\cdot1}{(x+1)^2}.\]

Steg 5 — Forenkle telleren

\[2x+2-2x+1=3.\]

Steg 6 — Skriv sluttresultatet

Dermed er \[h^{\prime}(x)=\frac{3}{(x+1)^2},\qquad x\ne-1.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative[(2x-1)/(x+1)] \(3/(x+1)^2\) 2 Factor[Derivative[(2x-1)/(x+1)]] \(3/(x+1)^2\)

Tolkning: CAS bekrefter at alle x-leddene i telleren kansellerer.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, simplify x = symbols('x') h = (2*x-1)/(x+1) teller = 2*x-1 nevner = x+1 h_derivert = factor(diff(h, x)) print("h(x) =", h) print("Teller u(x) =", teller, "med u'(x) =", diff(teller,x)) print("Nevner v(x) =", nevner, "med v'(x) =", diff(nevner,x)) print("Brøkregelen: (u'v-u v')/v^2") print("Teller i den deriverte = 2*(x+1)-(2*x-1)*1") print("Forenklet teller =", simplify(2*(x+1)-(2*x-1))) print("h'(x) =", h_derivert) print("Kontroll =", simplify(h_derivert-3/(x+1)**2))

Utskrift fra Python: h(x) = (2*x - 1)/(x + 1) Teller u(x) = 2*x - 1 med u'(x) = 2 Nevner v(x) = x + 1 med v'(x) = 1 Brøkregelen: (u'v-u v')/v^2 Teller i den deriverte = 2*(x+1)-(2*x-1)*1 Forenklet teller = 3 h'(x) = 3/(x + 1)**2 Kontroll = 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=\dfrac{3}{(x+1)^2}\), \(x\ne-1\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil når parentesen \(-(2x-1)\) åpnes. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt rekkefølge \(u^{\prime}v-uv^{\prime}\) og en ryddig forenkling av telleren. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Polynomer · faktorsetningen

Oppgave 2a

Oppgave: Polynomfunksjonen \(P\) er gitt ved \[P(x)=x^3-6x^2+11x-6.\] Vis at divisjonen \(P(x):(x-1)\) går opp, uten å utføre divisjonen. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke faktorsetningen: divisjonen med \(x-1\) går opp dersom \(P(1)=0\).

Steg 1 — Knytt divisoren til en x-verdi

Divisoren er \(x-1\). Vi setter derfor \(x=1\) i polynomet.

Steg 2 — Sett inn x=1

\[P(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6.\]

Steg 3 — Regn potensene

Dette gir \[P(1)=1-6+11-6.\]

Steg 4 — Summer leddene

\[1-6+11-6=0.\]

Steg 5 — Bruk faktorsetningen

Når \(P(1)=0\), er \(x-1\) en faktor i \(P(x)\).

Steg 6 — Konkluder

Resten ved divisjon med \(x-1\) er 0. Derfor går divisjonen opp uten at vi trenger å utføre den.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 P(x):=x^3-6x^2+11x-6 2 P(1) 0 3 Factor[P(x)] \((x-1)(x-2)(x-3)\)

Tolkning: CAS bekrefter at resten er 0 og viser den fullstendige faktoriseringen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, expand, factor x = symbols('x') P = x**3-6*x**2+11*x-6 verdi = P.subs(x,1) print("P(x) =", P) print("P(1) = 1^3 - 6*1^2 + 11*1 - 6") print("P(1) =", verdi) print("Faktorsetningen: P(1)=0 innebærer at x-1 er faktor") print("Faktorisert P(x) =", factor(P)) print("Kontroll etter utvidelse =", expand((x-1)*(x-2)*(x-3)))

Utskrift fra Python: P(x) = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6 P(1) = 1^3 - 6*1^2 + 11*1 - 6 P(1) = 0 Faktorsetningen: P(1)=0 innebærer at x-1 er faktor Faktorisert P(x) = (x - 3)*(x - 2)*(x - 1) Kontroll etter utvidelse = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6

Fasit: \(P(1)=0\), derfor går \(P(x):(x-1)\) opp.

Vanlig feil: Å sette inn \(x=-1\). For faktoren \(x-1\) skal nullpunktet \(x=1\) brukes. Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt beregning av \(P(1)\) og en korrekt henvisning til faktorsetningen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Polynomdivisjon · ulikhet

Oppgave 2b

Oppgave: Utfør polynomdivisjonen og løs ulikheten \[P(x)\ge 0.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først dividere med \(x-1\), faktorisere kvotienten og deretter bruke et fortegnsskjema.

Steg 1 — Utfør første ledd i divisjonen

\(x^3:x=x^2\). Vi multipliserer \(x^2(x-1)=x^3-x^2\) og trekker fra.

Steg 2 — Fortsett divisjonen

Etter subtraksjon står vi igjen med \(-5x^2+11x-6\). Neste ledd er \(-5x\).

Steg 3 — Fullfør divisjonen

Til slutt får vi kvotienten \[x^2-5x+6\] og rest 0.

Steg 4 — Faktoriser kvotienten

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\] Dermed \[P(x)=(x-1)(x-2)(x-3).\]

Steg 5 — Lag fortegnsskjema

Nullpunktene 1, 2 og 3 deler tallinjen i fire intervaller. Fortegnet skifter ved hvert enkelt nullpunkt.

Steg 6 — Ta med nullpunktene

Siden ulikheten er \(\ge0\), skal intervallene med positivt fortegn og alle nullpunktene inkluderes. …