Matematikk R1 Eksamen høsten 2017 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - høsten 2017 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon - polynom

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=3x^2-2x+1.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensregelen og derivere hvert ledd separat.

Steg 1 - Identifiser leddene

Funksjonen består av leddene \(3x^2\), \(-2x\) og konstanten \(1\).

Steg 2 - Bruk potensregelen

For \(ax^n\) gjelder \(\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1}\).

Steg 3 - Deriver andregradsleddet

\[\frac{d}{dx}(3x^2)=3\cdot2x=6x.\]

Steg 4 - Deriver førstegradsleddet

\[\frac{d}{dx}(-2x)=-2.\]

Steg 5 - Deriver konstanten

\[\frac{d}{dx}(1)=0.\]

Steg 6 - Samle resultatet

\[f^{\prime}(x)=6x-2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[3x^2-2x+1,x] \(6x-2\)

Tolkning: CAS deriverer polynomet ledd for ledd.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) f = 3*x**2 - 2*x + 1 term_1 = sp.diff(3*x**2, x) term_2 = sp.diff(-2*x, x) term_3 = sp.diff(1, x) derivative = sp.diff(f, x) print("f(x) =", f) print("Derivative of 3*x**2 =", term_1) print("Derivative of -2*x =", term_2) print("Derivative of 1 =", term_3) print("f'(x) =", derivative) print("Expanded check =", sp.expand(derivative))

Utskrift fra Python: f(x) = 3*x**2 - 2*x + 1 Derivative of 3*x**2 = 6*x Derivative of -2*x = -2 Derivative of 1 = 0 f'(x) = 6*x - 2 Expanded check = 6*x - 2

Fasit: \(f^{\prime}(x)=6x-2\).

Vanlig feil: Å la konstantleddet bli stående i den deriverte. Sensorpunkt: Sensor forventer riktig bruk av potensregelen på alle tre ledd. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Derivasjon - produktregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x^2e^x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av to funksjoner, så vi må bruke produktregelen.

Steg 1 - Del produktet

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=e^x\).

Steg 2 - Deriver faktorene

\[u^{\prime}(x)=2x,\qquad v^{\prime}(x)=e^x.\]

Steg 3 - Skriv produktregelen

\[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 4 - Sett inn

\[g^{\prime}(x)=2x e^x+x^2e^x.\]

Steg 5 - Faktoriser

Begge ledd inneholder \(xe^x\): \[g^{\prime}(x)=xe^x(x+2).\]

Steg 6 - Kontroller struktur

Den deriverte må inneholde bidrag fra både \(x^2\) og \(e^x\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^2 exp(x),x] \(x(x+2)e^x\) 2 Factor[%] \(x(x+2)e^x\)

Tolkning: CAS bekrefter både den utvidede og faktoriserte formen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) u = x**2 v = sp.exp(x) u_prime = sp.diff(u, x) v_prime = sp.diff(v, x) product_rule = sp.expand(u_prime*v + u*v_prime) factored = sp.factor(product_rule) print("u(x) =", u) print("v(x) =", v) print("u'(x) =", u_prime) print("v'(x) =", v_prime) print("Product rule gives =", product_rule) print("Factored derivative =", factored) print("Direct SymPy derivative =", sp.diff(u*v, x))

Utskrift fra Python: u(x) = x**2 v(x) = exp(x) u'(x) = 2*x v'(x) = exp(x) Product rule gives = x**2*exp(x) + 2*x*exp(x) Factored derivative = x*(x + 2)*exp(x) Direct SymPy derivative = x**2*exp(x) + 2*x*exp(x)

Fasit: \(g^{\prime}(x)=e^x(x^2+2x)=xe^x(x+2)\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som produktet av de deriverte. Sensorpunkt: Produktregelen må vises eksplisitt før uttrykket faktoriseres. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Derivasjon - kjerneregelen

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\ln(x^3-1).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt logaritmefunksjon med kjerneregelen.

Steg 1 - Finn ytre og indre funksjon

Ytre funksjon er \(\ln u\), mens kjernen er \(u=x^3-1\).

Steg 2 - Deriver ytre funksjon

\[\frac{d}{du}\ln u=\frac1u.\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u^{\prime}=3x^2.\]

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\[h^{\prime}(x)=\frac{1}{x^3-1}\cdot3x^2.\]

Steg 5 - Skriv samlet svar

\[h^{\prime}(x)=\frac{3x^2}{x^3-1}.\]

Steg 6 - Kontroller definisjonsmengden

For den opprinnelige funksjonen må \(x^3-1>0\), altså \(x>1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[ln(x^3-1),x] \(\frac{3x^2}{x^3-1}\)

Tolkning: CAS bruker kjerneregelen på logaritmen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) inner = x**3 - 1 h = sp.log(inner) inner_prime = sp.diff(inner, x) h_prime = sp.diff(h, x) print("Inner function =", inner) print("Derivative of inner function =", inner_prime) print("h(x) =", h) print("h'(x) =", h_prime) print("Combined fraction =", sp.together(h_prime)) print("Domain condition: x**3 - 1 > 0") print("Domain solution =", sp.solve_univariate_inequality(inner > 0, x))

Utskrift fra Python: Inner function = x**3 - 1 Derivative of inner function = 3*x**2 h(x) = log(x**3 - 1) h'(x) = 3*x**2/(x**3 - 1) Combined fraction = 3*x**2/(x**3 - 1) Domain condition: x**3 - 1 > 0 Domain solution = 1 < x

Fasit: \(h^{\prime}(x)=\frac{3x^2}{x^3-1}\), for \(x>1\).

Vanlig feil: Å glemme å multiplisere med den deriverte av kjernen. Sensorpunkt: Både brøkformen og den relevante definisjonsmengden bør være korrekt. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Logaritmeregler

Oppgave 2

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[2\ln b-\ln\!\left(\frac1b\right)-\ln(ab^2)+\ln\!\left(\frac{a}{b^2}\right).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produkt-, kvotient- og potensreglene for logaritmer. Uttrykket forutsetter \(a>0\) og \(b>0\).

Steg 1 - Skriv om den første brøken

\[\ln\!\left(\frac1b\right)=\ln1-\ln b=-\ln b.\]

Steg 2 - Skriv om produktet

\[\ln(ab^2)=\ln a+2\ln b.\]

Steg 3 - Skriv om den siste brøken

\[\ln\!\left(\frac{a}{b^2}\right)=\ln a-2\ln b.\]

Steg 4 - Sett alt inn

\[2\ln b-(-\ln b)-(\ln a+2\ln b)+(\ln a-2\ln b).\]

Steg 5 - Samle \(\ln a\)-leddene

Leddene \(-\ln a+\ln a\) kansellerer hverandre.

Steg 6 - Samle \(\ln b\)-leddene

\[(2+1-2-2)\ln b=-\ln b.\]

Steg 7 - Alternativ sluttform

\[-\ln b=\ln\!\left(\frac1b\right).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Simplify[2 ln(b)-ln(1/b)-ln(a b^2)+ln(a/b^2)] \(-\ln b\)

Tolkning: Med antakelsene \(a>0\) og \(b>0\) reduseres uttrykket til én logaritme.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp a, b = sp.symbols("a b", positive=True) expression = 2*sp.log(b) - sp.log(1/b) - sp.log(a*b**2) + sp.log(a/b**2) expanded = 2*sp.log(b) + sp.log(b) - (sp.log(a) + 2*sp.log(b)) + (sp.log(a) - 2*sp.log(b)) simplified = sp.simplify(expanded) print("Original expression =", expression) print("After applying log rules =", expanded) print("Coefficient of log(a) =", -1 + 1) print("Coefficient of log(b) =", 2 + 1 - 2 - 2) print("Simplified expression =", simplified) print("Equivalent form =", sp.log(1/b)) print("Difference check =", sp.simplify(simplified - sp.log(1/b)))

Utskrift fra Python: Original expression = -log(1/b) + 2*log(b) + log(a/b**2) - log(a*b**2) After applying log rules = -log(b) Coefficient of log(a) = 0 Coefficient of log(b) = -1 Simplified expression = -log(b) Equivalent form = log(1/b) Difference check = 0

Fasit: Uttrykket blir \(-\ln b=\ln(1/b)\).

Vanlig feil: Å bruke \(\ln(u+v)=\ln u+\ln v\), som ikke er en gyldig regel. Sensorpunkt: Fortegnene foran hele logaritmeuttrykk må håndteres riktig. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Vektorer - lineær kombinasjon

Oppgave 3a

Oppgave: Vektorene \(\vec a=[3,1]\) og \(\vec b=[4,2]\) er gitt. Bestem \(\vec a-2\vec b\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal multiplisere \(\vec b\) med 2 og trekke komponentvis.

Steg 1 - Skriv vektorene

\[\vec a=[3,1],\qquad \vec b=[4,2].\]

Steg 2 - Multipliser \(\vec b\) med 2

\[2\vec b=[8,4].\]

Steg 3 - Trekk første komponent

\[3-8=-5.\]

Steg 4 - Trekk andre komponent

\[1-4=-3.\]

Steg 5 - Skriv resultatvektoren

\[\vec a-2\vec b=[-5,-3].\]

Steg 6 - Kontroller

Legger vi til \(2\vec b\) igjen, får vi \([-5,-3]+[8,4]=[3,1]=\vec a\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Vector[(3,1)]-2 Vector[(4,2)] \((-5,-3)\)

Tolkning: GeoGebra trekker vektorene komponentvis.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp a = sp.Matrix([3, 1]) b = sp.Matrix([4, 2]) two_b = 2*b result = a - two_b check = result + two_b print("a =", list(a)) print("b =", list(b)) print("2*b =", list(two_b)) print("First component: 3 - 8 =", result[0]) print("Second component: 1 - 4 =", result[1]) print("a - 2*b =", list(result)) print("Check by adding 2*b =", list(check))

Utskrift fra Python: a = [3, 1] b = [4, 2] 2*b = [8, 4] First component: 3 - 8 = -5 Second component: 1 - 4 = -3 a - 2*b = [-5, -3] Check by adding 2*b = [3, 1]

Fasit: \(\vec a-2\vec b=[-5,-3]\). …