Matematikk R1 Eksamen vår 2011 (REA3022) – løsningsforslag

Matematikk R1 — eksamen vår 2011 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon · brøk og potens

Oppgave 1a

Oppgave: Vis at den deriverte til funksjonen \[O(x)=\frac{500}{x}+8x^2\] er \[O^{\prime}(x)=\frac{-500+16x^3}{x^2}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere ledd for ledd og deretter samle svaret over fellesnevneren \(x^2\).

Steg 1 — Skriv brøkleddet som en potens

Vi skriver \(500/x=500x^{-1}\). Det gjør potensregelen direkte anvendelig.

Steg 2 — Deriver første ledd

\((500x^{-1})^{\prime}=500\cdot(-1)x^{-2}=-500x^{-2}=-500/x^2\).

Steg 3 — Deriver andre ledd

\((8x^2)^{\prime}=16x\) ved potensregelen.

Steg 4 — Sett sammen de deriverte

Dermed er \(O^{\prime}(x)=-500/x^2+16x\).

Steg 5 — Finn fellesnevner

Skriv \(16x=16x^3/x^2\). Begge ledd har da nevner \(x^2\).

Steg 6 — Samle telleren

Vi får \[O^{\prime}(x)=\frac{-500+16x^3}{x^2}.\] Dette gjelder for \(x\neq0\), og i prismemodellen er \(x>0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative[500/x + 8x^2] \(-500/x^2+16x\) 2 Together[-500/x^2+16x] \((-500+16x^3)/x^2\)

Tolkning: CAS bekrefter både den deriverte og den samlede brøkformen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, diff, simplify, factor x = symbols('x', positive=True) O = 500/x + 8*x**2 O_derivert = diff(O, x) forventet = (-500 + 16*x**3)/x**2 print("O(x) =", O) print("O'(x) =", O_derivert) print("Samlet brøk =", factor(O_derivert)) print("Kontroll mot oppgitt uttrykk =", simplify(O_derivert-forventet))

Utskrift fra Python: O(x) = 8*x**2 + 500/x O'(x) = 16*x - 500/x**2 Samlet brøk = 4*(4*x**3 - 125)/x**2 Kontroll mot oppgitt uttrykk = 0

Fasit: \(O^{\prime}(x)=\dfrac{-500+16x^3}{x^2}\).

Vanlig feil: Å miste minustegnet når \(x^{-1}\) deriveres, eller å skrive \(16x/x^2\) uten å gange telleren med \(x^2\). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt potensregel, minustegn og en gyldig samling til én brøk. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b.1 Derivasjon · kjerneregel

Oppgave 1b.1

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=3\ln(2x).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en logaritme med den indre funksjonen \(u(x)=2x\), så kjerneregelen må brukes.

Steg 1 — Identifiser ytre og indre funksjon

Ytre funksjon er \(3\ln u\), og indre funksjon er \(u=2x\).

Steg 2 — Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(3\ln u\) med hensyn på \(u\) er \(3/u\).

Steg 3 — Deriver den indre funksjonen

\(u^{\prime}(x)=2\).

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

\[f^{\prime}(x)=\frac{3}{2x}\cdot2.\]

Steg 5 — Forkort

Faktoren 2 forkortes, og vi får \(f^{\prime}(x)=3/x\).

Steg 6 — Kontroller definisjonsområdet

Siden \(\ln(2x)\) krever \(2x>0\), gjelder funksjonen og den deriverte for \(x>0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative[3 ln(2x)] \(3/x\) 2 Simplify[3/(2x)*2] \(3/x\)

Tolkning: CAS viser at faktoren fra den indre funksjonen kansellerer 2 i nevneren.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) f = 3*log(2*x) f_derivert = diff(f, x) forventet = 3/x print("Definisjonsområde: x > 0") print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Forenklet =", simplify(f_derivert)) print("Kontroll =", simplify(f_derivert-forventet))

Utskrift fra Python: Definisjonsområde: x > 0 f(x) = 3*log(2*x) f'(x) = 3/x Forenklet = 3/x Kontroll = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=\dfrac3x\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å skrive \(3/(2x)\) og glemme å multiplisere med den indre deriverte \(2\). Sensorpunkt: Sensor ser etter kjerneregelen eksplisitt, ikke bare sluttresultatet. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b.2 Derivasjon · produkt og kjerne

Oppgave 1b.2

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=3x\cdot e^{x^2}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt, og den andre faktoren krever samtidig kjerneregelen.

Steg 1 — Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=3x\) og \(v(x)=e^{x^2}\).

Steg 2 — Deriver første faktor

\(u^{\prime}(x)=3\).

Steg 3 — Deriver eksponentialfaktoren

Med kjerneregelen blir \(v^{\prime}(x)=e^{x^2}\cdot2x\).

Steg 4 — Bruk produktregelen

\[g^{\prime}(x)=u^{\prime}v+uv^{\prime}=3e^{x^2}+3x\cdot e^{x^2}\cdot2x.\]

Steg 5 — Forenkle andre ledd

\(3x\cdot2x=6x^2\), så \(g^{\prime}(x)=3e^{x^2}+6x^2e^{x^2}\).

Steg 6 — Faktoriser

Trekk ut \(3e^{x^2}\): \[g^{\prime}(x)=3e^{x^2}(1+2x^2).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative[3x exp(x^2)] \(3e^{x^2}+6x^2e^{x^2}\) 2 Factor[Derivative[3x exp(x^2)]] \(3e^{x^2}(1+2x^2)\)

Tolkning: CAS bekrefter den faktoriserte formen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify x = symbols('x', real=True) g = 3*x*exp(x**2) g_derivert = diff(g, x) g_faktorisert = factor(g_derivert) forventet = 3*exp(x**2)*(1+2*x**2) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g_derivert) print("Faktorisert =", g_faktorisert) print("Kontroll =", simplify(g_derivert-forventet))

Utskrift fra Python: g(x) = 3*x*exp(x**2) g'(x) = 6*x**2*exp(x**2) + 3*exp(x**2) Faktorisert = 3*(2*x**2 + 1)*exp(x**2) Kontroll = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=3e^{x^2}(1+2x^2)\).

Vanlig feil: Å bruke produktregelen uten kjerneregelen, eller å derivere \(e^{x^2}\) som bare \(e^{x^2}\). Sensorpunkt: Full uttelling krever både produktregel og indre derivert \(2x\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c.1 Polynomer · faktorisering

Oppgave 1c.1

Oppgave: Vi har gitt polynomfunksjonen \[f(x)=x^3-3x^2-13x+15.\] Vis at \(f(1)=0\). Bruk polynomdivisjon til å faktorisere \(f(x)\) i førstegradsfaktorer. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først vise at \(x=1\) er et nullpunkt. Da er \(x-1\) en faktor, og resten finnes med polynomdivisjon.

Steg 1 — Sett inn x=1

\[f(1)=1^3-3\cdot1^2-13\cdot1+15=1-3-13+15=0.\]

Steg 2 — Bruk faktorteoremet

Siden \(f(1)=0\), er \(x-1\) en faktor i \(f(x)\).

Steg 3 — Utfør polynomdivisjonen

\[(x^3-3x^2-13x+15):(x-1)=x^2-2x-15.\] Resten er 0.

Steg 4 — Faktoriser andregradsuttrykket

Vi søker to tall med produkt \(-15\) og sum \(-2\): \(-5\) og \(3\).

Steg 5 — Skriv andregradsfaktoren

\[x^2-2x-15=(x-5)(x+3).\]

Steg 6 — Sett sammen alle faktorene

Dermed er \[f(x)=(x-1)(x-5)(x+3).\] En utvidelse gir tilbake det opprinnelige polynomet.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Substitute[x=1, x^3-3x^2-13x+15] \(0\) 2 Division[x^3-3x^2-13x+15, x-1] \(x^2-2x-15\), rest \(0\) 3 Factor[x^3-3x^2-13x+15] \((x+3)(x-1)(x-5)\)

Tolkning: CAS bekrefter nullpunktet, kvotienten og alle tre førstegradsfaktorene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, factor, div, expand x = symbols('x') f = x**3-3*x**2-13*x+15 verdi = f.subs(x,1) kvotient, rest = div(f, x-1) faktorisert = factor(f) print("f(1) =", verdi) print("Polynomdivisjon med x-1:") print("Kvotient =", kvotient) print("Rest =", rest) print("Kvotienten faktorisert =", factor(kvotient)) print("Hele polynomet =", faktorisert) print("Utvidelseskontroll =", expand(faktorisert))

Utskrift fra Python: f(1) = 0 Polynomdivisjon med x-1: Kvotient = x**2 - 2*x - 15 Rest = 0 Kvotienten faktorisert = (x - 5)*(x + 3) Hele polynomet = (x - 5)*(x - 1)*(x + 3) Utvidelseskontroll = x**3 - 3*x**2 - 13*x + 15

Fasit: \(f(1)=0\) og \(f(x)=(x+3)(x-1)(x-5)\).

Vanlig feil: Å stoppe etter at \(x-1\) er funnet, eller å faktorisere \(x^2-2x-15\) med feil fortegn. Sensorpunkt: Sensor ser etter innsetting, faktorteorem, polynomdivisjon og full faktorisering. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c.2 Ulikheter · fortegnsskjema

Oppgave 1c.2

Oppgave: Løs ulikheten \[f(x)\le 0,\] der \(f(x)=x^3-3x^2-13x+15\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke faktorene fra forrige del og undersøke fortegnet på intervallene som nullpunktene deler tallinjen i.

Steg 1 — Bruk den faktoriserte formen

\[f(x)=(x+3)(x-1)(x-5).\]

Steg 2 — Finn kritiske punkter

Faktorene er null ved \(x=-3\), \(x=1\) og \(x=5\).

Steg 3 — Del tallinjen i intervaller

Vi undersøker \(( -\infty,-3)\), \((-3,1)\), \((1,5)\) og \((5,\infty)\).

Steg 4 — Bestem fortegn

Testverdier gir henholdsvis negativt, positivt, negativt og positivt fortegn.

Steg 5 — Ta med nullpunktene

Ulikheten er \(\le0\), så punktene der \(f(x)=0\) skal inkluderes.

Steg 6 — Skriv løsningsmengden

Dermed er \[x\in(-\infty,-3]\cup[1,5].\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Solve[(x+3)(x-1)(x-5) <= 0, x] \(x\le-3\) eller \(1\le x\le5\)

Tolkning: CAS bekrefter intervallene fra fortegnsskjemaet. …