Matematikk R1 Eksamen høsten 2015 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - høsten 2015 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=3x^2+5x-2.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et polynom ledd for ledd med potensregelen.

Steg 1 - Bruk potensregelen

For \(ax^n\) er den deriverte \(anx^{n-1}\).

Steg 2 - Deriver første ledd

\(\frac{d}{dx}(3x^2)=6x\).

Steg 3 - Deriver andre ledd

\(\frac{d}{dx}(5x)=5\).

Steg 4 - Deriver konstanten

\(\frac{d}{dx}(-2)=0\).

Steg 5 - Summer

\[f\'(x)=6x+5.\]

Steg 6 - Kontroller graden

Et andregradspolynom skal gi en lineær derivert.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[3x^2+5x-2,x] \(6x+5\)

Tolkning: CAS bekrefter den leddvise derivasjonen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") f = 3*x**2 + 5*x - 2 print("f(x) =", f) print("d/dx(3*x^2) =", sp.diff(3*x**2, x)) print("d/dx(5*x) =", sp.diff(5*x, x)) print("d/dx(-2) =", sp.diff(-2, x)) print("f'(x) =", sp.diff(f, x))

Utskrift fra Python: f(x) = 3*x**2 + 5*x - 2 d/dx(3*x^2) = 6*x d/dx(5*x) = 5 d/dx(-2) = 0 f'(x) = 6*x + 5

Fasit: \(f\'(x)=6x+5\).

Vanlig feil: Å glemme at konstantleddet får derivert lik 0. Sensorpunkt: Korrekt potensregel og korrekt samling av ledd. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=3(x^2-2)^4.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kjerneregelen på en fjerde potens av et andregradsuttrykk.

Steg 1 - Velg indre funksjon

Sett \(u=x^2-2\), slik at \(g=3u^4\).

Steg 2 - Deriver ytre funksjon

\(\frac{d}{du}(3u^4)=12u^3\).

Steg 3 - Deriver kjernen

\(u\'(x)=2x\).

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\(g\'(x)=12u^3\cdot2x\).

Steg 5 - Sett inn kjernen

\[g\'(x)=24x(x^2-2)^3.\]

Steg 6 - Kontroller faktorene

Faktoren 3, eksponenten 4 og den indre deriverte 2x er alle med.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[3*(x^2-2)^4,x] \(24x(x^2-2)^3\)

Tolkning: CAS viser den faktoriserte deriverte.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") u = x**2 - 2 g = 3*u**4 print("u(x) =", u) print("u'(x) =", sp.diff(u, x)) print("g(x) =", g) print("Ytre faktor 3*4 =", 3*4) print("g'(x) =", sp.factor(sp.diff(g, x))) print("Utvidet kontroll =", sp.expand(sp.diff(g, x)))

Utskrift fra Python: u(x) = x**2 - 2 u'(x) = 2*x g(x) = 3*(x**2 - 2)**4 Ytre faktor 3*4 = 12 g'(x) = 24*x*(x**2 - 2)**3 Utvidet kontroll = 24*x**7 - 144*x**5 + 288*x**3 - 192*x

Fasit: \(g\'(x)=24x(x^2-2)^3\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte \(2x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter en fullstendig kjerneregel. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Produkt- og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=x\ln(x^2+3).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal kombinere produktregelen med kjerneregelen for logaritmen.

Steg 1 - Identifiser produktet

La \(u=x\) og \(v=\ln(x^2+3)\).

Steg 2 - Deriver første faktor

\(u\'=1\).

Steg 3 - Deriver logaritmen

\(v\'=\frac{2x}{x^2+3}\).

Steg 4 - Bruk produktregelen

\(h\'=u\'v+uv\'\).

Steg 5 - Sett inn

\[h\'(x)=\ln(x^2+3)+\frac{2x^2}{x^2+3}.\]

Steg 6 - Kontroller domenet

\(x^2+3>0\) for alle reelle \(x\), så uttrykket gjelder på \(\mathbb R\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x*ln(x^2+3),x] \(\ln(x^2+3)+\frac{2x^2}{x^2+3}\)

Tolkning: CAS bekrefter både produktregelen og kjerneregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) h = x*sp.log(x**2 + 3) print("h(x) =", h) print("Første faktor: x, derivert =", sp.diff(x, x)) print("Andre faktor: ln(x^2 + 3)") print("Derivert av andre faktor =", sp.diff(sp.log(x**2 + 3), x)) print("Produktregel, h'(x) =", sp.diff(h, x)) print("Samlet form =", sp.together(sp.diff(h, x)))

Utskrift fra Python: h(x) = x*log(x**2 + 3) Første faktor: x, derivert = 1 Andre faktor: ln(x^2 + 3) Derivert av andre faktor = 2*x/(x**2 + 3) Produktregel, h'(x) = 2*x**2/(x**2 + 3) + log(x**2 + 3) Samlet form = (2*x**2 + (x**2 + 3)*log(x**2 + 3))/(x**2 + 3)

Fasit: \(h\'(x)=\ln(x^2+3)+\dfrac{2x^2}{x^2+3}\).

Vanlig feil: Å derivere bare én av faktorene. Sensorpunkt: Både produktregel og indre derivert må være synlige. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Fortegnslinje

Oppgave 2

Oppgave: Funksjonen er \[f(x)=xe^{-x},\qquad D_f=\mathbb R.\] Tegn fortegnslinjen til \(f\'(x)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere funksjonen, faktorisere den deriverte og bruke faktorene til å bestemme fortegnet.

Steg 1 - Deriver produktet

\(f\'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x})\).

Steg 2 - Faktoriser

\[f\'(x)=e^{-x}(1-x).\]

Steg 3 - Vurder eksponentialfaktoren

\(e^{-x}>0\) for alle reelle \(x\).

Steg 4 - Finn nullpunktet

\(1-x=0\) gir \(x=1\).

Steg 5 - Bestem fortegn

For \(x<1\) er \(1-x>0\); for \(x>1\) er \(1-x<0\).

Steg 6 - Tegn konklusjonen

Fortegnslinjen er \(+\mid 0\mid-\) med skille ved \(x=1\).

Fortegnslinje for den deriverte.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Factor[Derivative[x*exp(-x),x]] \(e^{-x}(1-x)\) 2 Solve[exp(-x)*(1-x)=0,x] \(x=1\)

Tolkning: Siden eksponentialfaktoren alltid er positiv, bestemmes fortegnet av 1-x.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) f = x*sp.exp(-x) fp = sp.factor(sp.diff(f, x)) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", fp) print("Nullpunkt for f' =", sp.solve(sp.Eq(fp, 0), x)) for test in [-1, 1, 2]: print(f"f'({test}) =", sp.simplify(fp.subs(x, test))) print("Fortegn: positiv for x < 1, null ved x = 1, negativ for x > 1")

Utskrift fra Python: f(x) = x*exp(-x) f'(x) = -(x - 1)*exp(-x) Nullpunkt for f' = [1] f'(-1) = 2*E f'(1) = 0 f'(2) = -exp(-2) Fortegn: positiv for x < 1, null ved x = 1, negativ for x > 1

Fasit: \(f\'(x)>0\) for \(x<1\), \(f\'(1)=0\), og \(f\'(x)<0\) for \(x>1\).

Vanlig feil: Å tro at \(e^{-x}\) kan være negativ. Sensorpunkt: Fortegnslinjen skal begrunnes med faktorene i den deriverte. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Faktorteoremet

Oppgave 3a

Oppgave: \(f(x)=x^3-2x^2-kx+6\). Bestem \(k\) slik at divisjonen \(f(x):(x-1)\) går opp. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke faktorteoremet: x-1 er faktor akkurat når f(1)=0.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Kravet er \(f(1)=0\).

Steg 2 - Sett inn x=1

\(f(1)=1-2-k+6\).

Steg 3 - Forenkle

\(f(1)=5-k\).

Steg 4 - Sett lik null

\(5-k=0\).

Steg 5 - Løs

\[k=5.\]

Steg 6 - Kontroller

Med \(k=5\) er \(f(1)=1-2-5+6=0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[1^3-2*1^2-k*1+6=0,k] \(k=5\)

Tolkning: CAS bruker samme restsetning.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x, k = sp.symbols("x k") f = x**3 - 2*x**2 - k*x + 6 rest = sp.expand(f.subs(x, 1)) print("f(x) =", f) print("Rest ved divisjon med x - 1 er f(1) =", rest) solution = sp.solve(sp.Eq(rest, 0), k) print("Løsning for k =", solution) print("Kontroll f(1) når k=5 =", f.subs({x:1, k:5}))

Utskrift fra Python: f(x) = -k*x + x**3 - 2*x**2 + 6 Rest ved divisjon med x - 1 er f(1) = 5 - k Løsning for k = [5] Kontroll f(1) når k=5 = 0

Fasit: \(k=5\).

Vanlig feil: Å utføre lang divisjon før man bruker faktorteoremet. Sensorpunkt: Sensor ser etter kravet f(1)=0 og korrekt løsning for k. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Faktorisering

Oppgave 3b

Oppgave: Bruk \(k=5\) og faktoriser \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\) i lineære faktorer. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner allerede faktoren x-1 og skal finne de to resterende faktorene.

Steg 1 - Ta ut kjent faktor

\(f(x)=(x-1)q(x)\).

Steg 2 - Utfør polynomdivisjon

Kvotienten blir \(q(x)=x^2-x-6\).

Steg 3 - Faktoriser andregradsuttrykket

Vi trenger to tall med produkt -6 og sum -1: -3 og 2.

Steg 4 - Skriv kvotienten

\(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\).

Steg 5 - Sett sammen

\[f(x)=(x-1)(x-3)(x+2).\]

Steg 6 - Kontroller

Utvidelse gir tilbake \(x^3-2x^2-5x+6\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Factor[x^3-2x^2-5x+6] \((x-3)(x-1)(x+2)\)

Tolkning: CAS bekrefter de tre lineære faktorene. …