Matematikk R1 Eksamen høsten 2019 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - høsten 2019 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon av potens og logaritme

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^4-2x+\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer ledd for ledd og tar med at logaritmen krever \(x>0\).

Steg 1 - Deriver fjerdegradsleddet

Potensregelen gir \((x^4)^{\prime}=4x^3\).

Steg 2 - Deriver det lineære leddet

\((-2x)^{\prime}=-2\).

Steg 3 - Deriver logaritmen

\((\ln x)^{\prime}=1/x\).

Steg 4 - Samle uttrykket

\[f^{\prime}(x)=4x^3-2+\frac1x.\]

Steg 5 - Oppgi området

Den opprinnelige funksjonen og den deriverte er definert for \(x>0\).

Steg 6 - Kontroller

Et direkte CAS-uttrykk gir samme resultat.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^4-2x+ln(x),x] \(4x^3-2+1/x\)

Tolkning: GeoGebra deriverer hvert ledd og beholder definisjonskravet x > 0.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", positive=True) f = x**4 - 2*x + sp.log(x) f_prime = sp.diff(f, x) expected = 4*x**3 - 2 + 1/x print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_prime) print("Expected =", expected) print("Difference =", sp.simplify(f_prime-expected)) print("Domain condition: x > 0")

Utskrift fra Python: f(x) = x**4 - 2*x + log(x) f'(x) = 4*x**3 - 2 + 1/x Expected = 4*x**3 - 2 + 1/x Difference = 0 Domain condition: x > 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=4x^3-2+\dfrac1x\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å skrive den deriverte av \(\ln x\) som \(\ln x\) eller glemme definisjonsmengden. Sensorpunkt: Korrekt leddvis derivasjon og \(x>0\) skal være synlig. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x^7e^x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x^7\) og \(e^x\), så produktregelen brukes.

Steg 1 - Velg faktorene

Sett \(u=x^7\) og \(v=e^x\).

Steg 2 - Deriver faktorene

\(u^{\prime}=7x^6\) og \(v^{\prime}=e^x\).

Steg 3 - Bruk produktregelen

\[g^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 4 - Sett inn

\[g^{\prime}(x)=7x^6e^x+x^7e^x.\]

Steg 5 - Faktoriser

\[g^{\prime}(x)=x^6e^x(x+7).\]

Steg 6 - Kontroller

Den utvidede og faktoriserte formen er identiske.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^7 exp(x),x] \(x^6e^x(x+7)\)

Tolkning: CAS bruker produktregelen og faktoriserer resultatet.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) u = x**7 v = sp.exp(x) product_rule = sp.diff(u,x)*v + u*sp.diff(v,x) factored = sp.factor(product_rule) print("u'(x) =", sp.diff(u,x)) print("v'(x) =", sp.diff(v,x)) print("Expanded derivative =", sp.expand(product_rule)) print("Factored derivative =", factored) print("Check =", sp.simplify(factored-sp.diff(u*v,x)))

Utskrift fra Python: u'(x) = 7*x**6 v'(x) = exp(x) Expanded derivative = x**7*exp(x) + 7*x**6*exp(x) Factored derivative = x**6*(x + 7)*exp(x) Check = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=x^6e^x(x+7)\).

Vanlig feil: Å derivere bare én av faktorene. Sensorpunkt: Produktregelen må framgå, og svaret kan stå utvidet eller faktorisert. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Kvotientregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\frac{\ln(2x)}{x^2}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skriver brøken som \(\ln(2x)x^{-2}\). Den deriverte av \(\ln(2x)\) er \(1/x\).

Steg 1 - Skriv om

\[h(x)=\ln(2x)x^{-2}.\]

Steg 2 - Deriver logaritmen

Kjerneregelen gir \((\ln(2x))^{\prime}=2/(2x)=1/x\).

Steg 3 - Deriver potensleddet

\((x^{-2})^{\prime}=-2x^{-3}\).

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[h^{\prime}=\frac1x x^{-2}+\ln(2x)(-2x^{-3}).\]

Steg 5 - Samle på felles faktor

\[h^{\prime}(x)=x^{-3}(1-2\ln(2x)).\]

Steg 6 - Skriv som brøk

\[h^{\prime}(x)=\frac{1-2\ln(2x)}{x^3},\quad x>0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[ln(2x)/x^2,x] \((1-2\ln(2x))/x^3\)

Tolkning: Kjerneregelen for logaritmen og produkt-/kvotientregelen gir samme uttrykk.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", positive=True) h = sp.log(2*x)/x**2 h_prime = sp.simplify(sp.diff(h,x)) expected = (1-2*sp.log(2*x))/x**3 print("h(x) =", h) print("h'(x) =", h_prime) print("Expected =", expected) print("Factored =", sp.factor(h_prime)) print("Difference =", sp.simplify(h_prime-expected))

Utskrift fra Python: h(x) = log(2*x)/x**2 h'(x) = (1 - log(4*x**2))/x**3 Expected = (1 - 2*log(2*x))/x**3 Factored = -(2*log(x) - 1 + 2*log(2))/x**3 Difference = 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=\dfrac{1-2\ln(2x)}{x^3}\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å få \((\ln(2x))^{\prime}=2/x\); faktoren 2 forkortes. Sensorpunkt: Både kjerneregelen og korrekt brøkforenkling skal vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Logaritmeregler

Oppgave 2

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig \[4\ln(ab^3)-3\ln(ab^2)-\ln\left(\frac ab\right).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi utvider hver logaritme og samler koeffisientene til \(\ln a\) og \(\ln b\).

Steg 1 - Utvid første ledd

\(4\ln(ab^3)=4\ln a+12\ln b\).

Steg 2 - Utvid andre ledd

\(-3\ln(ab^2)=-3\ln a-6\ln b\).

Steg 3 - Utvid brøklogaritmen

\(-\ln(a/b)=-\ln a+\ln b\).

Steg 4 - Samle a-leddene

Koeffisienten blir \(4-3-1=0\).

Steg 5 - Samle b-leddene

Koeffisienten blir \(12-6+1=7\).

Steg 6 - Konkluder

Uttrykket er \(7\ln b=\ln(b^7)\), for \(a,b>0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Expand[4ln(a b^3)-3ln(a b^2)-ln(a/b)] \(7\ln b\)

Tolkning: Alle ledd med ln(a) kanselleres.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp A, B = sp.symbols("A B") expr = 4*(A+3*B)-3*(A+2*B)-(A-B) expanded = sp.expand(expr) print("Let A = ln(a), B = ln(b)") print("Expanded linear expression =", expr) print("Collected expression =", expanded) print("Coefficient of A =", sp.expand(expr).coeff(A)) print("Coefficient of B =", sp.expand(expr).coeff(B)) print("Final result = 7*ln(b)")

Utskrift fra Python: Let A = ln(a), B = ln(b) Expanded linear expression = 7*B Collected expression = 7*B Coefficient of A = 0 Coefficient of B = 7 Final result = 7*ln(b)

Fasit: \(7\ln b\), eventuelt \(\ln(b^7)\).

Vanlig feil: Å glemme at minustegnet foran \(\ln(a/b)\) skifter begge leddene. Sensorpunkt: Logaritmereglene og kanselleringen av \(\ln a\) skal dokumenteres. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Polynomdivisjon og restsetningen

Oppgave 3a

Oppgave: Polynomet er \(P(x)=x^3+6x^2+kx-30\). Begrunn at \(k=-1\) når \(P(x):(x-2)\) går opp. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Divisjonen går opp akkurat når resten er null. Restsetningen sier at resten er \(P(2)\).

Steg 1 - Bruk restsetningen

Kravet er \(P(2)=0\).

Steg 2 - Sett inn x=2

\[P(2)=2^3+6\cdot2^2+2k-30.\]

Steg 3 - Regn ut konstantleddene

\(8+24-30=2\), så \(P(2)=2+2k\).

Steg 4 - Sett lik null

\[2+2k=0.\]

Steg 5 - Løs

\[k=-1.\]

Steg 6 - Kontroller

Med \(k=-1\) er \(P(2)=0\), så \(x-2\) er en faktor.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[2^3+6*2^2+2k-30=0,k] \(k=-1\)

Tolkning: Resten ved divisjon på x-2 blir null.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x, k = sp.symbols("x k", real=True) P = x**3 + 6*x**2 + k*x - 30 remainder = sp.expand(P.subs(x,2)) solution = sp.solve(sp.Eq(remainder,0),k) print("P(x) =", P) print("P(2) =", remainder) print("Equation =", sp.Eq(remainder,0)) print("k solution =", solution) print("Check P(2) for k=-1 =", P.subs({x:2,k:-1}))

Utskrift fra Python: P(x) = k*x + x**3 + 6*x**2 - 30 P(2) = 2*k + 2 Equation = Eq(2*k + 2, 0) k solution = [-1] Check P(2) for k=-1 = 0

Fasit: \(k=-1\).

Vanlig feil: Å utføre lang divisjon uten å bruke at resten er \(P(2)\), eller å regne \(6\cdot2^2\) feil. Sensorpunkt: Restsetningen og kontrollen \(P(2)=0\) skal komme fram. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Faktorisering av tredjegradspolynom

Oppgave 3b

Oppgave: Faktoriser \[x^3+6x^2-x-30\] i lineære faktorer. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Fra forrige del vet vi at \(x-2\) er en faktor. Vi dividerer og faktoriserer andregradsfaktoren.

Steg 1 - Ta ut kjent faktor

\[x^3+6x^2-x-30=(x-2)Q(x).\]

Steg 2 - Divider

Polynomdivisjon gir \(Q(x)=x^2+8x+15\).

Steg 3 - Faktoriser andregradsuttrykket

Vi søker to tall med sum 8 og produkt 15: 3 og 5.

Steg 4 - Skriv faktorene

\[x^2+8x+15=(x+3)(x+5).\]

Steg 5 - Samle

\[x^3+6x^2-x-30=(x-2)(x+3)(x+5).\]

Steg 6 - Kontroller ved utvidelse

Utvidelse gir det opprinnelige polynomet.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Factor[x^3+6x^2-x-30] \((x-2)(x+3)(x+5)\)

Tolkning: CAS finner de tre lineære faktorene. …