Matematikk R1 Eksempeloppgave desember 2007 (REA3022) – løsningsforslag

Matematikk R1 - eksempeloppgave desember 2007 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a-1 Derivasjon · produktregelen

Oppgave 1a-1

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=x\cdot\ln x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av to funksjoner. Metoden er produktregelen, kombinert med at den deriverte av \(\ln x\) er \(1/x\).

Steg 1 — Identifiser faktorene

Skriv \(f(x)=u(x)v(x)\), der \(u(x)=x\) og \(v(x)=\ln x\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

Produktregelen er \[(uv)^{\prime}=u^{\prime} v+uv^{\prime}.\]

Steg 3 — Deriver hver faktor

Vi har \(u^{\prime}(x)=1\) og \(v^{\prime}(x)=1/x\), for \(x>0\).

Steg 4 — Sett inn i regelen

\[f^{\prime}(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x.\]

Steg 5 — Forenkle

Siden \(x\cdot 1/x=1\), får vi \[f^{\prime}(x)=\ln x+1.\]

Steg 6 — Kontroller definisjonsmengden

Både \(f\) og den deriverte er definert for \(x>0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Kommando:Derivative(x*ln(x))Resultat: \(\ln(x)+1\)

CAS-resultatet samsvarer med den algebraiske utledningen.

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) f = x*log(x) fp = simplify(diff(f, x)) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", fp)

Utskrift: f(x) = x*log(x) f'(x) = log(x) + 1

Fasit: \(f^{\prime}(x)=\ln x+1\), \(x>0\).

Vanlig feil: Å derivere bare den ene faktoren, eller å skrive \((x\ln x)\prime=1\cdot 1/x\). Produktregelen må ha to ledd. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel, korrekt derivert av \(\ln x\), og en ryddig forenkling. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a-2 Derivasjon · kjerneregelen

Oppgave 1a-2

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=3e^{x^2-1}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en eksponentialfunksjon med en sammensatt eksponent. Derfor bruker vi konstantfaktorregelen og kjerneregelen.

Steg 1 — Skill mellom ytre og indre funksjon

Den ytre funksjonen er \(e^u\), mens kjernen er \(u(x)=x^2-1\).

Steg 2 — Deriver kjernen

\[u^{\prime}(x)=2x.\]

Steg 3 — Bruk kjerneregelen

For \(e^{u(x)}\) gjelder \[(e^{u(x)})\prime=e^{u(x)}u^{\prime}(x).\]

Steg 4 — Ta med konstanten

Konstanten \(3\) beholdes: \[g^{\prime}(x)=3e^{x^2-1}\cdot 2x.\]

Steg 5 — Forenkle koeffisienten

\[g^{\prime}(x)=6xe^{x^2-1}.\]

Steg 6 — Rimelighetskontroll

Den deriverte skal inneholde den opprinnelige eksponentialfaktoren og den deriverte av eksponenten. Begge er med.

GeoGebra/CAS-kontroll

Kommando:Derivative(3*e^(x^2-1))Resultat: \(6xe^{x^2-1}\)

GeoGebra bekrefter kjerneregelen.

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') g = 3*exp(x**2 - 1) gp = simplify(diff(g, x)) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", gp)

Utskrift: g(x) = 3*exp(x**2 - 1) g'(x) = 6*x*exp(x**2 - 1)

Fasit: \(g^{\prime}(x)=6xe^{x^2-1}\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(2x\) fra kjerneregelen er den typiske feilen. Sensorpunkt: Full uttelling krever at kjernen \(x^2-1\) deriveres eksplisitt. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Grenseverdi

Oppgave 1b

Oppgave: Bestem følgende grenseverdi, dersom den eksisterer: \[\lim_{x\to1}\frac{x^2+2x-3}{x-1}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Direkte innsetting gir formen \(0/0\). Vi må derfor faktorisere telleren, forkorte for \(x eq1\), og så beregne grenseverdien.

Steg 1 — Prøv direkte innsetting

For \(x=1\) blir telleren \(1+2-3=0\), mens nevneren blir \(0\). Vi får den ubestemte formen \(0/0\).

Steg 2 — Finn nullpunktene i telleren

\(x^2+2x-3\) har nullpunktene \(x=1\) og \(x=-3\).

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2+2x-3=(x-1)(x+3).\]

Steg 4 — Forkort på et punktert område

For \(x\neq1\): \[\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=x+3.\]

Steg 5 — Ta grensen

\[\lim_{x\to1}(x+3)=1+3=4.\]

Steg 6 — Forklar hvorfor forkortingen er lovlig

Grenseverdien undersøker verdier nær \(1\), ikke selve funksjonsverdien i \(x=1\). Derfor kan vi forkorte for alle nærliggende \(x\neq1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Kommando:Limit((x^2+2x-3)/(x-1), 1)Resultat: \(4\)

CAS viser at grenseverdien eksisterer og er 4.

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, limit, factor x = symbols('x') expr = (x**2 + 2*x - 3)/(x - 1) print("Faktorisert teller:", factor(x**2 + 2*x - 3)) print("Grenseverdi:", limit(expr, x, 1))

Utskrift: Faktorisert teller: (x - 1)*(x + 3) Grenseverdi: 4

Fasit: Grenseverdien er \(4\).

Vanlig feil: Å stoppe ved \(0/0\), eller å forkorte \(x-1\) uten først å faktorisere telleren. Sensorpunkt: Sensor ser etter faktoriseringen og en forklaring på at den forkortede funksjonen brukes for \(x eq1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Kontinuitet og deriverbarhet

Oppgave 1c

Oppgave: En funksjon \(f\) er kontinuerlig, men ikke deriverbar i punktet \((1,2)\). Tegn en skisse av grafen til en mulig funksjon \(f\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gi ett konkret eksempel på en graf som går sammenhengende gjennom \((1,2)\), men som har et knekkpunkt der slik at venstre- og høyrederivert er ulike.

Steg 1 — Velg en absoluttverdifunksjon

Et naturlig valg er \[f(x)=|x-1|+2.\]

Steg 2 — Kontroller punktet

\[f(1)=|1-1|+2=2,\] så grafen går gjennom \((1,2)\).

Steg 3 — Kontroller kontinuitet

Absoluttverdifunksjonen er kontinuerlig, og forskyvningene endrer ikke dette. Derfor er \(f\) kontinuerlig i \(x=1\).

Steg 4 — Undersøk venstre stigning

For \(x<1\) er \(f(x)=-(x-1)+2=-x+3\), så venstrederivert er \(-1\).

Steg 5 — Undersøk høyre stigning

For \(x>1\) er \(f(x)=x-1+2=x+1\), så høyrederivert er \(1\).

Steg 6 — Konkluder

Siden \(-1\neq1\), finnes ikke den deriverte i \(x=1\), selv om grafen er sammenhengende. Grafen er kontinuerlig i punktet, men har ulik stigning fra venstre og høyre.

Fasit: En mulig funksjon er \(f(x)=|x-1|+2\).

Vanlig feil: Å tegne et hopp eller et hull i \((1,2)\). Da er funksjonen ikke kontinuerlig. Sensorpunkt: Sensor ser etter en sammenhengende graf med et tydelig knekkpunkt, spiss eller vertikal tangent i \((1,2)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d-1 Logaritmelikning

Oppgave 1d-1

Oppgave: Finn den eksakte løsningen av likningen \(2\ln x-4=0\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere logaritmen og bruke at \(e^y\) og \(\ln y\) er inverse funksjoner.

Steg 1 — Angi definisjonskravet

Vi må ha \(x>0\), fordi \(\ln x\) ellers ikke er definert i de reelle tallene.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

\[2\ln x=4.\]

Steg 3 — Del på 2

\[\ln x=2.\]

Steg 4 — Eksponer begge sider

\[e^{\ln x}=e^2.\]

Steg 5 — Bruk inversregelen

Siden \(e^{\ln x}=x\) for \(x>0\), får vi \[x=e^2.\]

Steg 6 — Kontroller

\[2\ln(e^2)-4=2\cdot2-4=0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Kommando:Solve(2*ln(x)-4=0)Resultat: \(x=e^2\)

Løsningen oppfyller definisjonskravet.

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, solve, exp x = symbols('x', positive=True) solution = solve(2*log(x) - 4, x) print("Løsning:", solution) print("Kontroll i likningen:", 2*log(solution[0]) - 4)

Utskrift: Løsning: [exp(2)] Kontroll i likningen: 0

Fasit: \(x=e^2\).

Vanlig feil: Å skrive \(x=2\) etter at \(\ln x=2\). Man må bruke eksponentialfunksjonen. Sensorpunkt: Sensor ser etter definisjonskravet \(x>0\) og korrekt bruk av inverse funksjoner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d-2 Eksponentiallikning

Oppgave 1d-2

Oppgave: Finn de eksakte løsningene av likningen \(e^{2x}-3e^x+2=0\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Likningen er andregradsliknende i \(e^x\). Vi innfører en ny variabel, løser andregradslikningen og går tilbake til \(x\).

Steg 1 — Bruk potensregelen

\[e^{2x}=(e^x)^2.\]

Steg 2 — Sett en hjelpevariabel

La \(u=e^x\). Da er alltid \(u>0\).

Steg 3 — Skriv om likningen

\[u^2-3u+2=0.\]

Steg 4 — Faktoriser

\[u^2-3u+2=(u-1)(u-2).\]

Steg 5 — Finn verdiene av \(u\)

\[(u-1)(u-2)=0\quad\Longrightarrow\quad u=1\ \text{eller}\ u=2.\]

Steg 6 — Gå tilbake til \(x\)

\[e^x=1\Rightarrow x=0,\qquad e^x=2\Rightarrow x=\ln2.\]

Steg 7 — Kontroller

Begge verdiene gir null i den opprinnelige likningen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Kommando:Solve(e^(2x)-3e^x+2=0)Resultat: \(x=0\) eller \(x=\ln2\)

CAS bekrefter begge eksakte løsninger.

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, solve, simplify x = symbols('x', real=True) solutions = solve(exp(2*x) - 3*exp(x) + 2, x) print("Løsninger:", solutions) for s in solutions: print("Kontroll for x =", s, ":", simplify(exp(2*s) - 3*exp(s) + 2))

Utskrift: Løsninger: [0, log(2)] Kontroll for x = 0 : 0 Kontroll for x = log(2) : 0

Fasit: \(x=0\) eller \(x=\ln2\). …