Matematikk R1 Eksamen vår 2013 (REA3022) – løsningsforslag

Matematikk R1 - eksamen vår 2013 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1 Derivasjon - geometri

Oppgave 1

Oppgave: Formlene for arealet \(A\) av en sirkel og volumet \(V\) av en kule med radius \(r\) er gitt ved \[A(r)=\pi r^2\qquad\text{og}\qquad V(r)=\frac43\pi r^3.\] Bestem \(A^{\prime}(r)\) og \(V^{\prime}(r)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere to potensfunksjoner med hensyn på radiusen og beholde konstantfaktorene.

Steg 1 - Identifiser konstantene

Både \(\pi\) og \(4\pi/3\) er konstante når vi deriverer med hensyn på \(r\).

Steg 2 - Bruk potensregelen på arealet

\[A^{\prime}(r)=\pi\cdot 2r^{2-1}=2\pi r.\]

Steg 3 - Skriv volumet med konstantfaktor

\[V(r)=\frac{4\pi}{3}r^3.\]

Steg 4 - Bruk potensregelen på volumet

\[V^{\prime}(r)=\frac{4\pi}{3}\cdot 3r^{3-1}.\]

Steg 5 - Forkort faktoren 3

\[V^{\prime}(r)=4\pi r^2.\]

Steg 6 - Tolk kontrollen

Uttrykket \(4\pi r^2\) er overflatearealet av en kule. Dermed er den momentane volumveksten lik kuleoverflaten.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[pi*r^2,r] \(2\pi r\) 2 Derivative[(4/3)*pi*r^3,r] \(4\pi r^2\)

Tolkning: CAS bekrefter begge derivertene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

from sympy import symbols, pi, diff r = symbols('r', positive=True) A = pi*r**2 V = 4*pi*r**3/3 print("A(r) =", A) print("V(r) =", V) print("A'(r) =", diff(A,r)) print("V'(r) =", diff(V,r)) print("Forholdet V'(r)/A(r) =", diff(V,r)/A)

Utskrift fra Python: A(r) = pi*r**2 V(r) = 4*pi*r**3/3 A'(r) = 2*pi*r V'(r) = 4*pi*r**2 Forholdet V'(r)/A(r) = 4

Fasit: \(A^{\prime}(r)=2\pi r\) og \(V^{\prime}(r)=4\pi r^2\).

Vanlig feil: Å redusere eksponenten uten å multiplisere med den gamle eksponenten. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt potensregel og tydelig behandling av konstantfaktorene. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Derivasjon - logaritme og kjerneregel

Oppgave 2a

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=3\ln(x^2-1).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en logaritme med en andregradsfunksjon inni. Kjerneregelen må brukes.

Steg 1 - Finn definisjonskravet

Logaritmen krever \(x^2-1>0\), altså \(x<-1\) eller \(x>1\).

Steg 2 - Velg indre funksjon

Sett \(u(x)=x^2-1\). Da er \(g(x)=3\ln u(x)\).

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

\[u^{\prime}(x)=2x.\]

Steg 4 - Deriver den ytre logaritmen

Den deriverte av \(\ln u\) er \(1/u\).

Steg 5 - Bruk kjerneregelen

\[g^{\prime}(x)=3\cdot\frac{1}{x^2-1}\cdot 2x.\]

Steg 6 - Forenkle

\[g^{\prime}(x)=\frac{6x}{x^2-1}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[3 ln(x^2-1)] \(6x/(x^2-1)\) 2 Solve[x^2-1>0,x] \(x<-1\) eller \(x>1\)

Tolkning: CAS bekrefter både derivert og gyldig område.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

from sympy import symbols, log, diff, simplify x=symbols('x', real=True) g=3*log(x**2-1) print("g(x) =", g) print("Indre funksjon u(x) = x^2-1") print("u'(x) =", diff(x**2-1,x)) print("g'(x) =", simplify(diff(g,x))) print("Definisjonskrav: x^2-1 > 0, altsa x<-1 eller x>1")

Utskrift fra Python: g(x) = 3*log(x**2 - 1) Indre funksjon u(x) = x^2-1 u'(x) = 2*x g'(x) = 6*x/(x**2 - 1) Definisjonskrav: x^2-1 > 0, altsa x<-1 eller x>1

Fasit: \(g^{\prime}(x)=\dfrac{6x}{x^2-1}\), for \(x<-1\) eller \(x>1\).

Vanlig feil: Å skrive \(3/(x^2-1)\) og glemme den indre deriverte \(2x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter kjerneregelen, faktoren \(2x\) og korrekt definisjonsmengde. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Derivasjon - produkt og eksponentialfunksjon

Oppgave 2b

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\frac{2x^2}{e^x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal omskrive brøken til et produkt og bruke produktregelen sammen med kjerneregelen.

Steg 1 - Omskriv nevneren

Siden \(1/e^x=e^{-x}\), kan vi skrive \[h(x)=2x^2e^{-x}.\]

Steg 2 - Del i to faktorer

La \(u(x)=2x^2\) og \(v(x)=e^{-x}\).

Steg 3 - Deriver faktorene

\[u^{\prime}(x)=4x,\qquad v^{\prime}(x)=-e^{-x}.\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[h^{\prime}(x)=4xe^{-x}+2x^2(-e^{-x}).\]

Steg 5 - Trekk ut felles faktor

\[h^{\prime}(x)=2xe^{-x}(2-x).\]

Steg 6 - Skriv som brøk

\[h^{\prime}(x)=\frac{2x(2-x)}{e^x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[2x^2/exp(x)] \(2x(2-x)/e^x\) 2 Factor[Derivative[2x^2/exp(x)]] \(2x(2-x)e^{-x}\)

Tolkning: CAS viser at de to skrivemåtene er ekvivalente.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify x=symbols('x') h=2*x**2/exp(x) print("h(x) =", h) print("Omskriving: h(x) = 2*x^2*exp(-x)") print("Produktregelen gir 4*x*exp(-x)-2*x^2*exp(-x)") print("h'(x) =", factor(diff(h,x))) print("Kontroll =", simplify(diff(h,x)-2*x*(2-x)/exp(x)))

Utskrift fra Python: h(x) = 2*x**2*exp(-x) Omskriving: h(x) = 2*x^2*exp(-x) Produktregelen gir 4*x*exp(-x)-2*x^2*exp(-x) h'(x) = -2*x*(x - 2)*exp(-x) Kontroll = 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=2x(2-x)e^{-x}=\dfrac{2x(2-x)}{e^x}\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil i \((e^{-x})^{\prime}=-e^{-x}\), eller å bruke brøkregelen uten å forenkle. Sensorpunkt: Sensor ser etter begge ledd i produktregelen og korrekt minusfortegn fra kjerneregelen. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Polynomer - faktorsetningen

Oppgave 3a

Oppgave: Polynomfunksjonen \(P\) er gitt ved \[P(x)=x^3-6x^2+11x-6.\] Vis at \(P(1)=0\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette \(x=1\) inn i polynomet og regne ut hvert ledd eksplisitt.

Steg 1 - Sett inn x=1

\[P(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6.\]

Steg 2 - Regn potensene

\[1^3=1\quad\text{og}\quad 1^2=1.\]

Steg 3 - Multipliser

\[P(1)=1-6+11-6.\]

Steg 4 - Summer de første leddene

\[1-6=-5,\qquad -5+11=6.\]

Steg 5 - Trekk fra siste ledd

\[6-6=0.\]

Steg 6 - Knytt til faktorsetningen

Dermed er \(P(1)=0\), og \(x-1\) er en faktor i \(P(x)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 P(x):=x^3-6x^2+11x-6 2 P(1) 0

Tolkning: CAS bekrefter at 1 er et nullpunkt.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

from sympy import symbols x=symbols('x') P=x**3-6*x**2+11*x-6 print("P(x) =", P) print("P(1) = 1^3-6*1^2+11*1-6") print("P(1) =", P.subs(x,1)) print("Konklusjon: x-1 er faktor etter faktorsetningen")

Utskrift fra Python: P(x) = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6 P(1) = 1^3-6*1^2+11*1-6 P(1) = 0 Konklusjon: x-1 er faktor etter faktorsetningen

Fasit: \(P(1)=0\).

Vanlig feil: Å sette inn \(x=-1\) fordi faktoren senere er \(x-1\). Sensorpunkt: Sensor ser etter full innsetting og en korrekt konklusjon, ikke bare et ubesvart likhetstegn. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Polynomdivisjon og faktorisering

Oppgave 3b

Oppgave: Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere \(P(x)\) i førstegradsfaktorer. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal dividere med den kjente faktoren \(x-1\), faktorisere andregradskvotienten og kontrollere produktet.

Steg 1 - Start polynomdivisjonen

Første ledd er \(x^3:x=x^2\). Multipliser: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\).

Steg 2 - Trekk fra

Da står vi igjen med \(-5x^2+11x-6\).

Steg 3 - Finn neste ledd

\(-5x^2:x=-5x\). Etter ny multiplikasjon og subtraksjon står vi igjen med \(6x-6\).

Steg 4 - Fullfør divisjonen

\((6x):x=6\), og resten blir 0. Kvotienten er \[x^2-5x+6.\]

Steg 5 - Faktoriser andregradsuttrykket

To tall med sum \(-5\) og produkt 6 er \(-2\) og \(-3\): \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]

Steg 6 - Skriv full faktorisering

\[P(x)=(x-1)(x-2)(x-3).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Div[x^3-6x^2+11x-6,x-1] \(x^2-5x+6\) 2 Factor[x^3-6x^2+11x-6] \((x-1)(x-2)(x-3)\)

Tolkning: CAS bekrefter divisjon og full faktorisering.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

from sympy import symbols, div, factor, expand x=symbols('x') P=x**3-6*x**2+11*x-6 q,r=div(P,x-1) print("Polynomdivisjon P(x):(x-1)") print("Kvotient =", q) print("Rest =", r) print("Kvotienten faktoriseres som", factor(q)) print("P(x) =", factor(P)) print("Utvidelseskontroll =", expand((x-1)*(x-2)*(x-3)))

Utskrift fra Python: Polynomdivisjon P(x):(x-1) Kvotient = x**2 - 5*x + 6 Rest = 0 Kvotienten faktoriseres som (x - 3)*(x - 2) P(x) = (x - 3)*(x - 2)*(x - 1) Utvidelseskontroll = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6

Fasit: \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\).

Vanlig feil: Å stoppe etter kvotienten uten å faktorisere den videre i førstegradsfaktorer. Sensorpunkt: Sensor ser etter polynomdivisjon med rest 0 og korrekt faktorisering av kvotienten. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3c Polynomulikhet - fortegnsskjema

Oppgave 3c

Oppgave: Løs ulikheten \[x^3-6x^2+11x-6\le 0.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke faktoriseringen, dele tallinjen ved nullpunktene og ta med intervallene der produktet er negativt eller null. …