Matematikk R1 Eksamen høst 2008 (REA3022) – løsningsforslag

Matematikk R1 — eksamen høst 2008 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Om oppgave 4: På eksamen skulle kandidaten velge alternativ I eller alternativ II. Her er begge alternativer løst slik at løsningsforslaget dekker hele Udir-settet.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a-1 Derivasjon · kjerneregel

Oppgave 1a-1

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=3e^{2x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en eksponentialfunksjon med den indre funksjonen \(2x\). Derfor må kjerneregelen brukes.

Steg 1 — Identifiser den ytre funksjonen

Den ytre funksjonen er eksponentialfunksjonen \(e^u\), som har derivert \(e^u\).

Steg 2 — Identifiser kjernen

Kjernen er \(u(x)=2x\).

Steg 3 — Deriver kjernen

\[u^{\prime}(x)=2.\]

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

\[\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u^{\prime}(x)e^{u(x)}.\] Derfor er \[\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.\]

Steg 5 — Ta med konstantfaktoren

Konstanten 3 beholdes: \[f^{\prime}(x)=3\cdot2e^{2x}.\]

Steg 6 — Forenkle

\[f^{\prime}(x)=6e^{2x}.\]

Steg 7 — Kontroller fortegnet

Siden \(e^{2x}>0\) for alle reelle \(x\), er også \(f^{\prime}(x)>0\). Det passer med at funksjonen er voksende.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(3 exp(2x)) \(6e^{2x}\)

CAS bekrefter den manuelle derivasjonen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x', real=True) f = 3*exp(2*x) f_derivert = diff(f, x) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Kontroll mot 6*exp(2*x):", simplify(f_derivert - 6*exp(2*x)))

Utskrift fra Python: f(x) = 3*exp(2*x) f'(x) = 6*exp(2*x) Kontroll mot 6*exp(2*x): 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=6e^{2x}\).

Vanlig feil: Å skrive \(3e^{2x}\) som derivert og glemme faktoren 2 fra kjerneregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter at den indre funksjonen \(2x\) deriveres, og at konstanten 3 beholdes. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a-2 Derivasjon · produktregel

Oppgave 1a-2

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=x\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av \(x\) og \(\ln x\). Produktregelen er derfor hovedmetoden.

Steg 1 — Skriv funksjonen som et produkt

Sett \(u(x)=x\) og \(v(x)=\ln x\). Da er \(h(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

\[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 3 — Deriver den første faktoren

\[u^{\prime}(x)=1.\]

Steg 4 — Deriver logaritmefaktoren

For \(x>0\) er \[v^{\prime}(x)=\frac1x.\]

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

\[h^{\prime}(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x.\]

Steg 6 — Forenkle andre ledd

\[x\cdot\frac1x=1.\] Dermed får vi \[h^{\prime}(x)=\ln x+1.\]

Steg 7 — Behold definisjonsområdet

Både originalfunksjonen og den deriverte gjelder for \(x>0\), fordi \(\ln x\) bare er definert for positive \(x\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(x ln(x)) \(\ln(x)+1\)

GeoGebra gir samme uttrykk når variabelen ligger i definisjonsområdet.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) h = x*log(x) h_derivert = diff(h, x) print("h(x) =", h) print("h'(x) =", h_derivert) print("Kontroll mot log(x) + 1:", simplify(h_derivert - (log(x) + 1))) print("Definisjonsområde: x > 0")

Utskrift fra Python: h(x) = x*log(x) h'(x) = log(x) + 1 Kontroll mot log(x) + 1: 0 Definisjonsområde: x > 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=\ln x+1\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som \(1\cdot1/x\). Produktregelen krever to ledd. Sensorpunkt: Sensor ser etter produktregelen, den deriverte \(1/x\) og korrekt definisjonsområde. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b-1 Vektorer · parameterframstilling

Oppgave 1b-1

Oppgave: En rett linje \(l\) går gjennom punktene \(A(1,2)\) og \(B(3,7)\). Sett opp en parameterframstilling for linja \(l\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en retningsvektor fra de to punktene og bruke punkt–retningsform for en linje.

Steg 1 — Velg et startpunkt

Vi kan bruke \(A=(1,2)\) som fast punkt på linja.

Steg 2 — Finn en retningsvektor

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,7-2)=(2,5).\]

Steg 3 — Skriv vektorformen

En parameterframstilling er \[(x,y)=(1,2)+t(2,5),\qquad t\in\mathbb R.\]

Steg 4 — Skriv koordinatvis

\[x=1+2t,\qquad y=2+5t.\]

Steg 5 — Kontroller punktet A

Når \(t=0\), får vi \((x,y)=(1,2)=A\).

Steg 6 — Kontroller punktet B

Når \(t=1\), får vi \((x,y)=(3,7)=B\).

Steg 7 — Konkluder

Framstillingen inneholder begge de gitte punktene og har riktig retning, så den beskriver linja \(l\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Line((1,2),(3,7)) \(5x-2y=-1\) 2 Curve(1+2t,2+5t,t,-10,10) linja gjennom A og B

Begge kommandoene beskriver den samme rette linja.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import Matrix, symbols, solve t = symbols('t', real=True) A = Matrix([1, 2]) B = Matrix([3, 7]) retning = B - A point = A + t*retning print("A =", A.T) print("B =", B.T) print("Retningsvektor B - A =", retning.T) print("Parameterpunkt =", point.T) print("Kontroll for t=0:", point.subs(t, 0).T) print("Kontroll for t=1:", point.subs(t, 1).T)

Utskrift fra Python: A = Matrix([[1, 2]]) B = Matrix([[3, 7]]) Retningsvektor B - A = Matrix([[2, 5]]) Parameterpunkt = Matrix([[2*t + 1, 5*t + 2]]) Kontroll for t=0: Matrix([[1, 2]]) Kontroll for t=1: Matrix([[3, 7]])

Fasit: \(l:\ (x,y)=(1,2)+t(2,5)\), \(t\in\mathbb R\).

Vanlig feil: Å bruke \((3,7)\) som retningsvektor. Retningsvektoren må finnes som differansen mellom punktene. Sensorpunkt: Sensor ser etter en korrekt retningsvektor og en parameterframstilling som faktisk gir både A og B. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b-2 Analytisk geometri · akseskjæringer

Oppgave 1b-2

Oppgave: Finn skjæringspunktene mellom linja \(l\) og koordinataksene. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker parameterframstillingen. På x-aksen er \(y=0\), og på y-aksen er \(x=0\).

Steg 1 — Start med parameterframstillingen

\[x=1+2t,\qquad y=2+5t.\]

Steg 2 — Finn skjæringen med x-aksen

På x-aksen er \(y=0\). Derfor løser vi \[2+5t=0.\]

Steg 3 — Løs for parameteren

\[5t=-2\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac25.\]

Steg 4 — Finn x-koordinaten

\[x=1+2\left(-\frac25\right)=1-\frac45=\frac15.\] Skjæringspunktet er \((1/5,0)\).

Steg 5 — Finn skjæringen med y-aksen

På y-aksen er \(x=0\). Vi løser \[1+2t=0\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac12.\]

Steg 6 — Finn y-koordinaten

\[y=2+5\left(-\frac12\right)=2-\frac52=-\frac12.\] Skjæringspunktet er \((0,-1/2)\).

Steg 7 — Kontroller

Begge punktene tilfredsstiller også linjelikningen \(5x-2y=-1\), så skjæringene er konsistente.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Intersect(Line((1,2),(3,7)),xAxis) \((1/5,0)\) 2 Intersect(Line((1,2),(3,7)),yAxis) \((0,-1/2)\)

GeoGebra bekrefter begge akseskjæringene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, solve, Rational t = symbols('t', real=True) x = 1 + 2*t y = 2 + 5*t t_xakse = solve(y, t)[0] t_yakse = solve(x, t)[0] print("Parameterframstilling: x =", x, ", y =", y) print("Når y=0, er t =", t_xakse) print("Skjæring med x-aksen =", (x.subs(t, t_xakse), 0)) print("Når x=0, er t =", t_yakse) print("Skjæring med y-aksen =", (0, y.subs(t, t_yakse))) print("Kontroll x-akse y-verdi =", y.subs(t, t_xakse)) print("Kontroll y-akse x-verdi =", x.subs(t, t_yakse))

Utskrift fra Python: Parameterframstilling: x = 2*t + 1 , y = 5*t + 2 Når y=0, er t = -2/5 Skjæring med x-aksen = (1/5, 0) Når x=0, er t = -1/2 Skjæring med y-aksen = (0, -1/2) Kontroll x-akse y-verdi = 0 Kontroll y-akse x-verdi = 0

Fasit: Linjen skjærer x-aksen i \((1/5,0)\) og y-aksen i \((0,-1/2)\).

Vanlig feil: Å sette \(t=0\) for å finne akseskjæringene. Parameteren har ingen direkte forbindelse med aksene. Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig aksebetingelse, korrekt parameterverdi og begge koordinatene. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c-1 Polynomer · faktorisering

Oppgave 1c-1

Oppgave: Vi har gitt polynomfunksjonen \(f(x)=x^3-3x^2-x+3\). Vis at \(f(x)\) er delelig med \(x+1\). Faktoriser \(f(x)\) i førstegradsfaktorer. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først bruke faktorteoremet med \(x=-1\), og deretter faktorisere resten av polynomet helt.

Steg 1 — Bruk faktorteoremet

Et polynom er delelig med \(x-a\) hvis \(f(a)=0\). For faktoren \(x+1=x-(-1)\) undersøker vi derfor \(f(-1)\).

Steg 2 — Regn ut f(-1)

\[f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-(-1)+3=-1-3+1+3=0.\]

Steg 3 — Konkluder delelighet

Siden \(f(-1)=0\), er \(x+1\) en faktor i \(f(x)\).

Steg 4 — Grupper leddene

\[x^3-3x^2-x+3=x^2(x-3)-1(x-3).\]

Steg 5 — Trekk ut felles faktor

\[f(x)=(x^2-1)(x-3).\]

Steg 6 — Bruk konjugatsetningen

\[x^2-1=(x-1)(x+1).\]

Steg 7 — Skriv full faktorisering

\[f(x)=(x+1)(x-1)(x-3).\] Alle faktorene er nå førstegradsfaktorer. …