Matematikk R1 Eksamen vår 2008 (REA3022) – løsningsforslag

Matematikk R1 — eksamen vår 2008 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Om oppgave 4: På eksamen skulle kandidaten velge alternativ I eller alternativ II. Her er begge alternativer løst, slik at filen dekker hele eksamenssettet. Digital kontroll: Python-blokkene viser den faktiske koden som er kjørt og den faktiske utskriften. GeoGebra-feltene viser kommando, resultat og tolkning. Kodefeltene bruker mørk Python-utforming med Python-blått og Python-gult, uten rosa markering.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon · produktregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^2\cdot\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av funksjonene \(x^2\) og \(\ln x\). Produktregelen må brukes, og definisjonsområdet \(x>0\) skal beholdes.

Steg 1 — Identifiser faktorene

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\ln x\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

Produktregelen er \[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 3 — Deriver første faktor

Potensregelen gir \[u^{\prime}(x)=2x.\]

Steg 4 — Deriver andre faktor

For \(x>0\) er \[v^{\prime}(x)=\frac1x.\]

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

\[f^{\prime}(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac1x.\]

Steg 6 — Forenkle algebraen

Siden \(x^2/x=x\), får vi \[f^{\prime}(x)=2x\ln x+x.\]

Steg 7 — Faktoriser ved behov

Et likeverdig uttrykk er \[f^{\prime}(x)=x(2\ln x+1).\] Dette er ofte nyttig ved likningsløsning og fortegnsdrøfting.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(x^2 ln(x)) \(2x\ln(x)+x\) 2 Factor(2x ln(x)+x) \(x(2\ln(x)+1)\)

CAS bekrefter både den utvidede og faktoriserte formen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, log, diff, factor, simplify x = symbols('x', positive=True) f = x**2 * log(x) f_derivert = diff(f, x) f_faktorisert = factor(f_derivert) print("Definisjonsområde: x > 0") print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Faktorisert form =", f_faktorisert) print("Kontroll mot x*(2*log(x) + 1):", simplify(f_derivert - x*(2*log(x) + 1)))

Utskrift fra Python: Definisjonsområde: x > 0 f(x) = x**2*log(x) f'(x) = 2*x*log(x) + x Faktorisert form = x*(2*log(x) + 1) Kontroll mot x*(2*log(x) + 1): 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å derivere faktorene hver for seg og multiplisere dem. Produktregelen skal gi to ledd. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel, den deriverte \(1/x\), full forenkling og at \(x>0\) er forstått. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Algebra · polynomdivisjon

Oppgave 1b

Oppgave: Utfør polynomdivisjonen \[(x^3-4x^2+x+6):(x-2).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal dele et tredjegradspolynom med et førstegradspolynom. Hvert ledd i kvotienten bestemmes ved å dele høyeste grad i resten på høyeste grad i divisoren.

Steg 1 — Finn første ledd i kvotienten

\(x^3/x=x^2\). Derfor begynner kvotienten med \(x^2\).

Steg 2 — Multipliser tilbake

\[x^2(x-2)=x^3-2x^2.\]

Steg 3 — Trekk fra

\[(x^3-4x^2+x+6)-(x^3-2x^2)=-2x^2+x+6.\]

Steg 4 — Finn neste ledd

\((-2x^2)/x=-2x\). Vi legger derfor \(-2x\) til kvotienten.

Steg 5 — Multipliser og trekk fra igjen

\[-2x(x-2)=-2x^2+4x,\] og \[(-2x^2+x+6)-(-2x^2+4x)=-3x+6.\]

Steg 6 — Finn siste ledd

\((-3x)/x=-3\). Da får vi \[-3(x-2)=-3x+6.\]

Steg 7 — Bestem resten og kontroller

Etter siste subtraksjon er resten \(0\). Dermed er \[x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x^2-2x-3).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Div(x^3-4x^2+x+6,x-2) \(x^2-2x-3\) 2 Mod(x^3-4x^2+x+6,x-2) 0

GeoGebra viser at divisjonen går opp uten rest.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, div, expand, factor x = symbols('x') teller = x**3 - 4*x**2 + x + 6 nevner = x - 2 kvotient, rest = div(teller, nevner) print("Dividend =", teller) print("Divisor =", nevner) print("Kvotient =", kvotient) print("Rest =", rest) print("Kontroll: divisor*kvotient + rest =", expand(nevner*kvotient + rest)) print("Faktorisering av dividend =", factor(teller))

Utskrift fra Python: Dividend = x**3 - 4*x**2 + x + 6 Divisor = x - 2 Kvotient = x**2 - 2*x - 3 Rest = 0 Kontroll: divisor*kvotient + rest = x**3 - 4*x**2 + x + 6 Faktorisering av dividend = (x - 3)*(x - 2)*(x + 1)

Fasit: Kvotienten er \(x^2-2x-3\), og resten er \(0\).

Vanlig feil: Å miste fortegnet når \((-2x^2+ x+6)-(-2x^2+4x)\) regnes ut. Sensorpunkt: Sensor ser etter systematisk divisjon, alle subtraksjoner og kontrollen divisor ganger kvotient pluss rest. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Grenser · faktorisering

Oppgave 1c

Oppgave: Bestem grenseverdien \[\lim_{x\to 8}\frac{x^2-64}{2x-16}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Direkte innsetting gir det ubestemte uttrykket \(0/0\). Vi må faktorisere og forkorte den felles faktoren før vi tar grensen.

Steg 1 — Prøv direkte innsetting

Når \(x=8\), blir både teller og nevner \(0\). Derfor kan vi ikke stoppe ved direkte innsetting.

Steg 2 — Faktoriser telleren

Differansen av to kvadrater gir \[x^2-64=(x-8)(x+8).\]

Steg 3 — Faktoriser nevneren

\[2x-16=2(x-8).\]

Steg 4 — Skriv brøken med faktorene

\[\frac{x^2-64}{2x-16}=\frac{(x-8)(x+8)}{2(x-8)}.\]

Steg 5 — Forkort den felles faktoren

For \(x\ne8\) kan \(x-8\) forkortes: \[\frac{(x-8)(x+8)}{2(x-8)}=\frac{x+8}{2}.\]

Steg 6 — Ta grensen

Nå er uttrykket kontinuerlig ved \(x=8\), så \[\lim_{x\to8}\frac{x+8}{2}=\frac{8+8}{2}.\]

Steg 7 — Regn ut

\[\frac{16}{2}=8.\] Hullet i originaluttrykket påvirker ikke grenseverdien.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Limit((x^2-64)/(2x-16),8) 8 2 Simplify((x^2-64)/(2x-16)) \((x+8)/2\), \(x\ne8\)

CAS bekrefter at den fjernbare diskontinuiteten har grenseverdi 8.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, limit, factor, cancel x = symbols('x') uttrykk = (x**2 - 64)/(2*x - 16) faktorisert_teller = factor(x**2 - 64) forkortet = cancel(uttrykk) grenserverdi = limit(uttrykk, x, 8) print("Opprinnelig uttrykk =", uttrykk) print("Faktorisert teller =", faktorisert_teller) print("Forkortet uttrykk for x != 8 =", forkortet) print("Grenseverdi når x går mot 8 =", grenserverdi) print("Kontroll ved innsetting i forkortet uttrykk =", forkortet.subs(x, 8))

Utskrift fra Python: Opprinnelig uttrykk = (x**2 - 64)/(2*x - 16) Faktorisert teller = (x - 8)*(x + 8) Forkortet uttrykk for x != 8 = x/2 + 4 Grenseverdi når x går mot 8 = 8 Kontroll ved innsetting i forkortet uttrykk = 8

Fasit: Grenseverdien er \(8\).

Vanlig feil: Å forkorte ledd i stedet for faktorer, eller å konkludere med at grensen er \(0/0\). Sensorpunkt: Sensor ser etter faktorisering, begrunnet forkorting for \(x e8\) og korrekt innsetting etter forkortingen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Logaritmer · regneregler

Oppgave 1d

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig \[\lg(x\cdot y^2)-2\lg y+\lg\left(\frac{x}{y^2}\right).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produktregelen, kvotientregelen og potensregelen for logaritmer. Siden logaritmene må være definerte, forutsetter vi \(x>0\) og \(y>0\).

Steg 1 — Utvid første logaritme

\[\lg(xy^2)=\lg x+\lg(y^2)=\lg x+2\lg y.\]

Steg 2 — Utvid siste logaritme

\[\lg\left(\frac{x}{y^2}\right)=\lg x-\lg(y^2)=\lg x-2\lg y.\]

Steg 3 — Sett alt inn

Uttrykket blir \[\lg x+2\lg y-2\lg y+\lg x-2\lg y.\]

Steg 4 — Samle x-leddene

\[\lg x+\lg x=2\lg x.\]

Steg 5 — Samle y-leddene

\[2\lg y-2\lg y-2\lg y=-2\lg y.\]

Steg 6 — Bruk kvotientregelen

\[2\lg x-2\lg y=2(\lg x-\lg y)=2\lg\left(\frac{x}{y}\right).\]

Steg 7 — Skriv eventuelt som én logaritme

Potensregelen gir \[2\lg\left(\frac{x}{y}\right)=\lg\left(\frac{x^2}{y^2}\right).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Simplify(log(10,x*y^2)-2log(10,y)+log(10,x/y^2)) \(2\log_{10}(x/y)\)

CAS-resultatet er det samme når x og y antas positive.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, log, expand_log, simplify, logcombine x, y = symbols('x y', positive=True) uttrykk = log(x*y**2, 10) - 2*log(y, 10) + log(x/y**2, 10) forenklet = simplify(expand_log(uttrykk, force=True)) samlet = logcombine(forenklet, force=True) print("Forutsetning: x > 0 og y > 0") print("Utvidet logaritmeuttrykk =", expand_log(uttrykk, force=True)) print("Forenklet uttrykk =", forenklet) print("Samlet til én logaritme =", samlet) print("Kontroll mot 2*log(x/y,10):", simplify(forenklet - 2*log(x/y,10)))

Utskrift fra Python: Forutsetning: x > 0 og y > 0 Utvidet logaritmeuttrykk = (log(x) - 2*log(y))/log(10) + (log(x) + 2*log(y))/log(10) - 2*log(y)/log(10) Forenklet uttrykk = log((x/y)**(2/log(10))) Samlet til én logaritme = log((x/y)**(2/log(10))) Kontroll mot 2*log(x/y,10): 0

Fasit: \(2\lg(x/y)\), eventuelt \(\lg(x^2/y^2)\), for \(x>0\) og \(y>0\). …