Matematikk R1 Eksamen høsten 2016 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - høsten 2016 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=2x^2-5x-6.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et polynom ledd for ledd ved hjelp av potensregelen.

Steg 1 - Skriv potensregelen

For et ledd \(ax^n\) er den deriverte \(anx^{n-1}\).

Steg 2 - Deriver andregradsleddet

\(\frac{d}{dx}(2x^2)=4x\).

Steg 3 - Deriver førstegradsleddet

\(\frac{d}{dx}(-5x)=-5\).

Steg 4 - Deriver konstanten

\(\frac{d}{dx}(-6)=0\).

Steg 5 - Samle leddene

Dermed får vi \[f\'(x)=4x-5.\]

Steg 6 - Kontroller graden

Et andregradspolynom skal få en lineær derivert, noe resultatet gjør.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[2x^2-5x-6,x] \(4x-5\)

Tolkning: CAS deriverer hvert polynomledd og gir samme lineære uttrykk.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") f = 2*x**2 - 5*x - 6 print("f(x) =", f) print("d/dx(2*x**2) =", sp.diff(2*x**2, x)) print("d/dx(-5*x) =", sp.diff(-5*x, x)) print("d/dx(-6) =", sp.diff(-6, x)) print("f'(x) =", sp.diff(f, x))

Utskrift fra Python: f(x) = 2*x**2 - 5*x - 6 d/dx(2*x**2) = 4*x d/dx(-5*x) = -5 d/dx(-6) = 0 f'(x) = 4*x - 5

Fasit: \(f\'(x)=4x-5\).

Vanlig feil: Å glemme at den deriverte av en konstant er 0. Sensorpunkt: Potensregelen må brukes korrekt på hvert ledd, og svaret skal samles. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av funksjonene \(u(x)=x\) og \(v(x)=\ln x\).

Steg 1 - Oppgi definisjonsmengden

Fordi \(\ln x\) inngår, må \(x>0\).

Steg 2 - Skriv produktregelen

\((uv)\'=u\'v+uv\'\).

Steg 3 - Deriver faktorene

\(u\'(x)=1\) og \(v\'(x)=1/x\).

Steg 4 - Sett inn i regelen

\[g\'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x.\]

Steg 5 - Forenkle

Når \(x>0\), er \(x\cdot 1/x=1\).

Steg 6 - Skriv sluttresultatet

\[g\'(x)=\ln x+1,\qquad x>0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x ln(x),x] \(\ln(x)+1\)

Tolkning: CAS bruker produktregelen og forenkler \(x/x\) til 1.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", positive=True) g = x*sp.log(x) term_1 = sp.diff(x, x)*sp.log(x) term_2 = x*sp.diff(sp.log(x), x) print("g(x) =", g) print("Første produktledd =", term_1) print("Andre produktledd =", term_2) print("g'(x) =", sp.simplify(term_1 + term_2))

Utskrift fra Python: g(x) = x*log(x) Første produktledd = log(x) Andre produktledd = 1 g'(x) = log(x) + 1

Fasit: \(g\'(x)=\ln x+1\) for \(x>0\).

Vanlig feil: Å derivere bare én av faktorene. Sensorpunkt: Produktregelen og kravet \(x>0\) bør komme tydelig fram. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Kvotient- og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\frac{e^{2x}}{x-3}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en kvotient. Telleren krever samtidig kjerneregelen.

Steg 1 - Identifiser teller og nevner

Sett \(u(x)=e^{2x}\) og \(v(x)=x-3\).

Steg 2 - Deriver telleren

Kjerneregelen gir \(u\'(x)=2e^{2x}\).

Steg 3 - Deriver nevneren

\(v\'(x)=1\).

Steg 4 - Bruk kvotientregelen

\[h\'(x)=\frac{u\'v-uv\'}{v^2}=\frac{2e^{2x}(x-3)-e^{2x}}{(x-3)^2}.\]

Steg 5 - Faktoriser telleren

Vi trekker ut \(e^{2x}\): \[2(x-3)-1=2x-7.\]

Steg 6 - Skriv definisjonskravet

Nevneren kan ikke være 0, så \(x\ne3\).

Steg 7 - Sluttresultat

\[h\'(x)=\frac{e^{2x}(2x-7)}{(x-3)^2}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[exp(2x)/(x-3),x] \(\dfrac{e^{2x}(2x-7)}{(x-3)^2}\)

Tolkning: CAS kombinerer kvotientregelen med kjerneregelen i eksponentialfunksjonen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") u = sp.exp(2*x) v = x - 3 quotient_rule = (sp.diff(u, x)*v - u*sp.diff(v, x))/v**2 h = u/v print("u'(x) =", sp.diff(u, x)) print("v'(x) =", sp.diff(v, x)) print("Kvotientregelen gir =", quotient_rule) print("Faktorisert h'(x) =", sp.factor(sp.diff(h, x)))

Utskrift fra Python: u'(x) = 2*exp(2*x) v'(x) = 1 Kvotientregelen gir = (2*(x - 3)*exp(2*x) - exp(2*x))/(x - 3)**2 Faktorisert h'(x) = (2*x - 7)*exp(2*x)/(x - 3)**2

Fasit: \(h\'(x)=\dfrac{e^{2x}(2x-7)}{(x-3)^2}\), \(x\ne3\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 når \(e^{2x}\) deriveres. Sensorpunkt: Både kvotientregelen, kjerneregelen og korrekt faktorisering må være med. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Nullpunkter og multiplisitet

Oppgave 2a

Oppgave: En funksjon er gitt ved \[f(x)=(x+1)^2(x-2).\] Bestem nullpunktene til \(f\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den faktoriserte formen direkte og sette hver faktor lik 0.

Steg 1 - Bruk nullproduktregelen

Et produkt er 0 når minst én faktor er 0.

Steg 2 - Løs første faktor

\((x+1)^2=0\) gir \(x=-1\).

Steg 3 - Bestem multiplisiteten

Faktoren er kvadrert, så \(x=-1\) er et dobbelt nullpunkt.

Steg 4 - Løs andre faktor

\(x-2=0\) gir \(x=2\).

Steg 5 - Finn punktene på grafen

Nullpunktene som koordinater er \((-1,0)\) og \((2,0)\).

Steg 6 - Tolk grafisk

Grafen tangerer x-aksen ved det doble nullpunktet \(x=-1\) og krysser ved \(x=2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[(x+1)^2(x-2)=0,x] \(x=-1\;\lor\;x=2\) 2 Factor[(x+1)^2(x-2)] \((x+1)^2(x-2)\)

Tolkning: Faktoriseringen viser at \(-1\) har multiplisitet 2.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") f = (x + 1)**2*(x - 2) print("Faktorisert f(x) =", sp.factor(f)) print("Utvidet f(x) =", sp.expand(f)) print("Nullpunkter =", sp.solve(sp.Eq(f, 0), x)) factor_data = sp.factor_list(f)[1] print("Faktorer med multiplisitet =", factor_data) print("Multiplisitet ved x=-1 = 2") print("Multiplisitet ved x=2 = 1")

Utskrift fra Python: Faktorisert f(x) = (x - 2)*(x + 1)**2 Utvidet f(x) = x**3 - 3*x - 2 Nullpunkter = [-1, 2] Faktorer med multiplisitet = [(x - 2, 1), (x + 1, 2)] Multiplisitet ved x=-1 = 2 Multiplisitet ved x=2 = 1

Fasit: Nullpunktene er \(x=-1\) (dobbelt) og \(x=2\).

Vanlig feil: Å oppgi \(x=-1\) to ganger uten å forklare at det er et dobbelt nullpunkt. Sensorpunkt: Både nullpunkter og grafisk betydning av multiplisiteten bør nevnes. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Ekstremalpunkter

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \[f(x)=(x+1)^2(x-2).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne kritiske punkter fra \(f'(x)=0\) og klassifisere dem.

Steg 1 - Utvid funksjonen

\[(x+1)^2(x-2)=x^3-3x-2.\]

Steg 2 - Deriver

\[f\'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).\]

Steg 3 - Finn kritiske x-verdier

\(f\'(x)=0\) gir \(x=-1\) og \(x=1\).

Steg 4 - Finn y-verdiene

\(f(-1)=0\) og \(f(1)=-4\).

Steg 5 - Bruk andrederiverttesten

\(f\'\'(x)=6x\). Dermed er \(f\'\'(-1)=-6<0\), så \((-1,0)\) er et toppunkt.

Steg 6 - Klassifiser det andre punktet

\(f\'\'(1)=6>0\), så \((1,-4)\) er et bunnpunkt.

Steg 7 - Kontroller fortegn

\(f\'\) skifter fra positiv til negativ ved \(-1\), og fra negativ til positiv ved \(1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Extremum[(x+1)^2(x-2)] \((-1,0),\;(1,-4)\) 2 Derivative[(x+1)^2(x-2),x,2] \(6x\)

Tolkning: Fortegnet til andrederiverten klassifiserer punktene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") f = (x + 1)**2*(x - 2) fp = sp.factor(sp.diff(f, x)) fpp = sp.diff(f, x, 2) critical = sp.solve(sp.Eq(fp, 0), x) print("f(x) utvidet =", sp.expand(f)) print("f'(x) =", fp) print("f''(x) =", fpp) for value in critical: print("x =", value, ": f(x) =", f.subs(x, value), ", f''(x) =", fpp.subs(x, value))

Utskrift fra Python: f(x) utvidet = x**3 - 3*x - 2 f'(x) = 3*(x - 1)*(x + 1) f''(x) = 6*x x = -1 : f(x) = 0 , f''(x) = -6 x = 1 : f(x) = -4 , f''(x) = 6

Fasit: Toppunkt \((-1,0)\) og bunnpunkt \((1,-4)\).

Vanlig feil: Å finne de kritiske x-verdiene uten å regne ut tilhørende y-verdier. Sensorpunkt: Kritiske punkter må både finnes og klassifiseres. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2c Grafskisse

Oppgave 2c

Oppgave: Lag en skisse av grafen til \[f(x)=(x+1)^2(x-2).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal kombinere nullpunkter, ekstremalpunkter, skjæring med y-aksen og endeadferd.

Steg 1 - Marker nullpunktene

Grafen tangerer x-aksen i \((-1,0)\) og krysser i \((2,0)\).

Steg 2 - Marker ekstremalpunktene

Toppunktet er \((-1,0)\), og bunnpunktet er \((1,-4)\).

Steg 3 - Finn y-akseskjæringen

\(f(0)=1^2\cdot(-2)=-2\), så grafen går gjennom \((0,-2)\). …