Matematikk R1 Våren 2017 (REA3022) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2017 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon av polynom

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=2x^3-5x+4.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et tredjegradspolynom ledd for ledd med potensregelen.

Steg 1 - Skriv potensregelen

For et ledd \(ax^n\) er den deriverte \(anx^{n-1}\).

Steg 2 - Deriver tredjegradsleddet

\[\frac{d}{dx}(2x^3)=2\cdot 3x^2=6x^2.\]

Steg 3 - Deriver førstegradsleddet

\[\frac{d}{dx}(-5x)=-5.\]

Steg 4 - Deriver konstanten

Konstantleddet har derivert lik 0: \(\frac{d}{dx}(4)=0\).

Steg 5 - Samle resultatet

\[f^{\prime}(x)=6x^2-5.\]

Steg 6 - Rimelighetskontroll

En tredjegradsfunksjon skal normalt få en andregradsfunksjon som derivert. Det stemmer her.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[2x^3-5x+4,x] \(6x^2-5\)

Tolkning: CAS bruker potensregelen på hvert ledd.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") f = 2*x**3 - 5*x + 4 term_1 = sp.diff(2*x**3, x) term_2 = sp.diff(-5*x, x) term_3 = sp.diff(4, x) print("f(x) =", f) print("Derivative of 2*x**3 =", term_1) print("Derivative of -5*x =", term_2) print("Derivative of 4 =", term_3) print("f'(x) =", sp.diff(f, x))

Utskrift fra Python: f(x) = 2*x**3 - 5*x + 4 Derivative of 2*x**3 = 6*x**2 Derivative of -5*x = -5 Derivative of 4 = 0 f'(x) = 6*x**2 - 5

Fasit: \(f^{\prime}(x)=6x^2-5\).

Vanlig feil: Å redusere eksponenten uten å multiplisere med den gamle eksponenten. Sensorpunkt: Alle tre ledd må deriveres, og konstantleddet skal gi 0. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x^2e^x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x^2\) og \(e^x\), så vi må bruke produktregelen.

Steg 1 - Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=e^x\).

Steg 2 - Deriver faktorene

Vi får \(u^{\prime}(x)=2x\) og \(v^{\prime}(x)=e^x\).

Steg 3 - Skriv produktregelen

\[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 4 - Sett inn

\[g^{\prime}(x)=2x\,e^x+x^2e^x.\]

Steg 5 - Faktoriser

Begge leddene inneholder \(xe^x\): \[g^{\prime}(x)=xe^x(x+2).\]

Steg 6 - Kontroller formen

Utvidelse av det faktoriserte svaret gir \(x^2e^x+2xe^x\), som er samme uttrykk.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^2 exp(x),x] \(x^2e^x+2xe^x\) 2 Factor[x^2 exp(x)+2x exp(x)] \(xe^x(x+2)\)

Tolkning: CAS viser både utvidet og faktorisert form.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") u = x**2 v = sp.exp(x) g = u*v u_prime = sp.diff(u, x) v_prime = sp.diff(v, x) product_rule = u_prime*v + u*v_prime print("u(x) =", u) print("v(x) =", v) print("u'(x) =", u_prime) print("v'(x) =", v_prime) print("Product rule result =", product_rule) print("Factored g'(x) =", sp.factor(product_rule))

Utskrift fra Python: u(x) = x**2 v(x) = exp(x) u'(x) = 2*x v'(x) = exp(x) Product rule result = x**2*exp(x) + 2*x*exp(x) Factored g'(x) = x*(x + 2)*exp(x)

Fasit: \(g^{\prime}(x)=e^x(x^2+2x)=xe^x(x+2)\).

Vanlig feil: Å derivere faktorene hver for seg og deretter multiplisere de deriverte. Sensorpunkt: Produktregelen skal vises eksplisitt før uttrykket faktoriseres. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Kjerneregelen

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\sqrt{x^2-3}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Rotfunksjonen har en indre funksjon \(x^2-3\). Vi bruker potensregelen sammen med kjerneregelen.

Steg 1 - Skriv roten som potens

\[h(x)=(x^2-3)^{1/2}.\]

Steg 2 - Identifiser den indre funksjonen

Sett \(u(x)=x^2-3\). Da er \(u^{\prime}(x)=2x\).

Steg 3 - Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(u^{1/2}\) er \(\frac12u^{-1/2}\).

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\[h^{\prime}(x)=\frac12(x^2-3)^{-1/2}\cdot 2x.\]

Steg 5 - Forenkle

Faktorene 2 og \(\frac12\) forkortes: \[h^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-3}}.\]

Steg 6 - Oppgi hvor den deriverte finnes

Originalfunksjonen er definert for \(|x|\geq\sqrt3\), men den deriverte har nevner 0 i endepunktene. Derfor gjelder formelen for \(|x|>\sqrt3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[sqrt(x^2-3),x] \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2-3}}\)

Tolkning: CAS bruker kjerneregelen og forenkler faktorene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) inside = x**2 - 3 h = sp.sqrt(inside) inside_prime = sp.diff(inside, x) outer_factor = sp.Rational(1, 2)*inside**sp.Rational(-1, 2) chain_rule = sp.simplify(outer_factor*inside_prime) print("Inside function =", inside) print("Inside derivative =", inside_prime) print("Outer derivative factor =", outer_factor) print("Chain rule result =", chain_rule) print("SymPy derivative =", sp.diff(h, x)) print("Derivative domain condition: x**2 - 3 > 0")

Utskrift fra Python: Inside function = x**2 - 3 Inside derivative = 2*x Outer derivative factor = 1/(2*sqrt(x**2 - 3)) Chain rule result = x/sqrt(x**2 - 3) SymPy derivative = x/sqrt(x**2 - 3) Derivative domain condition: x**2 - 3 > 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-3}}\) for \(|x|>\sqrt3\).

Vanlig feil: Å glemme å multiplisere med den indre deriverte \(2x\). Sensorpunkt: Kjerneregelen og begrensningen for den deriverte må komme tydelig fram. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Rasjonale uttrykk

Oppgave 2a

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig \[\frac{x^2-3}{x^2-9}+\frac{1}{x+3}+\frac{5}{x-3}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke fellesnevneren \((x-3)(x+3)\), samle tellerne og forkorte.

Steg 1 - Finn definisjonsbegrensningene

Nevnerne kan ikke være 0, så \(x\neq -3\) og \(x\neq 3\).

Steg 2 - Faktoriser andregradsnevneren

\[x^2-9=(x-3)(x+3).\]

Steg 3 - Utvid den andre brøken

\[\frac1{x+3}=\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}.\]

Steg 4 - Utvid den tredje brøken

\[\frac5{x-3}=\frac{5(x+3)}{(x-3)(x+3)}.\]

Steg 5 - Samle tellerne

\[x^2-3+(x-3)+5(x+3)=x^2+6x+9.\]

Steg 6 - Faktoriser telleren

\[x^2+6x+9=(x+3)^2.\]

Steg 7 - Forkort lovlig

\[\frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+3}{x-3}.\] Definisjonsbegrensningene fra originaluttrykket beholdes.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Simplify[(x^2-3)/(x^2-9)+1/(x+3)+5/(x-3)] \(\dfrac{x+3}{x-3}\)

Tolkning: CAS samler brøkene og faktoriserer telleren.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") expr = (x**2 - 3)/(x**2 - 9) + 1/(x + 3) + 5/(x - 3) common_numerator = sp.expand((x**2 - 3) + (x - 3) + 5*(x + 3)) print("Original expression =", expr) print("Common denominator =", sp.factor(x**2 - 9)) print("Combined numerator =", common_numerator) print("Factored numerator =", sp.factor(common_numerator)) print("Simplified expression =", sp.cancel(expr)) print("Excluded values = -3 and 3")

Utskrift fra Python: Original expression = (x**2 - 3)/(x**2 - 9) + 1/(x + 3) + 5/(x - 3) Common denominator = (x - 3)*(x + 3) Combined numerator = x**2 + 6*x + 9 Factored numerator = (x + 3)**2 Simplified expression = (x + 3)/(x - 3) Excluded values = -3 and 3

Fasit: \(\dfrac{x+3}{x-3}\), med \(x\neq -3\) og \(x\neq 3\).

Vanlig feil: Å forkorte \(x^2-3\) mot \(x^2-9\) før uttrykket er faktorisert. Sensorpunkt: Fellesnevner, faktorisering og de opprinnelige ulovlige verdiene skal være med. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Logaritmeregler

Oppgave 2b

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig \[2\ln(a^{-3}b^2)-3\ln\!\left(\frac{b}{a^2}\right).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produkt-, kvotient- og potensregelen for logaritmer.

Steg 1 - Avklar forutsetningene

For at begge logaritmene skal være definert, må de to argumentene være positive. Det gir i praksis \(a>0\) og \(b>0\).

Steg 2 - Utvid den første logaritmen

\[\ln(a^{-3}b^2)=-3\ln a+2\ln b.\]

Steg 3 - Multipliser med 2

\[2\ln(a^{-3}b^2)=-6\ln a+4\ln b.\]

Steg 4 - Utvid den andre logaritmen

\[\ln\!\left(\frac b{a^2}\right)=\ln b-2\ln a.\]

Steg 5 - Multipliser med -3

\[-3\ln\!\left(\frac b{a^2}\right)=-3\ln b+6\ln a.\]

Steg 6 - Samle like ledd

\[-6\ln a+4\ln b-3\ln b+6\ln a=\ln b.\]

Steg 7 - Konkluder

Alle leddene med \(\ln a\) kansellerer, og svaret blir \(\ln b\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Expand[2 ln(a^(-3)b^2)-3 ln(b/a^2)] \(\ln b\), for \(a>0,b>0\)

Tolkning: Når variablene antas positive, bruker CAS de samme logaritmereglene. …