Matematikk R1 Eksamen høsten 2018 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - høsten 2018 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon - sumregelen

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^2+2x+e^x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et polynom og en eksponentialfunksjon ledd for ledd.

Steg 1 - Del opp funksjonen

Funksjonen består av leddene \(x^2\), \(2x\) og \(e^x\).

Steg 2 - Deriver kvadratleddet

Potensregelen gir \(\frac{d}{dx}x^2=2x\).

Steg 3 - Deriver det lineære leddet

\(\frac{d}{dx}(2x)=2\).

Steg 4 - Deriver eksponentialleddet

\(\frac{d}{dx}e^x=e^x\).

Steg 5 - Bruk sumregelen

Den deriverte av en sum er summen av de deriverte.

Steg 6 - Samle svaret

\[f^{\prime}(x)=2x+2+e^x.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^2+2x+exp(x),x] \(2x+2+e^x\)

Tolkning: CAS bruker potensregelen og regelen for den naturlige eksponentialfunksjonen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) polynomial_part = x**2 + 2*x exponential_part = sp.exp(x) f = polynomial_part + exponential_part polynomial_derivative = sp.diff(polynomial_part, x) exponential_derivative = sp.diff(exponential_part, x) derivative = sp.diff(f, x) print("Polynomial part =", polynomial_part) print("Exponential part =", exponential_part) print("Derivative of polynomial part =", polynomial_derivative) print("Derivative of exponential part =", exponential_derivative) print("f'(x) =", derivative) print("Difference from 2*x + 2 + exp(x) =", sp.simplify(derivative-(2*x+2+sp.exp(x))))

Utskrift fra Python: Polynomial part = x**2 + 2*x Exponential part = exp(x) Derivative of polynomial part = 2*x + 2 Derivative of exponential part = exp(x) f'(x) = 2*x + exp(x) + 2 Difference from 2*x + 2 + exp(x) = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=2x+2+e^x\).

Vanlig feil: Å glemme at den deriverte av \(e^x\) er \(e^x\), eller å la konstantfaktoren 2 forsvinne. Sensorpunkt: Alle tre ledd skal deriveres korrekt og samles uten unødvendige omskrivinger. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Derivasjon - produktregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x^2\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x^2\) og \(\ln x\), så produktregelen må brukes. Definisjonsmengden er \(x>0\).

Steg 1 - Velg faktorene

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\ln x\).

Steg 2 - Deriver faktorene

\[u^{\prime}(x)=2x,\qquad v^{\prime}(x)=\frac1x.\]

Steg 3 - Skriv produktregelen

\[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 4 - Sett inn

\[g^{\prime}(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac1x.\]

Steg 5 - Forenkle

For \(x>0\) er \(x^2/x=x\).

Steg 6 - Skriv sluttresultatet

\[g^{\prime}(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^2 ln(x),x] \(2x\ln x+x\) 2 Factor[%] \(x(2\ln x+1)\)

Tolkning: CAS bekrefter både sumformen og den faktoriserte formen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", positive=True) u = x**2 v = sp.log(x) u_prime = sp.diff(u, x) v_prime = sp.diff(v, x) product_rule = sp.expand(u_prime*v + u*v_prime) direct_derivative = sp.diff(u*v, x) print("u(x) =", u) print("v(x) =", v) print("u'(x) =", u_prime) print("v'(x) =", v_prime) print("Product-rule result =", product_rule) print("Factored result =", sp.factor(product_rule)) print("Direct derivative check =", direct_derivative) print("Difference check =", sp.simplify(product_rule-direct_derivative))

Utskrift fra Python: u(x) = x**2 v(x) = log(x) u'(x) = 2*x v'(x) = 1/x Product-rule result = 2*x*log(x) + x Factored result = x*(2*log(x) + 1) Direct derivative check = 2*x*log(x) + x Difference check = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som \(2x\cdot1/x\). Produktregelen krever to ledd. Sensorpunkt: Produktregelen og forenklingen \(x^2/x=x\) skal komme tydelig fram. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Derivasjon - kvotient og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\frac{x-1}{e^{2x+1}}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kan skrive brøken som et produkt med negativ eksponent og deretter bruke produktregelen og kjerneregelen.

Steg 1 - Skriv om brøken

\[h(x)=(x-1)e^{-(2x+1)}.\]

Steg 2 - Deriver første faktor

\(\frac{d}{dx}(x-1)=1\).

Steg 3 - Deriver andre faktor

Kjerneregelen gir \[\frac{d}{dx}e^{-(2x+1)}=-2e^{-(2x+1)}.\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[h^{\prime}(x)=e^{-(2x+1)}-2(x-1)e^{-(2x+1)}.\]

Steg 5 - Faktoriser eksponentialleddet

\[h^{\prime}(x)=e^{-(2x+1)}\bigl(1-2x+2\bigr).\]

Steg 6 - Forenkle parentesen

\[h^{\prime}(x)=(3-2x)e^{-(2x+1)}.\]

Steg 7 - Skriv som brøk

\[h^{\prime}(x)=\frac{3-2x}{e^{2x+1}}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[(x-1)/exp(2x+1),x] \(\frac{3-2x}{e^{2x+1}}\)

Tolkning: CAS utfører kvotientregelen og forenkler til samme uttrykk.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) numerator = x - 1 denominator = sp.exp(2*x + 1) h = numerator / denominator rewritten = numerator * sp.exp(-(2*x + 1)) product_rule = sp.diff(numerator, x)*sp.exp(-(2*x+1)) + numerator*sp.diff(sp.exp(-(2*x+1)), x) derivative = sp.simplify(sp.diff(h, x)) print("Numerator =", numerator) print("Denominator =", denominator) print("Rewritten h(x) =", rewritten) print("Product-rule expression =", sp.expand(product_rule)) print("Simplified derivative =", derivative) print("Expected form =", (3-2*x)/sp.exp(2*x+1)) print("Difference check =", sp.simplify(derivative-(3-2*x)/sp.exp(2*x+1)))

Utskrift fra Python: Numerator = x - 1 Denominator = exp(2*x + 1) Rewritten h(x) = (x - 1)*exp(-2*x - 1) Product-rule expression = -2*x*exp(-1)*exp(-2*x) + 3*exp(-1)*exp(-2*x) Simplified derivative = (3 - 2*x)*exp(-2*x - 1) Expected form = (3 - 2*x)*exp(-2*x - 1) Difference check = 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=\dfrac{3-2x}{e^{2x+1}}\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 når \(e^{2x+1}\) eller \(e^{-(2x+1)}\) deriveres. Sensorpunkt: Kjerneregelen må være synlig, og sluttformen skal være algebraisk korrekt for alle reelle \(x\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Eksponentiallikning

Oppgave 2a

Oppgave: Løs likningen \[e^{2x}+7e^x-8=0.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Likningen er andregradsliknende i \(e^x\). Vi innfører en positiv hjelpevariabel.

Steg 1 - Innfør variabel

Sett \(u=e^x\). Da er \(u>0\) og \(e^{2x}=u^2\).

Steg 2 - Skriv om likningen

\[u^2+7u-8=0.\]

Steg 3 - Faktoriser

\[u^2+7u-8=(u-1)(u+8).\]

Steg 4 - Finn kandidatene

\[u=1\quad\text{eller}\quad u=-8.\]

Steg 5 - Bruk positivitet

Siden \(u=e^x>0\), forkastes \(u=-8\).

Steg 6 - Gå tilbake til x

\[e^x=1\iff x=0.\]

Steg 7 - Kontroller

Innsetting gir \(1+7-8=0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[exp(2x)+7exp(x)-8=0,x] \(x=0\)

Tolkning: CAS gir den eneste reelle løsningen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x, u = sp.symbols("x u", real=True) quadratic = u**2 + 7*u - 8 factored = sp.factor(quadratic) u_solutions = sp.solve(sp.Eq(quadratic, 0), u) positive_u = [value for value in u_solutions if value.is_positive] x_solutions = [sp.log(value) for value in positive_u] original = sp.exp(2*x) + 7*sp.exp(x) - 8 print("Quadratic in u =", quadratic) print("Factored quadratic =", factored) print("All u-solutions =", u_solutions) print("Positive u-solutions =", positive_u) print("Corresponding x-solutions =", x_solutions) for value in x_solutions: print("Check at x =", value, ":", sp.simplify(original.subs(x, value)))

Utskrift fra Python: Quadratic in u = u**2 + 7*u - 8 Factored quadratic = (u - 1)*(u + 8) All u-solutions = [-8, 1] Positive u-solutions = [1] Corresponding x-solutions = [0] Check at x = 0 : 0

Fasit: \(x=0\).

Vanlig feil: Å ta med \(e^x=-8\) som en mulig reell løsning. En eksponentialverdi er alltid positiv. Sensorpunkt: Substitusjonen og begrunnelsen for å forkaste den negative roten skal være med. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Logaritmelikning og definisjonsmengde

Oppgave 2b

Oppgave: Løs likningen \[\ln(x^2-5x-1)-\ln(3-2x)=0.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Før logaritmeregler brukes, må begge logaritmeargumentene være positive.

Steg 1 - Sett opp kravene

Vi må ha \(x^2-5x-1>0\) og \(3-2x>0\).

Steg 2 - Samle logaritmene

\[\ln\!\left(\frac{x^2-5x-1}{3-2x}\right)=0.\]

Steg 3 - Bruk at \(\ln 1=0\)

For lovlige \(x\)-verdier må brøken være lik 1.

Steg 4 - Løs den algebraiske likningen

\[x^2-5x-1=3-2x\iff x^2-3x-4=0.\]

Steg 5 - Faktoriser

\[(x-4)(x+1)=0,\] så kandidatene er \(x=4\) og \(x=-1\).

Steg 6 - Kontroller definisjonsmengden

For \(x=4\) er \(3-2x=-5<0\), så kandidaten forkastes. For \(x=-1\) er begge argumentene lik 5.

Steg 7 - Kontroller originalen

\(\ln 5-\ln 5=0\). …