Fullstendig løsningsforslag til Matematikk R1 Eksamen vår 2012 (REA3022). Steg-for-steg forklaringer med «Vis løsning» og hjelp fra ifingo-læreren.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-10-13
Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensregelen på tredjegradsleddet og derivere hvert ledd separat.
Funksjonen består av leddene \(5x^3\), \(x\) og konstanten \(-4\).
Potensregelen gir \((5x^3)^{\prime}=5\cdot3x^{2}=15x^2\).
Den deriverte av \(x\) er \(1\).
Den deriverte av en konstant er \(0\), altså \((-4)^{\prime}=0\).
Dermed får vi \[f^{\prime}(x)=15x^2+1+0.\]
Nullleddet kan fjernes, så \(f^{\prime}(x)=15x^2+1\).
Tolkning: CAS bekrefter den leddvise derivasjonen.
from sympy import symbols, diff, expand x = symbols('x') f = 5*x**3 + x - 4 f_derivert = diff(f, x) print("f(x) =", f) print("Deriverer ledd for ledd:") print("d/dx(5x^3) = 15x^2") print("d/dx(x) = 1") print("d/dx(-4) = 0") print("f'(x) =", expand(f_derivert))Utskrift fra Python: f(x) = 5*x**3 + x - 4 Deriverer ledd for ledd: d/dx(5x^3) = 15x^2 d/dx(x) = 1 d/dx(-4) = 0 f'(x) = 15*x**2 + 1
Fasit: \(f^{\prime}(x)=15x^2+1\).
Vanlig feil: Å redusere eksponenten uten å multiplisere med den gamle eksponenten 3. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bruk av potensregelen og at konstantleddet deriveres til 0. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a.2 Derivasjon · kjerneregelHva spør oppgaven om? Vi skal derivere en eksponentialfunksjon med indre funksjon \(3x\), så kjerneregelen må brukes.
Sett \(u(x)=3x\). Da er \(g(x)=5e^{u(x)}\).
Vi får \(u^{\prime}(x)=3\).
Den deriverte av \(e^u\) med hensyn på \(u\) er \(e^u\).
Dermed er \[(e^{3x})^{\prime}=e^{3x}\cdot3.\]
Faktoren 5 beholdes: \[g^{\prime}(x)=5\cdot e^{3x}\cdot3.\]
\(5\cdot3=15\), så \(g^{\prime}(x)=15e^{3x}\).
Tolkning: CAS viser at den deriverte er 15 ganger samme eksponentialfaktor.
from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify x = symbols('x') g = 5*exp(3*x) g_derivert = diff(g, x) forventet = 15*exp(3*x) print("g(x) =", g) print("Indre funksjon u(x) = 3x") print("u'(x) = 3") print("g'(x) =", g_derivert) print("Faktorisert =", factor(g_derivert)) print("Kontroll mot 15*exp(3x) =", simplify(g_derivert-forventet))Utskrift fra Python: g(x) = 5*exp(3*x) Indre funksjon u(x) = 3x u'(x) = 3 g'(x) = 15*exp(3*x) Faktorisert = 15*exp(3*x) Kontroll mot 15*exp(3x) = 0
Fasit: \(g^{\prime}(x)=15e^{3x}\).
Vanlig feil: Å skrive \(5e^{3x}\) som den deriverte og glemme den indre deriverte 3. Sensorpunkt: Full uttelling krever at kjerneregelen eller faktoren 3 kommer tydelig fram. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Logaritmer · regnereglerHva spør oppgaven om? Vi skal bruke kvotient-, produkt- og potensregelen for logaritmer og samle koeffisientene foran \(\ln a\) og \(\ln b\).
Logaritmene krever \(a>0\) og \(b>0\).
\[2\ln\left(\frac{a^2}{b}\right)=2(\ln a^2-\ln b)=4\ln a-2\ln b.\]
\[\ln(ab)=\ln a+\ln b.\]
Uttrykket blir \(4\ln a-2\ln b+\ln a+\ln b-3\ln a\).
For \(\ln a\) får vi \(4+1-3=2\), og for \(\ln b\) får vi \(-2+1=-1\).
Dermed er uttrykket \(2\ln a-\ln b=\ln(a^2/b)\).
Tolkning: CAS bekrefter både den utvidede og den samlede formen.
from sympy import symbols, log, expand_log, simplify # positive=True sikrer gyldige logaritmeargumenter a, b = symbols('a b', positive=True) uttrykk = 2*log(a**2/b) + log(a*b) - 3*log(a) forenklet = expand_log(uttrykk, force=True) kontroll = simplify(uttrykk - log(a**2/b)) print("Opprinnelig uttrykk =", uttrykk) print("Utvidet med logaritmeregler =", forenklet) print("Samlede koeffisienter: 2*ln(a) - ln(b)") print("Som én logaritme = ln(a^2/b)") print("Symbolsk kontroll =", kontroll)Utskrift fra Python: Opprinnelig uttrykk = -3*log(a) + log(a*b) + 2*log(a**2/b) Utvidet med logaritmeregler = 2*log(a) - log(b) Samlede koeffisienter: 2*ln(a) - ln(b) Som én logaritme = ln(a^2/b) Symbolsk kontroll = 0
Fasit: \(2\ln a-\ln b=\ln\left(\dfrac{a^2}{b}\right)\), for \(a,b>0\).
Vanlig feil: Å fordele tallet 2 bare på ett av leddene etter at kvotientregelen er brukt. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekte logaritmeregler og riktig samling av koeffisientene. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c.1 Polynomfunksjon · nullpunkterHva spør oppgaven om? Vi skal løse \(f(x)=0\) ved å faktorisere ut \(x\) og deretter bruke nullproduktregelen.
Vi løser \(x^3-3x=0\).
Begge ledd har faktoren \(x\): \[x(x^2-3)=0.\]
Enten er \(x=0\), eller så er \(x^2-3=0\).
Fra \(x^2=3\) får vi \(x=\pm\sqrt3\).
Nullpunktverdiene er \(-\sqrt3\), \(0\) og \(\sqrt3\).
Grafens nullpunkter er \((-\sqrt3,0)\), \((0,0)\) og \((\sqrt3,0)\).
Tolkning: CAS bekrefter alle tre løsningene.
from sympy import symbols, factor, solve x = symbols('x', real=True) f = x**3 - 3*x faktorisert = factor(f) nullpunkter = solve(f, x) print("f(x) =", f) print("Faktorisert =", faktorisert) print("Likningen f(x)=0 gir:") for rot in nullpunkter: print("x =", rot) print("Kontrollverdier:") for rot in nullpunkter: print(f"f({rot}) = {f.subs(x,rot)}")Utskrift fra Python: f(x) = x**3 - 3*x Faktorisert = x*(x**2 - 3) Likningen f(x)=0 gir: x = 0 x = -sqrt(3) x = sqrt(3) Kontrollverdier: f(0) = 0 f(-sqrt(3)) = 0 f(sqrt(3)) = 0
Fasit: Nullpunktene er \((-\sqrt3,0)\), \((0,0)\) og \((\sqrt3,0)\).
Vanlig feil: Å miste løsningen \(x=0\) etter at \(x\) er faktorisert ut. Sensorpunkt: Sensor ser etter faktorisering, nullproduktregel og alle tre nullpunktene. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c.2 Funksjonsdrøfting · ekstremalpunkterHva spør oppgaven om? Vi skal finne stasjonære punkter fra \(f^{\prime}(x)=0\) og klassifisere dem med den andrederiverte.
\[f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x^2-1).\]
\(3(x^2-1)=0\) gir \(x^2=1\), altså \(x=-1\) eller \(x=1\).
\(f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2\), mens \(f(1)=1-3=-2\).
\[f^{\prime\prime}(x)=6x.\]
\(f^{\prime\prime}(-1)=-6<0\), så grafen er konkav ned og har toppunkt \((-1,2)\).
\(f^{\prime\prime}(1)=6>0\), så grafen er konkav opp og har bunnpunkt \((1,-2)\).
Tolkning: CAS bekrefter de stasjonære punktene og andrederiverttesten. …