Matematikk R1 Eksempelsett høsten 2021 (REA3056) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - eksempelsett høsten 2021 (REA3056)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1 Grenseverdi og faktorisering

Oppgave 1

Oppgave: Bestem grenseverdien \[\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^2+x-2}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal fjerne den ubestemte formen 0/0 ved å faktorisere nevneren og forkorte en felles faktor.

Steg 1 - Sett inn grensepunktet

Direkte innsetting gir \(0/0\), så uttrykket må omskrives.

Steg 2 - Faktoriser nevneren

\[x^2+x-2=(x-1)(x+2).\]

Steg 3 - Forkort for x ulik 1

\[\frac{x-1}{(x-1)(x+2)}=\frac1{x+2}.\]

Steg 4 - Bruk grenseverdi

Forkortingen er lovlig i et punktert nabolag rundt 1, som er det grenseverdien undersøker.

Steg 5 - Sett inn

\[\lim_{x\to1}\frac1{x+2}=\frac13.\]

Steg 6 - Konklusjon

Funksjonen har et fjernbart hull i \(x=1\), men grenseverdien finnes.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Limit[(x-1)/(x^2+x-2),1] \(1/3\) 2 Factor[x^2+x-2] \((x-1)(x+2)\)

Tolkning: CAS faktoriserer nevneren og beregner den tosidige grenseverdien.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) expr = ( x - 1 ) / ( x ** 2 + x - 2 ) factored_denominator = sp . factor ( x ** 2 + x - 2 ) cancelled = sp . cancel ( expr ) limit_value = sp . limit ( expr , x , 1 ) print ( "Expression =" , expr ) print ( "Factorized denominator =" , factored_denominator ) print ( "Cancelled expression for x != 1 =" , cancelled ) print ( "Direct numerator at x=1 =" , ( x - 1 ) . subs ( x , 1 )) print ( "Direct denominator at x=1 =" , ( x ** 2 + x - 2 ) . subs ( x , 1 )) print ( "Two-sided limit =" , limit_value ) print ( "Decimal value =" , sp . N ( limit_value , 12 )) 

Utskrift fra Python: Expression = (x - 1)/(x**2 + x - 2) Factorized denominator = (x - 1)*(x + 2) Cancelled expression for x != 1 = 1/(x + 2) Direct numerator at x=1 = 0 Direct denominator at x=1 = 0 Two-sided limit = 1/3 Decimal value = 0.333333333333

Fasit: Grenseverdien er \(\boxed{1/3}\).

Vanlig feil: Å sette inn x=1 og konkludere med at grenseverdien ikke finnes fordi man får 0/0. Sensorpunkt: Faktoriseringen, forkortingen og begrunnelsen for at grenseverdien likevel kan beregnes må framgå. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Vektorlengder

Oppgave 2a

Oppgave: Vi har \(\vec a=[2,-5]\), \(\vec b=[1,-4]\), \(\vec c=[-2,10]\) og \(\vec d=[4,1]\). Avgjør om noen av vektorene har lik lengde. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi sammenlikner kvadratene av lengdene; da slipper vi unødvendige kvadratrøtter.

Steg 1 - Bruk lengdeformelen

For \([u,v]\) er \(|\vec v|^2=u^2+v^2\).

Steg 2 - Vektor a

\(|\vec a|^2=2^2+(-5)^2=29\).

Steg 3 - Vektor b

\(|\vec b|^2=1^2+(-4)^2=17\).

Steg 4 - Vektor c

\(|\vec c|^2=(-2)^2+10^2=104\).

Steg 5 - Vektor d

\(|\vec d|^2=4^2+1^2=17\).

Steg 6 - Sammenlikn

Bare \(\vec b\) og \(\vec d\) har samme lengde, nemlig \(\sqrt{17}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Length[Vector[(0,0),(1,-4)]] \(\sqrt{17}\) 2 Length[Vector[(0,0),(4,1)]] \(\sqrt{17}\)

Tolkning: De to lengdene er eksakt like, mens de andre lengdekvadratene er 29 og 104.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp vectors = { "a" : sp . Matrix ([ 2 , - 5 ]), "b" : sp . Matrix ([ 1 , - 4 ]), "c" : sp . Matrix ([ - 2 , 10 ]), "d" : sp . Matrix ([ 4 , 1 ]), } length_squares = { name : sp . expand ( v . dot ( v )) for name , v in vectors . items ()} lengths = { name : sp . sqrt ( value ) for name , value in length_squares . items ()} print ( "Vectors =" , vectors ) print ( "Squared lengths =" , length_squares ) print ( "Exact lengths =" , lengths ) for first in vectors : for second in vectors : if first < second and length_squares [ first ] == length_squares [ second ]: print ( "Equal-length pair =" , first , second ) print ( "Common length of b and d =" , lengths [ "b" ]) print ( "Decimal common length =" , sp . N ( lengths [ "b" ], 12 )) 

Utskrift fra Python: Vectors = {'a': Matrix([ [ 2], [-5]]), 'b': Matrix([ [ 1], [-4]]), 'c': Matrix([ [-2], [10]]), 'd': Matrix([ [4], [1]])} Squared lengths = {'a': 29, 'b': 17, 'c': 104, 'd': 17} Exact lengths = {'a': sqrt(29), 'b': sqrt(17), 'c': 2*sqrt(26), 'd': sqrt(17)} Equal-length pair = b d Common length of b and d = sqrt(17) Decimal common length = 4.12310562562

Fasit: \(\vec b\) og \(\vec d\) har lik lengde: \(|\vec b|=|\vec d|=\sqrt{17}\).

Vanlig feil: Å sammenlikne koordinatsummene i stedet for kvadratsummen. Sensorpunkt: Alle fire lengdene eller lengdekvadratene må vises før paret identifiseres. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Skalarprodukt og normalitet

Oppgave 2b

Oppgave: Avgjør om noen av vektorene \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) står normalt på hverandre. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? To ikke-nullvektorer er normale når skalarproduktet er 0. Vi kontrollerer alle seks par.

Steg 1 - Kriterium

\([u_1,u_2]\cdot[v_1,v_2]=u_1v_1+u_2v_2\).

Steg 2 - Par med a

\(\vec a\cdot\vec b=22\), \(\vec a\cdot\vec c=-54\), \(\vec a\cdot\vec d=3\).

Steg 3 - Par med b

\(\vec b\cdot\vec c=-42\) og \(\vec b\cdot\vec d=1\cdot4+(-4)\cdot1=0\).

Steg 4 - Siste par

\(\vec c\cdot\vec d=-8+10=2\).

Steg 5 - Identifiser nullproduktet

Bare paret \(\vec b,\vec d\) gir skalarprodukt 0.

Steg 6 - Konklusjon

\(\vec b\perp\vec d\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Dot[(1,-4),(4,1)] \(0\)

Tolkning: Skalarproduktet 0 bekrefter at b og d står normalt på hverandre.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp vectors = { "a" : sp . Matrix ([ 2 , - 5 ]), "b" : sp . Matrix ([ 1 , - 4 ]), "c" : sp . Matrix ([ - 2 , 10 ]), "d" : sp . Matrix ([ 4 , 1 ]), } names = list ( vectors ) dot_products = {} for i , first in enumerate ( names ): for second in names [ i + 1 :]: dot_products [( first , second )] = vectors [ first ] . dot ( vectors [ second ]) print ( "All pairwise dot products:" ) for pair , value in dot_products . items (): print ( pair , "->" , value ) normal_pairs = [ pair for pair , value in dot_products . items () if value == 0 ] print ( "Pairs with dot product zero =" , normal_pairs ) print ( "b dot d =" , vectors [ "b" ] . dot ( vectors [ "d" ])) print ( "Conclusion: b and d are perpendicular" ) 

Utskrift fra Python: All pairwise dot products: ('a', 'b') -> 22 ('a', 'c') -> -54 ('a', 'd') -> 3 ('b', 'c') -> -42 ('b', 'd') -> 0 ('c', 'd') -> 2 Pairs with dot product zero = [('b', 'd')] b dot d = 0 Conclusion: b and d are perpendicular

Fasit: \(\boxed{\vec b\perp\vec d}\). Ingen andre par er normale.

Vanlig feil: Å kontrollere bare ett tilfeldig par eller å bruke determinantkriteriet for normalitet. Sensorpunkt: Sensor forventer et eksplisitt skalarprodukt lik 0 og en tydelig konklusjon. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2c Parallelle vektorer

Oppgave 2c

Oppgave: Avgjør om noen av vektorene \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) er parallelle. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Parallelle vektorer må være skalarmultipler. I planet kan vi også kontrollere at determinanten er 0.

Steg 1 - Kriterium

Vektorene \([u_1,u_2]\) og \([v_1,v_2]\) er parallelle når \(u_1v_2-u_2v_1=0\).

Steg 2 - Par med a

Determinantene for \((a,b),(a,c),(a,d)\) er henholdsvis \(-3,10,22\).

Steg 3 - Par med b

Determinantene for \((b,c),(b,d)\) er \(2\) og \(17\).

Steg 4 - Siste par

Determinanten for \((c,d)\) er \(-42\).

Steg 5 - Vurder null

Ingen av determinantene er 0.

Steg 6 - Konklusjon

Ingen av de fire vektorene er parallelle med hverandre.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Determinant[{{2,-5},{-2,10}}] \(10\) 2 Determinant[{{1,-4},{4,1}}] \(17\)

Tolkning: Alle par gir determinant ulik 0, derfor finnes ingen parallelle par.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp vectors = { "a" : sp . Matrix ([ 2 , - 5 ]), "b" : sp . Matrix ([ 1 , - 4 ]), "c" : sp . Matrix ([ - 2 , 10 ]), "d" : sp . Matrix ([ 4 , 1 ]), } names = list ( vectors ) determinants = {} for i , first in enumerate ( names ): for second in names [ i + 1 :]: matrix = sp . Matrix . hstack ( vectors [ first ], vectors [ second ]) determinants [( first , second )] = matrix . det () print ( "Pairwise determinants:" ) for pair , value in determinants . items (): print ( pair , "->" , value ) parallel_pairs = [ pair for pair , value in determinants . items () if value == 0 ] print ( "Parallel pairs =" , parallel_pairs ) print ( "Number of parallel pairs =" , len ( parallel_pairs )) print ( "Conclusion: no two vectors are parallel" ) 

Utskrift fra Python: Pairwise determinants: ('a', 'b') -> -3 ('a', 'c') -> 10 ('a', 'd') -> 22 ('b', 'c') -> 2 ('b', 'd') -> 17 ('c', 'd') -> -42 Parallel pairs = [] Number of parallel pairs = 0 Conclusion: no two vectors are parallel

Fasit: Ingen av vektorene er parallelle. …