Matematikk R1 Våren 2018 (REA3022) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2018 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon - potensregelen

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^4-x+2.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere hvert ledd separat ved hjelp av potensregelen.

Steg 1 - Del funksjonen i ledd

Leddene er \(x^4\), \(-x\) og konstanten \(2\).

Steg 2 - Bruk potensregelen

For \(x^n\) gjelder \(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\).

Steg 3 - Deriver fjerdegradsleddet

\[\frac{d}{dx}x^4=4x^3.\]

Steg 4 - Deriver førstegradsleddet

\[\frac{d}{dx}(-x)=-1.\]

Steg 5 - Deriver konstanten

\[\frac{d}{dx}2=0.\]

Steg 6 - Samle resultatet

\[f^{\prime}(x)=4x^3-1.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^4-x+2,x] \(4x^3-1\)

Tolkning: CAS deriverer polynomet ledd for ledd.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) f = x**4 - x + 2 term_power = sp.diff(x**4, x) term_linear = sp.diff(-x, x) term_constant = sp.diff(2, x) derivative = sp.diff(f, x) print("f(x) =", f) print("Derivative of x**4 =", term_power) print("Derivative of -x =", term_linear) print("Derivative of 2 =", term_constant) print("f'(x) =", derivative) print("Expanded check =", sp.expand(derivative))

Utskrift fra Python: f(x) = x**4 - x + 2 Derivative of x**4 = 4*x**3 Derivative of -x = -1 Derivative of 2 = 0 f'(x) = 4*x**3 - 1 Expanded check = 4*x**3 - 1

Fasit: \(f^{\prime}(x)=4x^3-1\).

Vanlig feil: Å la konstantleddet bli stående i den deriverte. Sensorpunkt: Sensor forventer korrekt potensregel og korrekt fortegn på den deriverte av \(-x\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Derivasjon - produktregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x^3\ln(x).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt, så produktregelen må brukes. Dessuten er \(x>0\) fordi \(\ln x\) inngår.

Steg 1 - Velg faktorene

Sett \(u(x)=x^3\) og \(v(x)=\ln x\).

Steg 2 - Deriver faktorene

\[u^{\prime}(x)=3x^2,\qquad v^{\prime}(x)=\frac1x.\]

Steg 3 - Skriv produktregelen

\[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 4 - Sett inn

\[g^{\prime}(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot\frac1x.\]

Steg 5 - Forenkle

\[g^{\prime}(x)=3x^2\ln x+x^2.\]

Steg 6 - Faktoriser

\[g^{\prime}(x)=x^2(3\ln x+1).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^3 ln(x),x] \(x^2(3\ln x+1)\) 2 Factor[%] \(x^2(3\ln x+1)\)

Tolkning: CAS bekrefter både sumformen og den faktoriserte formen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", positive=True) u = x**3 v = sp.log(x) u_prime = sp.diff(u, x) v_prime = sp.diff(v, x) product_rule = sp.expand(u_prime*v + u*v_prime) factored = sp.factor(product_rule) direct = sp.diff(u*v, x) print("u(x) =", u) print("v(x) =", v) print("u'(x) =", u_prime) print("v'(x) =", v_prime) print("Product-rule result =", product_rule) print("Factored derivative =", factored) print("Direct derivative check =", direct) print("Difference check =", sp.simplify(direct - factored))

Utskrift fra Python: u(x) = x**3 v(x) = log(x) u'(x) = 3*x**2 v'(x) = 1/x Product-rule result = 3*x**2*log(x) + x**2 Factored derivative = x**2*(3*log(x) + 1) Direct derivative check = 3*x**2*log(x) + x**2 Difference check = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=3x^2\ln x+x^2=x^2(3\ln x+1)\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som produktet av de deriverte. Sensorpunkt: Produktregelen skal vises eksplisitt, og \(x^3\cdot 1/x\) skal forenkles til \(x^2\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Derivasjon - kjerneregelen

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=e^{2x^2+x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Dette er en sammensatt eksponentialfunksjon. Vi bruker kjerneregelen på eksponenten.

Steg 1 - Identifiser kjernen

Sett \(u(x)=2x^2+x\). Da er \(h(x)=e^{u(x)}\).

Steg 2 - Deriver kjernen

\[u^{\prime}(x)=4x+1.\]

Steg 3 - Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(e^u\) med hensyn på \(u\) er \(e^u\).

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\[h^{\prime}(x)=e^{u(x)}u^{\prime}(x).\]

Steg 5 - Sett tilbake

\[h^{\prime}(x)=e^{2x^2+x}(4x+1).\]

Steg 6 - Skriv ryddig

\[h^{\prime}(x)=(4x+1)e^{2x^2+x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[exp(2x^2+x),x] \((4x+1)e^{2x^2+x}\)

Tolkning: CAS multipliserer eksponentialfunksjonen med den deriverte av eksponenten.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) inner = 2*x**2 + x h = sp.exp(inner) inner_prime = sp.diff(inner, x) outer_derivative = sp.exp(inner) chain_rule = sp.expand(inner_prime * outer_derivative) direct = sp.diff(h, x) print("Inner function =", inner) print("Derivative of inner function =", inner_prime) print("h(x) =", h) print("Outer derivative evaluated at inner =", outer_derivative) print("Chain-rule result =", chain_rule) print("Direct SymPy derivative =", direct) print("Difference check =", sp.simplify(chain_rule - direct))

Utskrift fra Python: Inner function = 2*x**2 + x Derivative of inner function = 4*x + 1 h(x) = exp(2*x**2 + x) Outer derivative evaluated at inner = exp(2*x**2 + x) Chain-rule result = 4*x*exp(x)*exp(2*x**2) + exp(x)*exp(2*x**2) Direct SymPy derivative = (4*x + 1)*exp(2*x**2 + x) Difference check = 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=(4x+1)e^{2x^2+x}\).

Vanlig feil: Å derivere \(e^{u(x)}\) uten å multiplisere med \(u^{\prime}(x)\). Sensorpunkt: Kjernens deriverte \(4x+1\) må være med som faktor. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Rasjonale uttrykk

Oppgave 2a

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[\frac{1}{2x-2}+\frac{2}{x-3}-\frac{x-2}{x^2-4x+3}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi faktoriserer nevnerne, finner fellesnevner og tar hensyn til hvilke x-verdier som ikke er tillatt.

Steg 1 - Faktoriser nevnerne

\[2x-2=2(x-1),\qquad x^2-4x+3=(x-1)(x-3).\]

Steg 2 - Finn fellesnevner

En fellesnevner er \(2(x-1)(x-3)\).

Steg 3 - Utvid første brøk

\[\frac{1}{2(x-1)}=\frac{x-3}{2(x-1)(x-3)}.\]

Steg 4 - Utvid andre brøk

\[\frac{2}{x-3}=\frac{4(x-1)}{2(x-1)(x-3)}.\]

Steg 5 - Utvid tredje brøk

\[-\frac{x-2}{(x-1)(x-3)}=-\frac{2(x-2)}{2(x-1)(x-3)}.\]

Steg 6 - Samle telleren

\[(x-3)+4(x-1)-2(x-2)=3x-3=3(x-1).\]

Steg 7 - Forkort

\[\frac{3(x-1)}{2(x-1)(x-3)}=\frac{3}{2(x-3)}.\]

Steg 8 - Behold restriksjonene

Fra originaluttrykket må \(x\neq1\) og \(x\neq3\), selv om faktoren \(x-1\) forkortes bort.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Factor[x^2-4x+3] \((x-1)(x-3)\) 2 Simplify[1/(2x-2)+2/(x-3)-(x-2)/(x^2-4x+3)] \(\frac{3}{2(x-3)}\)

Tolkning: Det forenklede uttrykket gjelder med de opprinnelige restriksjonene \(x eq1,3\).

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) original = 1/(2*x - 2) + 2/(x - 3) - (x - 2)/(x**2 - 4*x + 3) factored_quadratic = sp.factor(x**2 - 4*x + 3) common_denominator = 2*(x - 1)*(x - 3) combined = sp.together(original) simplified = sp.factor(combined) print("Original expression =", original) print("Factored quadratic denominator =", factored_quadratic) print("Common denominator =", common_denominator) print("Combined fraction =", combined) print("Factored and simplified =", simplified) print("Excluded x-values from original denominators =", [1, 3]) print("Check at x = 2: original =", sp.simplify(original.subs(x, 2))) print("Check at x = 2: simplified =", sp.simplify(simplified.subs(x, 2)))

Utskrift fra Python: Original expression = -(x - 2)/(x**2 - 4*x + 3) + 1/(2*x - 2) + 2/(x - 3) Factored quadratic denominator = (x - 3)*(x - 1) Common denominator = (x - 3)*(2*x - 2) Combined fraction = (-2*(x - 3)*(x - 2)*(x - 1) + (x - 3)*(x**2 - 4*x + 3) + 4*(x - 1)*(x**2 - 4*x + 3))/(2*(x - 3)*(x - 1)*(x**2 - 4*x + 3)) Factored and simplified = 3/(2*(x - 3)) Excluded x-values from original denominators = [1, 3] Check at x = 2: original = -3/2 Check at x = 2: simplified = -3/2

Fasit: \(\frac{3}{2(x-3)}\), med \(x\neq1\) og \(x\neq3\).

Vanlig feil: Å glemme at \(x=1\) fortsatt er utelukket etter forkorting. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt faktorisering, fellesnevner, fortegn og definisjonsrestriksjoner. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Logaritmeregler

Oppgave 2b

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[2\ln(xy^3)-\frac12\ln\!\left(\frac{x^4}{y^2}\right).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker produkt-, kvotient- og potensregelen for logaritmer. Uttrykket krever \(x>0\) og \(y>0\).

Steg 1 - Utvid første logaritme

\[\ln(xy^3)=\ln x+3\ln y.\]

Steg 2 - Multipliser med 2

\[2\ln(xy^3)=2\ln x+6\ln y.\]

Steg 3 - Utvid kvotientlogaritmen

\[\ln\!\left(\frac{x^4}{y^2}\right)=4\ln x-2\ln y.\]

Steg 4 - Multipliser med \(-\frac12\)

\[-\frac12(4\ln x-2\ln y)=-2\ln x+\ln y.\]

Steg 5 - Samle leddene

\[(2\ln x-2\ln x)+(6\ln y+\ln y)=7\ln y.\]

Steg 6 - Alternativ form

Ved potensregelen er \(7\ln y=\ln(y^7)\). …