Matematikk R1 Eksamen høsten 2011 (REA3022) – løsningsforslag

Matematikk R1 — eksamen høsten 2011 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a1 Derivasjon · potensregel

Oppgave 1a1

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(t)=0{,}02t^3+0{,}6t^2+4{,}1.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et polynom ledd for ledd ved hjelp av potensregelen.

Steg 1 — Skriv desimaltallene tydelig

Funksjonen består av et tredjegradsledd, et andregradsledd og en konstant.

Steg 2 — Bruk potensregelen på første ledd

\(\frac{d}{dt}(0{,}02t^3)=3\cdot0{,}02t^2=0{,}06t^2\).

Steg 3 — Deriver andre ledd

\(\frac{d}{dt}(0{,}6t^2)=2\cdot0{,}6t=1{,}2t\).

Steg 4 — Deriver konstantleddet

Den deriverte av konstanten \(4{,}1\) er \(0\).

Steg 5 — Samle leddene

Dermed er \(f^{\prime}(t)=0{,}06t^2+1{,}2t\).

Steg 6 — Kontroller grad

Et tredjegradspolynom skal få en andregradsfunksjon som derivert, noe svaret gjør.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative[0.02t^3+0.6t^2+4.1,t] \(0{,}06t^2+1{,}2t\)

Tolkning: CAS gir samme andregradsuttrykk.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, Rational, diff, expand t = symbols('t') f = Rational(2,100)*t**3 + Rational(6,10)*t**2 + Rational(41,10) fp = diff(f,t) print("f(t) =", f) print("Deriverer hvert ledd med potensregelen.") print("f'(t) =", fp) print("Utvidet form =", expand(fp)) print("Kontroll: den konstante termen gir", diff(Rational(41,10),t))

Utskrift fra Python: f(t) = t**3/50 + 3*t**2/5 + 41/10 Deriverer hvert ledd med potensregelen. f'(t) = 3*t**2/50 + 6*t/5 Utvidet form = 3*t**2/50 + 6*t/5 Kontroll: den konstante termen gir 0

Fasit: \(f^{\prime}(t)=0{,}06t^2+1{,}2t\).

Vanlig feil: Å glemme å multiplisere med eksponenten eller å derivere konstanten som 4,1. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt potensregel på begge potensleddene og at konstantleddet forsvinner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a2 Derivasjon · kjerneregel

Oppgave 1a2

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=\sqrt{x^2-1}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive roten som en potens og bruke kjerneregelen.

Steg 1 — Skriv roten som potens

\(g(x)=(x^2-1)^{1/2}\).

Steg 2 — Finn ytre derivert

Den ytre funksjonen \(u^{1/2}\) har derivert \(\frac12u^{-1/2}\).

Steg 3 — Finn indre derivert

Den indre funksjonen er \(u=x^2-1\), og \(u^{\prime}=2x\).

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

\(g^{\prime}(x)=\frac12(x^2-1)^{-1/2}\cdot2x\).

Steg 5 — Forenkle

Faktorene \(2\) forkortes, så \(g^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\).

Steg 6 — Oppgi gyldig område

Den deriverte finnes for \(x<-1\) eller \(x>1\); i endepunktene blir nevneren null.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative[sqrt(x^2-1),x] \(\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\) 2 Domain[x/sqrt(x^2-1)] \(x<-1\) eller \(x>1\)

Tolkning: CAS bekrefter både uttrykket og domenet.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, sqrt, diff, simplify x = symbols('x', real=True) g = sqrt(x**2-1) gp = diff(g,x) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", gp) print("Forenklet =", simplify(gp)) print("Funksjonen er definert når x <= -1 eller x >= 1.") print("Den deriverte er definert når x < -1 eller x > 1.")

Utskrift fra Python: g(x) = sqrt(x**2 - 1) g'(x) = x/sqrt(x**2 - 1) Forenklet = x/sqrt(x**2 - 1) Funksjonen er definert når x <= -1 eller x >= 1. Den deriverte er definert når x < -1 eller x > 1.

Fasit: \(g^{\prime}(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}\), for \(|x|>1\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte 2x eller å oppgi at den deriverte finnes i x=±1. Sensorpunkt: Sensor ser etter kjerneregelen og en korrekt forenkling av rotuttrykket. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a3 Derivasjon · produkt og kjerneregel

Oppgave 1a3

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=x^2\cdot e^{2x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produktregelen, og kjerneregelen når eksponentialleddet deriveres.

Steg 1 — Del produktet i to faktorer

Sett \(u=x^2\) og \(v=e^{2x}\).

Steg 2 — Deriver første faktor

\(u^{\prime}=2x\).

Steg 3 — Deriver andre faktor

Kjerneregelen gir \(v^{\prime}=2e^{2x}\).

Steg 4 — Bruk produktregelen

\(h^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}=2xe^{2x}+x^2\cdot2e^{2x}\).

Steg 5 — Trekk ut felles faktor

Begge ledd inneholder \(2xe^{2x}\).

Steg 6 — Skriv kompakt svar

\(h^{\prime}(x)=2x(x+1)e^{2x}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative[x^2 exp(2x),x] \(2xe^{2x}+2x^2e^{2x}\) 2 Factor[%] \(2x(x+1)e^{2x}\)

Tolkning: CAS viser at de utvidede og faktoriserte formene er like.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify x = symbols('x') h = x**2*exp(2*x) hp = diff(h,x) print("h(x) =", h) print("Produktregelen gir h'(x) =", hp) print("Faktorisert form =", factor(hp)) forventet = 2*x*(x+1)*exp(2*x) print("Kontroll mot 2*x*(x+1)*exp(2*x) =", simplify(hp-forventet))

Utskrift fra Python: h(x) = x**2*exp(2*x) Produktregelen gir h'(x) = 2*x**2*exp(2*x) + 2*x*exp(2*x) Faktorisert form = 2*x*(x + 1)*exp(2*x) Kontroll mot 2*x*(x+1)*exp(2*x) = 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=2x(x+1)e^{2x}\).

Vanlig feil: Å derivere e^(2x) som bare e^(2x), eller å utelate ett ledd i produktregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter både produktregel og kjerneregel, ikke bare sluttresultatet. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b1 Polynomer · nullpunkt

Oppgave 1b1

Oppgave: Vi har gitt polynomfunksjonen \[P(x)=x^3-4x^2-4x+16.\] Vis at \(x=2\) er et nullpunkt. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette x=2 inn i polynomet og vise at funksjonsverdien blir null.

Steg 1 — Bruk definisjonen av nullpunkt

Tallet 2 er et nullpunkt dersom \(P(2)=0\).

Steg 2 — Sett inn x=2

\(P(2)=2^3-4\cdot2^2-4\cdot2+16\).

Steg 3 — Regn potensene

\(2^3=8\) og \(2^2=4\).

Steg 4 — Regn produktene

Da får vi \(8-16-8+16\).

Steg 5 — Summer

\(8-16-8+16=0\).

Steg 6 — Konkluder

Siden \(P(2)=0\), er \(x=2\) et nullpunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Substitute[P(x),x,2] \(0\)

Tolkning: CAS bekrefter nullpunktskontrollen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols x=symbols('x') P=x**3-4*x**2-4*x+16 print("P(x) =", P) print("P(2) =", P.subs(x,2)) print("Utregning: 2^3 - 4*2^2 - 4*2 + 16") print("= 8 - 16 - 8 + 16 = 0") print("Dermed er x=2 et nullpunkt.")

Utskrift fra Python: P(x) = x**3 - 4*x**2 - 4*x + 16 P(2) = 0 Utregning: 2^3 - 4*2^2 - 4*2 + 16 = 8 - 16 - 8 + 16 = 0 Dermed er x=2 et nullpunkt.

Fasit: \(P(2)=0\), så \(x=2\) er et nullpunkt.

Vanlig feil: Å bare skrive at 2 er et nullpunkt uten å vise innsettingen og summen. Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt kontroll av P(2). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b2 Polynomer · faktorisering

Oppgave 1b2

Oppgave: Skriv \(P(x)\) som et produkt av førstegradsfaktorer. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere polynomet ved gruppering og deretter bruke kvadratsetningen.

Steg 1 — Grupper leddene

\(P(x)=x^2(x-4)-4(x-4)\).

Steg 2 — Trekk ut felles faktor

Begge gruppene inneholder \(x-4\), derfor \(P(x)=(x-4)(x^2-4)\).

Steg 3 — Kjenn igjen en differanse av kvadrater

\(x^2-4=x^2-2^2\).

Steg 4 — Bruk konjugatsetningen

\(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

Steg 5 — Sett faktorene sammen

\(P(x)=(x-4)(x-2)(x+2)\).

Steg 6 — Kontroller ved utvidelse

Utvidelse gir tilbake \(x^3-4x^2-4x+16\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Factor[x^3-4x^2-4x+16] \((x+2)(x-2)(x-4)\)

Tolkning: CAS bekrefter faktorformen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, factor, expand x=symbols('x') P=x**3-4*x**2-4*x+16 F=factor(P) print("P(x) =", P) print("Faktorisert =", F) print("Utvidet kontroll =", expand(F)) print("Nullpunkter fra faktorene: -2, 2 og 4") print("Produktet er (x + 2)*(x - 2)*(x - 4).")

Utskrift fra Python: P(x) = x**3 - 4*x**2 - 4*x + 16 Faktorisert = (x - 4)*(x - 2)*(x + 2) Utvidet kontroll = x**3 - 4*x**2 - 4*x + 16 Nullpunkter fra faktorene: -2, 2 og 4 Produktet er (x + 2)*(x - 2)*(x - 4).

Fasit: \(P(x)=(x+2)(x-2)(x-4)\).

Vanlig feil: Å stoppe ved (x-4)(x²-4), selv om oppgaven ber om førstegradsfaktorer. Sensorpunkt: Sensor ser etter full faktorisering til tre lineære faktorer. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b3 Ulikheter · fortegnsskjema

Oppgave 1b3

Oppgave: Løs ulikheten \[P(x)\le 0.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den faktoriserte formen og bestemme fortegnet mellom nullpunktene.

Steg 1 — Bruk faktorformen

\(P(x)=(x+2)(x-2)(x-4)\).

Steg 2 — Marker nullpunktene

Fortegnet kan bare skifte ved \(x=-2\), \(x=2\) og \(x=4\).

Steg 3 — Undersøk første intervall

For \(x<-2\) er alle tre faktorer negative, så produktet er negativt. …