Matematikk R1 Eksamen våren 2025 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2025, LK20 (REA3056)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1 Derivasjon av eksponential- og potensfunksjon

Oppgave 1

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=e^{-2x}+\frac15x^5-2\pi.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere hvert ledd og bruke kjerneregelen på eksponentialleddet.

Steg 1 - Del opp funksjonen

Funksjonen består av eksponentialleddet \(e^{-2x}\), potensleddet \(\frac15x^5\) og konstanten \(-2\pi\).

Steg 2 - Deriver eksponentialleddet

Med kjerneregelen får vi \[\frac{d}{dx}e^{-2x}=e^{-2x}\cdot(-2)=-2e^{-2x}.\]

Steg 3 - Deriver potensleddet

Potensregelen gir \[\frac{d}{dx}\left(\frac15x^5\right)=\frac15\cdot5x^4=x^4.\]

Steg 4 - Deriver konstanten

Konstantleddet har derivert lik null: \[\frac{d}{dx}(-2\pi)=0.\]

Steg 5 - Sett sammen

Dermed blir \[f^{\prime}(x)=-2e^{-2x}+x^4.\]

Steg 6 - Rimelighetskontroll

Når \(x\) er stor og positiv, dominerer \(x^4\), mens eksponentialleddet blir svært lite. Dette stemmer med uttrykket.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Derivative[exp(-2x)+(1/5)x^5-2*pi] \(-2e^{-2x}+x^4\)

Tolkning: CAS bruker kjerneregelen og potensregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) f = sp . exp ( - 2 * x ) + sp . Rational ( 1 , 5 ) * x ** 5 - 2 * sp . pi f_prime = sp . diff ( f , x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "Derivative of exp(-2x) =" , sp . diff ( sp . exp ( - 2 * x ), x )) print ( "Derivative of x^5/5 =" , sp . diff ( sp . Rational ( 1 , 5 ) * x ** 5 , x )) print ( "Derivative of -2*pi =" , sp . diff ( - 2 * sp . pi , x )) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Check at x=1:" , sp . simplify ( f_prime . subs ( x , 1 ))) 

Utskrift fra Python: f(x) = x**5/5 - 2*pi + exp(-2*x) Derivative of exp(-2x) = -2*exp(-2*x) Derivative of x^5/5 = x**4 Derivative of -2*pi = 0 f'(x) = x**4 - 2*exp(-2*x) Check at x=1: 1 - 2*exp(-2)

Fasit: \(f^{\prime}(x)=x^4-2e^{-2x}\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte \(-2\) i eksponentialleddet, eller å la konstanten \(-2\pi\) stå igjen. Sensorpunkt: Sensor forventer korrekt kjerneregel, korrekt potensregel og et ferdig forenklet uttrykk. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Nullpunkt for produktfunksjon

Oppgave 2a

Oppgave: En funksjon er gitt ved \[g(x)=\frac12e^x(2x-1)^2.\] Bestem eventuelle nullpunkter til \(g\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvilke faktorer som kan bli null.

Steg 1 - Se på konstantfaktoren

Faktoren \(\frac12\) er aldri null.

Steg 2 - Se på eksponentialfaktoren

For alle reelle \(x\) er \(e^x>0\). Denne faktoren kan derfor ikke gi nullpunkt.

Steg 3 - Sett polynomfaktoren lik null

Det eneste mulige nullpunktet kommer fra \[(2x-1)^2=0.\]

Steg 4 - Løs likningen

Først får vi \(2x-1=0\), og dermed \[x=\frac12.\]

Steg 5 - Finn koordinatet

Når \(x=\frac12\), er \(g(x)=0\). Nullpunktet er derfor \[\left(\frac12,0\right).\]

Steg 6 - Multiplisitet

Faktoren er kvadrert, så nullpunktet har multiplisitet 2. Grafen tangerer derfor x-aksen i punktet.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Solve[(1/2) exp(x) (2x-1)^2=0,x] \(x=1/2\)

Tolkning: Eksponentialfaktoren er positiv; den kvadrerte faktoren bestemmer nullpunktet.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) g = sp . Rational ( 1 , 2 ) * sp . exp ( x ) * ( 2 * x - 1 ) ** 2 solutions = sp . solve ( sp . Eq ( g , 0 ), x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "exp(x) is positive for real x" ) print ( "Equation from the polynomial factor: 2*x - 1 = 0" ) print ( "Solutions =" , solutions ) for value in solutions : print ( "g(" , value , ") =" , sp . simplify ( g . subs ( x , value ))) print ( "Multiplicity of the zero from (2*x-1)^2 = 2" ) 

Utskrift fra Python: g(x) = (2*x - 1)**2*exp(x)/2 exp(x) is positive for real x Equation from the polynomial factor: 2*x - 1 = 0 Solutions = [1/2] g( 1/2 ) = 0 Multiplicity of the zero from (2*x-1)^2 = 2

Fasit: Grafen har ett nullpunkt: \(\left(\frac12,0\right)\).

Vanlig feil: Å sette \(e^x=0\). Eksponentialfunksjonen er alltid positiv for reelle \(x\). Sensorpunkt: Vis faktorargumentet og oppgi nullpunktet som et koordinat. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Produktregel og faktorisering

Oppgave 2b

Oppgave: Vis at \[g^{\prime}(x)=\frac12e^x(2x-1)(2x+3).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere produktet og faktorisere resultatet slik oppgaven krever.

Steg 1 - Identifiser faktorene

Skriv \(g(x)=\frac12\,u(x)v(x)\), der \(u(x)=e^x\) og \(v(x)=(2x-1)^2\).

Steg 2 - Deriver hver faktor

Vi har \(u^{\prime}(x)=e^x\). Kjerneregelen gir \[v^{\prime}(x)=2(2x-1)\cdot2=4(2x-1).\]

Steg 3 - Bruk produktregelen

\[g^{\prime}(x)=\frac12\left(e^x(2x-1)^2+e^x\cdot4(2x-1)\right).\]

Steg 4 - Trekk ut felles faktor

Felles faktor er \(\frac12e^x(2x-1)\): \[g^{\prime}(x)=\frac12e^x(2x-1)\bigl((2x-1)+4\bigr).\]

Steg 5 - Forenkle parentesen

\[(2x-1)+4=2x+3.\]

Steg 6 - Konklusjon

Dermed er \[g^{\prime}(x)=\frac12e^x(2x-1)(2x+3),\] som skulle vises.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Factor[Derivative[(1/2) exp(x) (2x-1)^2]] \(\frac12e^x(2x-1)(2x+3)\)

Tolkning: CAS deriverer og faktoriserer uttrykket.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) g = sp . Rational ( 1 , 2 ) * sp . exp ( x ) * ( 2 * x - 1 ) ** 2 raw_derivative = sp . diff ( g , x ) factored = sp . factor ( raw_derivative ) target = sp . Rational ( 1 , 2 ) * sp . exp ( x ) * ( 2 * x - 1 ) * ( 2 * x + 3 ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "Raw derivative =" , raw_derivative ) print ( "Expanded derivative =" , sp . expand ( raw_derivative )) print ( "Factored derivative =" , factored ) print ( "Target expression =" , target ) print ( "Difference after simplification =" , sp . simplify ( raw_derivative - target )) 

Utskrift fra Python: g(x) = (2*x - 1)**2*exp(x)/2 Raw derivative = (2*x - 1)**2*exp(x)/2 + (8*x - 4)*exp(x)/2 Expanded derivative = 2*x**2*exp(x) + 2*x*exp(x) - 3*exp(x)/2 Factored derivative = (2*x - 1)*(2*x + 3)*exp(x)/2 Target expression = (2*x - 1)*(2*x + 3)*exp(x)/2 Difference after simplification = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=\frac12e^x(2x-1)(2x+3)\).

Vanlig feil: Å derivere \((2x-1)^2\) som bare \(2(2x-1)\), uten den indre deriverte 2. Sensorpunkt: Produktregelen, kjerneregelen og den avsluttende faktoriseringen må være synlige. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2c Fortegn og ekstremalpunkter

Oppgave 2c

Oppgave: Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(g\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse \(g^{\prime}(x)=0\), lage fortegnsanalyse og beregne funksjonsverdiene.

Steg 1 - Bruk den faktoriserte deriverte

\[g^{\prime}(x)=\frac12e^x(2x-1)(2x+3).\] Faktoren \(\frac12e^x\) er positiv for alle \(x\).

Steg 2 - Finn kritiske x-verdier

\[(2x-1)(2x+3)=0\] gir \[x=\frac12\quad\text{eller}\quad x=-\frac32.\]

Steg 3 - Fortegn til venstre

For \(x<-\frac32\) er begge lineære faktorer negative, så produktet og dermed \(g^{\prime}\) er positivt.

Steg 4 - Fortegn i midten

For \(-\frac32<x<\frac12\) er \(2x+3>0\), mens \(2x-1<0\). Derfor er \(g^{\prime}<0\).

Steg 5 - Fortegn til høyre

For \(x>\frac12\) er begge faktorer positive, så \(g^{\prime}>0\). Dermed er \(x=-\frac32\) et toppunkt og \(x=\frac12\) et bunnpunkt.

Steg 6 - Beregn y-verdiene

\[g\left(-\frac32\right)=\frac12e^{-3/2}(-4)^2=8e^{-3/2},\qquad g\left(\frac12\right)=0.\]

Grafen til g med toppunktet ved x=-3/2 og bunnpunktet ved x=1/2.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Extremum[(1/2) exp(x) (2x-1)^2] Toppunkt \(\left(-\frac32,8e^{-3/2}\right)\), bunnpunkt \(\left(\frac12,0\right)\)

Tolkning: Fortegnet til den deriverte avgjør typen ekstremalpunkt.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) g = sp . Rational ( 1 , 2 ) * sp . exp ( x ) * ( 2 * x - 1 ) ** 2 g_prime = sp . factor ( sp . diff ( g , x )) critical = sp . solve ( sp . Eq ( g_prime , 0 ), x ) print ( "g'(x) =" , g_prime ) print ( "Critical x-values =" , critical ) for value in critical : y_value = sp . simplify ( g . subs ( x , value )) second = sp . simplify ( sp . diff ( g , x , 2 ) . subs ( x , value )) kind = "minimum" if second > 0 else "maximum" print ( "x =" , value , "g(x) =" , y_value , "g''(x) =" , second , "=>" , kind ) print ( "Numerical top value =" , sp . N ( 8 * sp . exp ( - sp . Rational ( 3 , 2 )), 12 )) 

Utskrift fra Python: g'(x) = (2*x - 1)*(2*x + 3)*exp(x)/2 Critical x-values = [-3/2, 1/2] x = -3/2 g(x) = 8*exp(-3/2) g''(x) = -4*exp(-3/2) => maximum x = 1/2 g(x) = 0 g''(x) = 4*exp(1/2) => minimum Numerical top value = 1.78504128119

Fasit: Toppunkt: \(\left(-\frac32,8e^{-3/2}\right)\). Bunnpunkt: \(\left(\frac12,0\right)\). …