Matematikk R1 Våren 2024, LK20 (REA3056) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2024, LK20 (REA3056)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1 Produktregelen og kjerneregelen

Oppgave 1

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=4x^2\ln(3x).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt og samtidig bruke at den deriverte av \(\ln(3x)\) er \(1/x\) for \(x>0\).

Steg 1 - Finn definisjonsmengden

Logaritmen krever \(3x>0\), altså \(x>0\).

Steg 2 - Del funksjonen i to faktorer

La \(u(x)=4x^2\) og \(v(x)=\ln(3x)\). Da er \(u^{\prime}(x)=8x\).

Steg 3 - Deriver logaritmen

Kjerneregelen gir \[v^{\prime}(x)=\frac{1}{3x}\cdot3=\frac1x.\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x).\]

Steg 5 - Sett inn og forenkle

\[f^{\prime}(x)=8x\ln(3x)+4x^2\frac1x=8x\ln(3x)+4x.\]

Steg 6 - Faktoriser

\[f^{\prime}(x)=4x\bigl(2\ln(3x)+1\bigr),\qquad x>0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Derivative[4x^2 ln(3x)] \(8x\ln(3x)+4x\)

Tolkning: CAS bekrefter produktregelen og kjerneregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) f = 4 * x ** 2 * sp . log ( 3 * x ) f_prime = sp . diff ( f , x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Expanded =" , sp . expand ( f_prime )) print ( "Factored =" , sp . factor ( f_prime )) print ( "Check at x=1:" , sp . simplify ( f_prime . subs ( x , 1 ))) 

Utskrift fra Python: f(x) = 4*x**2*log(3*x) f'(x) = 8*x*log(3*x) + 4*x Expanded = 8*x*log(x) + 4*x + 8*x*log(3) Factored = 4*x*(2*log(x) + 1 + 2*log(3)) Check at x=1: 4 + log(6561)

Fasit: \(f^{\prime}(x)=8x\ln(3x)+4x=4x(2\ln(3x)+1)\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å skrive den deriverte av \(\ln(3x)\) som \(1/(3x)\) uten å multiplisere med den indre deriverte 3. Sensorpunkt: Produktregelen, kjerneregelen og domenet må være synlige. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Logaritmelikning

Oppgave 2

Oppgave: Løs likningen \[(\ln x)^2-\ln x=6.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre likningen om til en andregradslikning i variabelen \(y=\ln x\).

Steg 1 - Domene

Fordi \(\ln x\) forekommer, må \(x>0\).

Steg 2 - Innfør en hjelpevariabel

Sett \(y=\ln x\). Da blir likningen \[y^2-y=6.\]

Steg 3 - Samle alt på én side

\[y^2-y-6=0.\]

Steg 4 - Faktoriser

\[(y-3)(y+2)=0.\] Dermed er \(y=3\) eller \(y=-2\).

Steg 5 - Gå tilbake til x

\[\ln x=3\Rightarrow x=e^3,\qquad \ln x=-2\Rightarrow x=e^{-2}.\]

Steg 6 - Kontroller

Begge løsningene er positive og er derfor i definisjonsmengden.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Solve[(ln(x))^2-ln(x)=6,x] \(x=e^{-2}\) eller \(x=e^3\)

Tolkning: CAS gir de to positive løsningene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) y = sp . symbols ( "y" , real = True ) poly = y ** 2 - y - 6 roots_y = sp . solve ( sp . Eq ( poly , 0 ), y ) roots_x = [ sp . exp ( root ) for root in roots_y ] print ( "Quadratic in y = ln(x):" , poly ) print ( "Solutions for y =" , roots_y ) print ( "Solutions for x =" , roots_x ) for value in roots_x : check = sp . simplify ( sp . log ( value ) ** 2 - sp . log ( value )) print ( "Check x =" , value , "gives" , check ) 

Utskrift fra Python: Quadratic in y = ln(x): y**2 - y - 6 Solutions for y = [-2, 3] Solutions for x = [exp(-2), exp(3)] Check x = exp(-2) gives 6 Check x = exp(3) gives 6

Fasit: \(x=e^{-2}\) eller \(x=e^3\).

Vanlig feil: Å løse \((\ln x)^2\) som om det var \(\ln(x^2)\). Sensorpunkt: En ryddig substitusjon og tilbakeføring til \(x\) gir full uttelling. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3 Grenser for eksponentialfunksjon

Oppgave 3

Oppgave: Funksjonen er \[f(x)=e^{-x+1},\qquad D_f=\mathbb R.\] Bestem \(\lim_{x\to\infty}f(x)\) og \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke hva eksponenten \(1-x\) gjør i de to retningene.

Steg 1 - Skriv eksponenten tydelig

\[f(x)=e^{1-x}.\]

Steg 2 - Når x går mot pluss uendelig

Da går \(1-x\to-\infty\).

Steg 3 - Bruk eksponentialgrensen

\[e^{1-x}\to0,\] fordi \(e^u\to0\) når \(u\to-\infty\).

Steg 4 - Når x går mot minus uendelig

Da går \(1-x\to\infty\).

Steg 5 - Andre grense

\[e^{1-x}\to\infty.\]

Steg 6 - Tolkning

Grafen har horisontal asymptote \(y=0\) mot høyre, men vokser uten øvre grense mot venstre.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Limit[e^(1-x),x,Infinity], Limit[e^(1-x),x,-Infinity) \(0\) og \(+\infty\)

Tolkning: CAS bekrefter begge grensene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) f = sp . exp ( 1 - x ) right = sp . limit ( f , x , sp . oo ) left = sp . limit ( f , x , - sp . oo ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "Limit as x -> +infinity =" , right ) print ( "Limit as x -> -infinity =" , left ) for value in [ 5 , 10 , - 5 , - 10 ]: print ( "f(" , value , ") =" , sp . N ( f . subs ( x , value ), 10 )) 

Utskrift fra Python: f(x) = exp(1 - x) Limit as x -> +infinity = 0 Limit as x -> -infinity = oo f( 5 ) = 0.01831563889 f( 10 ) = 0.0001234098041 f( -5 ) = 403.4287935 f( -10 ) = 59874.14172

Fasit: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0\) og \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\).

Vanlig feil: Å glemme at minus foran \(x\) snur hvilken retning eksponenten går. Sensorpunkt: Forklar grenseverdien via eksponenten, ikke bare ved å oppgi svar. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4a Kollinearitet med determinant

Oppgave 4a

Oppgave: Punktene er \(A(3,4)\), \(B(-1,-2)\) og \(C(3+t,2t)\). Bestem \(t\) slik at punktene ligger på en rett linje. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal kreve at vektorene \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\) er parallelle.

Steg 1 - Finn vektorene

\[\overrightarrow{AB}=(-4,-6),\qquad \overrightarrow{AC}=(t,2t-4).\]

Steg 2 - Bruk determinantkriteriet

Vektorene er parallelle når determinanten er null.

Steg 3 - Sett opp determinanten

\[\det\begin{pmatrix}-4&t\-6&2t-4\end{pmatrix}=(-4)(2t-4)-(-6)t.\]

Steg 4 - Forenkle

\[-8t+16+6t=16-2t.\]

Steg 5 - Løs likningen

\[16-2t=0\Rightarrow t=8.\]

Steg 6 - Kontroll

Når \(t=8\), er \(\overrightarrow{AC}=(8,12)=-2\overrightarrow{AB}\), så punktene er kollineære.

Punktene A og B samt de to løsningene for C i deloppgave 4b.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Determinant({(-4,-6),(t,2t-4)})=0 \(t=8\)

Tolkning: Determinanten blir null bare for t=8.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp t = sp . symbols ( "t" , real = True ) AB = sp . Matrix ([ - 4 , - 6 ]) AC = sp . Matrix ([ t , 2 * t - 4 ]) determinant = sp . det ( sp . Matrix . hstack ( AB , AC )) solution = sp . solve ( sp . Eq ( determinant , 0 ), t ) print ( "AB =" , tuple ( AB )) print ( "AC =" , tuple ( AC )) print ( "Determinant =" , sp . expand ( determinant )) print ( "t =" , solution ) print ( "AC when t=8 =" , tuple ( AC . subs ( t , 8 ))) print ( "Ratio check AC/AB =" , sp . Rational ( AC . subs ( t , 8 )[ 0 ], AB [ 0 ])) 

Utskrift fra Python: AB = (-4, -6) AC = (t, 2*t - 4) Determinant = 16 - 2*t t = [8] AC when t=8 = (8, 12) Ratio check AC/AB = -2

Fasit: \(t=8\).

Vanlig feil: Å sammenlikne stigningstall uten å håndtere mulige nullkomponenter systematisk. Sensorpunkt: En null determinant eller et tydelig parallellitetsargument må vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4b Rett vinkel og skalarprodukt

Oppgave 4b

Oppgave: Bestem \(t\) slik at \(A\), \(B\) og \(C\) danner en trekant med \(\angle C=90^{\circ}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal kreve at vektorene fra C til A og fra C til B har skalarprodukt null.

Steg 1 - Vektorene fra C

\[\overrightarrow{CA}=(-t,4-2t),\qquad \overrightarrow{CB}=(-4-t,-2-2t).\]

Steg 2 - Ortogonalitetskriteriet

\(\angle C=90^{\circ}\) akkurat når \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\).

Steg 3 - Sett opp skalarproduktet

\[(-t)(-4-t)+(4-2t)(-2-2t)=0.\]

Steg 4 - Multipliser ut

Første ledd er \(4t+t^2\), og andre ledd er \(-8-4t+4t^2\). Dermed får vi \[5t^2-8=0.\]

Steg 5 - Løs

\[t^2=\frac85\Rightarrow t=\pm\sqrt{\frac85}=\pm\frac{2\sqrt{10}}5.\]

Steg 6 - Trekantsjekk

Ingen av disse verdiene er \(t=8\), så punktene er ikke kollineære. Begge gir derfor en reell trekant med rett vinkel ved C.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Dot((-t,4-2t),(-4-t,-2-2t))=0 \(t=\pm2\sqrt{10}/5\)

Tolkning: CAS gir begge løsningene. …