Matematikk R1 Våren 2023, LK20 (REA3056) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2023, LK20 (REA3056)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1 Derivasjon

Oppgave 1

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=e^x+\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere hvert ledd og ta hensyn til at logaritmen krever \(x>0\).

Steg 1 - Deriver eksponentialleddet

\((e^x)^{\prime}=e^x\).

Steg 2 - Deriver logaritmen

\((\ln x)^{\prime}=1/x\) for \(x>0\).

Steg 3 - Bruk sumregelen

Derivasjon er lineær, så de to deriverte kan summeres.

Steg 4 - Skriv svaret

\[f^{\prime}(x)=e^x+\frac1x,\qquad x>0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Derivative[exp(x)+ln(x)] \(e^x+1/x\)

Tolkning: CAS deriverer begge leddene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) f = sp . exp ( x ) + sp . log ( x ) f_prime = sp . diff ( f , x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Domain condition: x > 0" ) print ( "Check at x=1:" , sp . simplify ( f_prime . subs ( x , 1 ))) 

Utskrift fra Python: f(x) = exp(x) + log(x) f'(x) = exp(x) + 1/x Domain condition: x > 0 Check at x=1: 1 + E

Fasit: \(f^{\prime}(x)=e^x+\dfrac1x\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å skrive \((\ln x)^{\prime}=\ln x\). Sensorpunkt: Begge derivasjonsreglene og domenet bør framgå. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Grenseverdi

Oppgave 2

Oppgave: Bestem \[\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x^2-4}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal fjerne den ubestemte formen \(0/0\) ved faktorisering.

Steg 1 - Faktoriser telleren

\[x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).\]

Steg 2 - Faktoriser nevneren

\[x^2-4=(x-2)(x+2).\]

Steg 3 - Forkort

For \(x\ne2\) blir brøken \((x^2+2x+4)/(x+2)\).

Steg 4 - Sett inn grensepunktet

\[\frac{2^2+2\cdot2+4}{2+2}=\frac{12}{4}=3.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Limit[(x^3-8)/(x^2-4),x,2] \(3\)

Tolkning: CAS tar grensen etter algebraisk forenkling.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" ) expression = ( x ** 3 - 8 ) / ( x ** 2 - 4 ) factored_numerator = sp . factor ( x ** 3 - 8 ) factored_denominator = sp . factor ( x ** 2 - 4 ) simplified = sp . cancel ( expression ) limit_value = sp . limit ( expression , x , 2 ) print ( "Numerator factored =" , factored_numerator ) print ( "Denominator factored =" , factored_denominator ) print ( "Simplified expression =" , simplified ) print ( "Limit as x -> 2 =" , limit_value ) 

Utskrift fra Python: Numerator factored = (x - 2)*(x**2 + 2*x + 4) Denominator factored = (x - 2)*(x + 2) Simplified expression = (x**2 + 2*x + 4)/(x + 2) Limit as x -> 2 = 3

Fasit: Grenseverdien er \(3\).

Vanlig feil: Å sette inn \(x=2\) før faktoren \(x-2\) er forkortet. Sensorpunkt: Faktorisering, forkorting og innsetting må vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Vektorregning og vinkel

Oppgave 3a

Oppgave: Gitt \(A(1,3)\), \(B(4,0)\) og \(C(9,4)\). Avgjør om \(\angle CBA\) er mindre enn, lik eller større enn \(90^{\circ}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke fortegnet til skalarproduktet mellom vektorene fra B.

Steg 1 - Finn vektorene

\[\overrightarrow{BC}=(5,4),\qquad \overrightarrow{BA}=(-3,3).\]

Steg 2 - Skalarprodukt

\[\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=5(-3)+4\cdot3=-3.\]

Steg 3 - Tolk fortegnet

Et negativt skalarprodukt betyr at cosinus til vinkelen er negativ.

Steg 4 - Konklusjon

Dermed er vinkelen stump, altså større enn \(90^{\circ}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Dot(Vector[B,C],Vector[B,A]) \(-3\)

Tolkning: Negativt skalarprodukt gir stump vinkel.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp A = sp . Matrix ([ 1 , 3 ]) B = sp . Matrix ([ 4 , 0 ]) C = sp . Matrix ([ 9 , 4 ]) BC = C - B BA = A - B dot_product = BC . dot ( BA ) cos_value = sp . simplify ( dot_product / ( sp . sqrt ( BC . dot ( BC )) * sp . sqrt ( BA . dot ( BA )))) angle = sp . acos ( cos_value ) * 180 / sp . pi print ( "BC =" , tuple ( BC )) print ( "BA =" , tuple ( BA )) print ( "BC dot BA =" , dot_product ) print ( "cos(angle) =" , cos_value ) print ( "angle in degrees =" , sp . N ( angle , 12 )) print ( "Angle greater than 90 degrees:" , bool ( sp . N ( angle ) > 90 )) 

Utskrift fra Python: BC = (5, 4) BA = (-3, 3) BC dot BA = -3 cos(angle) = -sqrt(82)/82 angle in degrees = 96.3401917459 Angle greater than 90 degrees: True

Fasit: \(\angle CBA>90^{\circ}\).

Vanlig feil: Å bruke \(\overrightarrow{AB}\) i stedet for \(\overrightarrow{BA}\) uten å korrigere fortegnet. Sensorpunkt: Vektorene må ha samme startpunkt B. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Linjeparameter og ortogonalitet

Oppgave 3b

Oppgave: Punktet \(P\) ligger på linjen gjennom B og C. Bestem P slik at \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AP}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi parameterframstiller linjen og setter skalarproduktet lik null.

Steg 1 - Linjen gjennom B og C

\[P=B+t(C-B)=(4+5t,4t).\]

Steg 2 - Vektorene

\[\overrightarrow{AB}=(3,-3),\quad \overrightarrow{AP}=(3+5t,4t-3).\]

Steg 3 - Ortogonalitetskravet

\[3(3+5t)-3(4t-3)=0.\]

Steg 4 - Løs likningen

Uttrykket blir \(18+3t=0\), så \(t=-6\).

Steg 5 - Finn P

\[P=(4+5(-6),4(-6))=(-26,-24).\]

Steg 6 - Kontroll

\((3,-3)\cdot(-27,-27)=0\).

Linjen gjennom B og C og den vinkelrette forbindelsen AP.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Solve[Dot((3,-3),(3+5t,4t-3))=0,t] \(t=-6\), \(P=(-26,-24)\)

Tolkning: CAS løser ortogonalitetslikningen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp t = sp . symbols ( "t" , real = True ) A = sp . Matrix ([ 1 , 3 ]) B = sp . Matrix ([ 4 , 0 ]) C = sp . Matrix ([ 9 , 4 ]) P = B + t * ( C - B ) AB = B - A AP = P - A condition = sp . expand ( AB . dot ( AP )) solution = sp . solve ( sp . Eq ( condition , 0 ), t )[ 0 ] P_value = P . subs ( t , solution ) print ( "P(t) =" , tuple ( P )) print ( "AB =" , tuple ( AB )) print ( "AP(t) =" , tuple ( AP )) print ( "Dot product equation =" , condition ) print ( "t =" , solution ) print ( "P =" , tuple ( P_value )) print ( "Orthogonality check =" , AB . dot ( P_value - A )) 

Utskrift fra Python: P(t) = (5*t + 4, 4*t) AB = (3, -3) AP(t) = (5*t + 3, 4*t - 3) Dot product equation = 3*t + 18 t = -6 P = (-26, -24) Orthogonality check = 0

Fasit: \(P=(-26,-24)\).

Vanlig feil: Å bruke \(P=B+t(C-B)\) og deretter glemme at \(\overrightarrow{AP}=P-A\). Sensorpunkt: Parameter, skalarprodukt og koordinatkontroll skal vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4a Algoritmeforståelse

Oppgave 4a

Oppgave: Forklar strategien i programmet som søker etter maksimalverdien til \(A(t)=t(t^2-9)^4\) på \([0,3]\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva løkken undersøker, hvordan t endres, og når programmet stopper.

Steg 1 - Arealfunksjonen

Programmet definerer arealet \(A(t)=t(t^2-9)^4\).

Steg 2 - Startverdi og steglengde

Søket starter ved \(t=0\) og bruker steglengden \(d=0{,}01\).

Steg 3 - Sammenlikning

Løkken undersøker om \(A(t+d)>A(t)\).

Steg 4 - Flytt mot høyre

Så lenge arealet øker, erstattes t med \(t+d\).

Steg 5 - Stoppkriterium

Når neste punkt ikke gir større areal, stopper løkken.

Steg 6 - Nøyaktighet

Svaret er en numerisk tilnærming med oppløsning omtrent 0,01, ikke et eksakt bevis.

Programmet slik det står i originaleksamen.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 IterationList[If[A(t)<A(t+0.01),t+0.01,t],0,110] stopp nær \(t=1\)

Tolkning: Algoritmen er et trinnvis søk etter første lokale maksimum.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 def A ( x ): return x * ( x ** 2 - 9 ) ** 4 t = 0.0 d = 0.01 iterations = 0 while A ( t ) < A ( t + d ): t = t + d iterations += 1 print ( "Iterations =" , iterations ) print ( "Final t =" , round ( t , 12 )) print ( "A(t) =" , A ( t )) print ( "A(t+d) =" , A ( t + d )) print ( "Next value is larger:" , A ( t ) < A ( t + d )) print ( "The search stops near t = 1" ) 

Utskrift fra Python: Iterations = 100 Final t = 1.0 A(t) = 4095.999999999999 A(t+d) = 4095.5399809454325 Next value is larger: False The search stops near t = 1

Fasit: Programmet går mot høyre i steg på 0,01 og stopper når arealet ikke lenger øker. …