Matematikk R1 Våren 2022, LK20 (REA3056) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2022, LK20 (REA3056)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon av potens og logaritme

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^3+\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer ledd for ledd og tar hensyn til logaritmens definisjonsmengde.

Steg 1 - Domene

Fordi \(\ln x\) inngår, må \(x>0\).

Steg 2 - Potensregelen

\[(x^3)\prime=3x^2.\]

Steg 3 - Logaritmeregelen

\[(\ln x)\prime=1/x.\]

Steg 4 - Samle

\[f\prime(x)=3x^2+\frac1x.\]

Steg 5 - Kontrollform

\[f\prime(x)=\frac{3x^3+1}{x},\qquad x>0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^3+ln(x)] \(3x^2+1/x\)

Tolkning: CAS gir samme derivert.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) f = x ** 3 + sp . log ( x ) f_prime = sp . diff ( f , x ) expected = 3 * x ** 2 + 1 / x print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( f_prime - expected )) print ( "Domain: x > 0" ) 

Utskrift fra Python: f(x) = x**3 + log(x) f'(x) = 3*x**2 + 1/x Expected = 3*x**2 + 1/x Difference = 0 Domain: x > 0

Fasit: \(f\prime(x)=3x^2+\dfrac1x\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å glemme domenet til logaritmen. Sensorpunkt: Riktig derivert og domene skal framgå. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregel og eksponentialfunksjon

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x\,e^{2x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt, og eksponentialleddet krever kjerneregelen.

Steg 1 - Faktorer

Sett \(u=x\) og \(v=e^{2x}\).

Steg 2 - Deriver

\[u\prime=1,\qquad v\prime=2e^{2x}.\]

Steg 3 - Produktregelen

\[g\prime(x)=e^{2x}+2xe^{2x}.\]

Steg 4 - Faktoriser

\[g\prime(x)=e^{2x}(1+2x).\]

Steg 5 - Domene

Uttrykket gjelder for alle reelle x.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x exp(2x)] \((2x+1)e^{2x}\)

Tolkning: Produkt- og kjerneregel er brukt.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) g = x * sp . exp ( 2 * x ) g_prime = sp . factor ( sp . diff ( g , x )) expected = sp . exp ( 2 * x ) * ( 1 + 2 * x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , g_prime ) print ( "Expanded =" , sp . expand ( g_prime )) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( g_prime - expected )) 

Utskrift fra Python: g(x) = x*exp(2*x) g'(x) = (2*x + 1)*exp(2*x) Expanded = 2*x*exp(2*x) + exp(2*x) Expected = (2*x + 1)*exp(2*x) Difference = 0

Fasit: \(g\prime(x)=e^{2x}(1+2x)\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte 2. Sensorpunkt: Produktregelen og kjerneregelen må vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Eksponentiallikning

Oppgave 2

Oppgave: Løs likningen \[e^{2x}-e^x=2.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi innfører \(y=e^x\) og får en andregradslikning.

Steg 1 - Substitusjon

Sett \(y=e^x>0\). Da er \(e^{2x}=y^2\).

Steg 2 - Likning i y

\[y^2-y-2=0.\]

Steg 3 - Faktoriser

\[(y-2)(y+1)=0.\]

Steg 4 - Forkast ugyldig rot

\(y=-1\) kan ikke være \(e^x\). Derfor er \(y=2\).

Steg 5 - Tilbake til x

\[e^x=2\Rightarrow x=\ln2.\]

Steg 6 - Kontroll

\(e^{2\ln2}-e^{\ln2}=4-2=2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[exp(2x)-exp(x)=2,x] \(x=\ln2\)

Tolkning: Den eneste reelle løsningen er ln(2).

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x , y = sp . symbols ( "x y" , real = True ) quadratic = y ** 2 - y - 2 roots = sp . solve ( sp . Eq ( quadratic , 0 ), y ) valid = [ r for r in roots if r . is_positive ] solution = sp . log ( valid [ 0 ]) print ( "Quadratic =" , quadratic ) print ( "Roots for y =" , roots ) print ( "Positive root =" , valid [ 0 ]) print ( "Solution x =" , solution ) print ( "Original left side =" , sp . simplify ( sp . exp ( 2 * solution ) - sp . exp ( solution ))) 

Utskrift fra Python: Quadratic = y**2 - y - 2 Roots for y = [-1, 2] Positive root = 2 Solution x = log(2) Original left side = 2

Fasit: \(x=\ln2\).

Vanlig feil: Å beholde roten \(y=-1\). Sensorpunkt: Substitusjon og gyldighetskontroll skal være med. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3 Grenseverdi ved faktorisering

Oppgave 3

Oppgave: Bestem \[\lim_{x\to3}\frac{x-3}{x^2+x-12}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Direkte innsetting gir 0/0, så nevneren må faktoriseres.

Steg 1 - Ubestemt form

Ved \(x=3\) blir både teller og nevner 0.

Steg 2 - Faktoriser

\[x^2+x-12=(x-3)(x+4).\]

Steg 3 - Forkort

For \(x\ne3\): \[\frac{x-3}{(x-3)(x+4)}=\frac1{x+4}.\]

Steg 4 - Ta grensen

\[\lim_{x\to3}\frac1{x+4}=\frac17.\]

Steg 5 - Tolkning

Funksjonen har et fjernbart hull, men grensen finnes.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Limit[(x-3)/(x^2+x-12),x,3] \(1/7\)

Tolkning: CAS håndterer forkortingen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" ) expr = ( x - 3 ) / ( x ** 2 + x - 12 ) factored = sp . factor ( x ** 2 + x - 12 ) simplified = sp . cancel ( expr ) limit_value = sp . limit ( expr , x , 3 ) print ( "Expression =" , expr ) print ( "Factored denominator =" , factored ) print ( "Simplified =" , simplified ) print ( "Limit =" , limit_value ) print ( "Decimal =" , sp . N ( limit_value , 12 )) 

Utskrift fra Python: Expression = (x - 3)/(x**2 + x - 12) Factored denominator = (x - 3)*(x + 4) Simplified = 1/(x + 4) Limit = 1/7 Decimal = 0.142857142857

Fasit: Grenseverdien er \(\dfrac17\).

Vanlig feil: Å svare 0/0. Sensorpunkt: Faktorisering og grenseovergang må vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4a Vinkelrette vektorer

Oppgave 4a

Oppgave: Punktene er \(A(1,2)\), \(B(-1,5)\) og \(C(t,4)\). Bestem t slik at \(\angle BAC=90^{\circ}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vektorene fra A til B og fra A til C må ha skalarprodukt 0.

Steg 1 - Vektorer

\[\overrightarrow{AB}=(-2,3),\qquad \overrightarrow{AC}=(t-1,2).\]

Steg 2 - Ortogonalitetskrav

\[(-2)(t-1)+3\cdot2=0.\]

Steg 3 - Forenkle

\[-2t+8=0.\]

Steg 4 - Løs

\[t=4.\]

Steg 5 - Kontroll

Når t=4 er \(\overrightarrow{AC}=(3,2)\), og skalarproduktet er \(-6+6=0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[(-2)(t-1)+3*2=0,t] \(t=4\)

Tolkning: Skalarproduktet blir null.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp t = sp . symbols ( "t" , real = True ) AB = sp . Matrix ([ - 2 , 3 ]) AC = sp . Matrix ([ t - 1 , 2 ]) dot_product = sp . expand ( AB . dot ( AC )) solution = sp . solve ( sp . Eq ( dot_product , 0 ), t )[ 0 ] print ( "AB =" , tuple ( AB )) print ( "AC =" , tuple ( AC )) print ( "Dot product =" , dot_product ) print ( "Solution t =" , solution ) print ( "Control =" , AB . dot ( AC . subs ( t , solution ))) 

Utskrift fra Python: AB = (-2, 3) AC = (t - 1, 2) Dot product = 8 - 2*t Solution t = 4 Control = 0

Fasit: \(t=4\).

Vanlig feil: Å bruke vektorer med ulike startpunkter. Sensorpunkt: Vektorene skal ha felles startpunkt A. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4b Kollinearitet

Oppgave 4b

Oppgave: Bestem t slik at A, B og C ligger på en rett linje. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vektorene \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\) må være parallelle.

Steg 1 - Vektorer

\[\overrightarrow{AB}=(-2,3),\qquad \overrightarrow{AC}=(t-1,2).\]

Steg 2 - Determinant

\[(-2)\cdot2-3(t-1)=0.\]

Steg 3 - Forenkle

\[-4-3t+3=0\Rightarrow -3t-1=0.\]

Steg 4 - Løs

\[t=-\frac13.\]

Steg 5 - Kontroll

Stigningstallet fra A til C blir \(2/(-4/3)=-3/2\), lik stigningstallet fra A til B.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[(-2)*2-3*(t-1)=0,t] \(t=-1/3\)

Tolkning: Null determinant gir parallelle vektorer. …