Matematikk R1 Våren 2022, K06 (REA3022) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2022, K06 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon av potens og logaritme

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^2+\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må derivere ledd for ledd og samtidig ta hensyn til definisjonsmengden til logaritmen.

Steg 1 – Definisjonsmengde

Fordi \(\ln x\) inngår, må \(x>0\).

Steg 2 – Potensregelen

Den deriverte av \(x^2\) er \(2x\).

Steg 3 – Logaritmeregelen

Den deriverte av \(\ln x\) er \(1/x\).

Steg 4 – Samle leddene

\[f\prime(x)=2x+\frac1x.\]

Steg 5 – Alternativ brøkform

\[f\prime(x)=\frac{2x^2+1}{x},\qquad x>0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^2+ln(x)] \(2x+1/x\)

Tolkning: CAS deriverer begge ledd og beholder domenet x>0.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) f = x ** 2 + sp . log ( x ) f_prime = sp . diff ( f , x ) expected = 2 * x + 1 / x print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( f_prime - expected )) print ( "Domain: x > 0" ) 

Utskrift fra Python: f(x) = x**2 + log(x) f'(x) = 2*x + 1/x Expected = 2*x + 1/x Difference = 0 Domain: x > 0

Fasit: \(f\prime(x)=2x+\dfrac1x\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å skrive den deriverte av ln(x) som ln(x). Sensorpunkt: Både korrekt derivert og logaritmens domene skal framgå. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x\sqrt{1-2x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt, og kvadratroten er en sammensatt funksjon.

Steg 1 – Domene

Vi må ha \(1-2x\ge0\), altså \(x\le1/2\).

Steg 2 – Velg faktorer

Sett \(u=x\) og \(v=(1-2x)^{1/2}\).

Steg 3 – Deriver faktorene

\(u\prime=1\), mens kjerneregelen gir \[v\prime=\frac12(1-2x)^{-1/2}(-2)=-\frac1{\sqrt{1-2x}}.\]

Steg 4 – Produktregelen

\[g\prime(x)=\sqrt{1-2x}-\frac{x}{\sqrt{1-2x}}.\]

Steg 5 – Felles nevner

\[g\prime(x)=\frac{1-2x-x}{\sqrt{1-2x}}=\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}.\]

Steg 6 – Derivasjonsområde

Uttrykket for den deriverte gjelder for \(x<1/2\); ved endepunktet blir nevneren 0.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x sqrt(1-2x)] \((1-3x)/\sqrt{1-2x}\)

Tolkning: CAS kombinerer produktregelen og kjerneregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) g = x * sp . sqrt ( 1 - 2 * x ) g_prime = sp . simplify ( sp . diff ( g , x )) expected = ( 1 - 3 * x ) / sp . sqrt ( 1 - 2 * x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , g_prime ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( g_prime - expected )) print ( "Function domain: x <= 1/2" ) print ( "Derivative domain: x < 1/2" ) 

Utskrift fra Python: g(x) = x*sqrt(1 - 2*x) g'(x) = (1 - 3*x)/sqrt(1 - 2*x) Expected = (1 - 3*x)/sqrt(1 - 2*x) Difference = 0 Function domain: x <= 1/2 Derivative domain: x < 1/2

Fasit: \(g\prime(x)=\dfrac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}\) for \(x<1/2\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte -2. Sensorpunkt: Produktregel, kjerneregel og riktig domene skal dokumenteres. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Produktregel og eksponentialfunksjon

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\frac{x}{e^{x^2}}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skriver brøken som et produkt med negativ eksponent og bruker produkt- og kjerneregel.

Steg 1 – Skriv om

\[h(x)=x e^{-x^2}.\]

Steg 2 – Deriver faktorene

Den deriverte av x er 1, og \[(e^{-x^2})\prime=-2x e^{-x^2}.\]

Steg 3 – Produktregelen

\[h\prime(x)=e^{-x^2}+x(-2x e^{-x^2}).\]

Steg 4 – Faktoriser

\[h\prime(x)=e^{-x^2}(1-2x^2).\]

Steg 5 – Skriv med samme nevner som originalen

\[h\prime(x)=\frac{1-2x^2}{e^{x^2}}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x/exp(x^2)] \((1-2x^2)/e^{x^2}\)

Tolkning: CAS bekrefter produkt- og kjerneregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) h = x / sp . exp ( x ** 2 ) h_prime = sp . factor ( sp . diff ( h , x )) expected = ( 1 - 2 * x ** 2 ) / sp . exp ( x ** 2 ) print ( "h(x) =" , h ) print ( "h'(x) =" , h_prime ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( h_prime - expected )) print ( "h'(0) =" , h_prime . subs ( x , 0 )) 

Utskrift fra Python: h(x) = x*exp(-x**2) h'(x) = -(2*x**2 - 1)*exp(-x**2) Expected = (1 - 2*x**2)*exp(-x**2) Difference = 0 h'(0) = 1

Fasit: \(h\prime(x)=\dfrac{1-2x^2}{e^{x^2}}\).

Vanlig feil: Å derivere nevneren uten kvotientregel eller omskriving. Sensorpunkt: Den indre deriverte -2x må være med. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Logaritmelikning

Oppgave 2a

Oppgave: Løs likningen \[\lg(x^3)-2\lg x=3.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må først angi domenet og deretter bruke logaritmereglene.

Steg 1 – Domene

Begge logaritmene krever \(x>0\).

Steg 2 – Potensregelen

For positive x er \(\lg(x^3)=3\lg x\).

Steg 3 – Forenkle likningen

\[3\lg x-2\lg x=3\quad\Rightarrow\quad\lg x=3.\]

Steg 4 – Gå tilbake fra logaritme

\[x=10^3=1000.\]

Steg 5 – Kontroller

\(\lg(1000^3)-2\lg(1000)=9-6=3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[log(10,x^3)-2 log(10,x)=3,x] \(x=1000\)

Tolkning: Løsningen oppfyller domenekravet x>0.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) solution = sp . Integer ( 1000 ) lhs = sp . log ( solution ** 3 , 10 ) - 2 * sp . log ( solution , 10 ) print ( "Domain: x > 0" ) print ( "Reduced equation: log10(x) = 3" ) print ( "Solution x =" , solution ) print ( "Left side at x=1000 =" , sp . simplify ( lhs )) print ( "Equation satisfied =" , sp . simplify ( lhs - 3 ) == 0 ) 

Utskrift fra Python: Domain: x > 0 Reduced equation: log10(x) = 3 Solution x = 1000 Left side at x=1000 = 3 Equation satisfied = True

Fasit: \(x=1000\).

Vanlig feil: Å glemme at x må være positiv. Sensorpunkt: Logaritmeregelen og domenekontrollen skal framgå. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Eksponentiallikning med substitusjon

Oppgave 2b

Oppgave: Løs likningen \[e^x-2e^{-x}-1=0.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi innfører en positiv hjelpevariabel for å få en andregradslikning.

Steg 1 – Substitusjon

Sett \(y=e^x\). Da er \(y>0\) og \(e^{-x}=1/y\).

Steg 2 – Sett inn

\[y-\frac2y-1=0.\]

Steg 3 – Multipliser med y

\[y^2-y-2=0.\]

Steg 4 – Faktoriser

\[(y-2)(y+1)=0.\]

Steg 5 – Bruk positiviteten

\(y=-1\) forkastes, mens \(y=2\).

Steg 6 – Tilbake til x

\[e^x=2\quad\Rightarrow\quad x=\ln2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[exp(x)-2exp(-x)-1=0,x] \(x=\ln2\)

Tolkning: CAS beholder bare den reelle løsningen som svarer til e^x>0.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x , y = sp . symbols ( "x y" , real = True ) quadratic = y ** 2 - y - 2 roots = sp . solve ( sp . Eq ( quadratic , 0 ), y ) valid = [ r for r in roots if r . is_positive ] solution = sp . log ( valid [ 0 ]) print ( "Quadratic in y =" , quadratic ) print ( "Roots for y =" , roots ) print ( "Positive root =" , valid [ 0 ]) print ( "Solution x =" , solution ) print ( "Original left side =" , sp . simplify ( sp . exp ( solution ) - 2 * sp . exp ( - solution ) - 1 )) 

Utskrift fra Python: Quadratic in y = y**2 - y - 2 Roots for y = [-1, 2] Positive root = 2 Solution x = log(2) Original left side = 0

Fasit: \(x=\ln2\).

Vanlig feil: Å godta y=-1 selv om y=e^x alltid er positiv. Sensorpunkt: Substitusjonen og forkastingen av den ugyldige roten må forklares. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Polynomdivisjon

Oppgave 3a

Oppgave: Utfør polynomdivisjonen \[(x^3+2x^2-5x-6):(x-2).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi dividerer leddvis og kontrollerer til slutt ved multiplikasjon.

Steg 1 – Første ledd

\(x^3/x=x^2\). Multipliser: \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\).

Steg 2 – Trekk fra

Vi får \(4x^2-5x-6\).

Steg 3 – Neste ledd

\(4x^2/x=4x\). Multipliser: \(4x(x-2)=4x^2-8x\).

Steg 4 – Trekk fra igjen

Vi får \(3x-6\).

Steg 5 – Siste ledd

\((3x)/x=3\), og \(3(x-2)=3x-6\).

Steg 6 – Rest

Resten er 0, så kvotienten er \(x^2+4x+3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Div[x^3+2x^2-5x-6,x-2] \(x^2+4x+3\)

Tolkning: CAS viser kvotient uten rest. …