Matematikk R1 Høsten 2025, LK20 (REA3056) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - høsten 2025, LK20 (REA3056)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=\frac13x^3+x+2.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere hvert ledd med potensregelen.

Steg 1 - Del opp

Funksjonen har et tredjegradsledd, et lineært ledd og en konstant.

Steg 2 - Deriver tredjegradsleddet

\[\frac{d}{dx}\left(\frac13x^3\right)=\frac13\cdot3x^2=x^2.\]

Steg 3 - Deriver resten

\[\frac{d}{dx}(x)=1,\qquad \frac{d}{dx}(2)=0.\]

Steg 4 - Sett sammen

\[f^{\prime}(x)=x^2+1.\]

Steg 5 - Kontroller

Den deriverte er alltid positiv, noe som betyr at f er strengt voksende.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Derivative[(1/3)x^3+x+2] \(x^2+1\)

Tolkning: CAS bekrefter potensregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) f = sp . Rational ( 1 , 3 ) * x ** 3 + x + 2 print ( "f(x) =" , f ) print ( "Derivative of x^3/3 =" , sp . diff ( sp . Rational ( 1 , 3 ) * x ** 3 , x )) print ( "Derivative of x =" , sp . diff ( x , x )) print ( "Derivative of 2 =" , sp . diff ( 2 , x )) print ( "f'(x) =" , sp . diff ( f , x )) print ( "Minimum value of f'(x) is 1" ) 

Utskrift fra Python: f(x) = x**3/3 + x + 2 Derivative of x^3/3 = x**2 Derivative of x = 1 Derivative of 2 = 0 f'(x) = x**2 + 1 Minimum value of f'(x) is 1

Fasit: \(f^{\prime}(x)=x^2+1\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 3 fra potensregelen. Sensorpunkt: Alle ledd skal deriveres og uttrykket forenkles. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Kvotientregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: For \(g(x)=\frac{2x-3}{e^x}\), bestem \(g^{\prime}(2)\) og \(g^{\prime}(3)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere g og sette inn de to x-verdiene.

Steg 1 - Skriv om

\[g(x)=(2x-3)e^{-x}.\]

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[g^{\prime}(x)=2e^{-x}+(2x-3)(-e^{-x}).\]

Steg 3 - Faktoriser

\[g^{\prime}(x)=(5-2x)e^{-x}=\frac{5-2x}{e^x}.\]

Steg 4 - Sett inn x=2

\[g^{\prime}(2)=\frac{1}{e^2}.\]

Steg 5 - Sett inn x=3

\[g^{\prime}(3)=\frac{-1}{e^3}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Simplify[Derivative[(2x-3)/exp(x)]] \((5-2x)e^{-x}\), \(g\prime(2)=e^{-2}\), \(g\prime(3)=-e^{-3}\)

Tolkning: CAS gir samme faktoriserte uttrykk.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) g = ( 2 * x - 3 ) / sp . exp ( x ) gp = sp . simplify ( sp . diff ( g , x )) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) before factoring =" , sp . diff ( g , x )) print ( "g'(x) simplified =" , gp ) print ( "g'(2) =" , sp . simplify ( gp . subs ( x , 2 ))) print ( "g'(2) decimal =" , sp . N ( gp . subs ( x , 2 ), 12 )) print ( "g'(3) =" , sp . simplify ( gp . subs ( x , 3 ))) print ( "g'(3) decimal =" , sp . N ( gp . subs ( x , 3 ), 12 )) 

Utskrift fra Python: g(x) = (2*x - 3)*exp(-x) g'(x) before factoring = -(2*x - 3)*exp(-x) + 2*exp(-x) g'(x) simplified = (5 - 2*x)*exp(-x) g'(2) = exp(-2) g'(2) decimal = 0.135335283237 g'(3) = -exp(-3) g'(3) decimal = -0.0497870683679

Fasit: \(g^{\prime}(2)=e^{-2}\) og \(g^{\prime}(3)=-e^{-3}\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil når e^{-x} deriveres. Sensorpunkt: Den deriverte og begge eksakte innsettinger må vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Monotoni og toppunkt

Oppgave 1c

Oppgave: Hva forteller svarene i b om grafen til g når \(x\in[2,3]\)? Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke fortegnene til den deriverte og finne hvor den skifter fortegn.

Steg 1 - Tolk endepunktene

Siden \(g^{\prime}(2)>0\), stiger grafen ved x=2. Siden \(g^{\prime}(3)<0\), synker grafen ved x=3.

Steg 2 - Finn nullpunktet til den deriverte

\[(5-2x)e^{-x}=0.\] Eksponentialfaktoren er positiv, så \(5-2x=0\), altså \(x=\frac52\).

Steg 3 - Fortegn

For \(x<\frac52\) er \(5-2x>0\), og for \(x>\frac52\) er faktoren negativ.

Steg 4 - Konklusjon

g øker på \([2,\frac52]\) og avtar på \([\frac52,3]\).

Steg 5 - Toppunkt

Dermed har grafen et toppunkt i intervallet ved \[\left(\frac52,\frac{2}{e^{5/2}}\right).\]

Grafen stiger før x=2,5 og synker etter x=2,5.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Solve[Derivative[(2x-3)/exp(x)]=0,x] \(x=5/2\), toppunkt \((5/2,2e^{-5/2})\)

Tolkning: Fortegnsskiftet er fra pluss til minus.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) g = ( 2 * x - 3 ) * sp . exp ( - x ) gp = sp . factor ( sp . diff ( g , x )) critical = sp . solve ( sp . Eq ( gp , 0 ), x )[ 0 ] print ( "g'(x) =" , gp ) print ( "Critical x =" , critical ) print ( "g'(2) =" , sp . N ( gp . subs ( x , 2 ), 10 )) print ( "g'(2.25) =" , sp . N ( gp . subs ( x , sp . Rational ( 9 , 4 )), 10 )) print ( "g'(2.75) =" , sp . N ( gp . subs ( x , sp . Rational ( 11 , 4 )), 10 )) print ( "g'(3) =" , sp . N ( gp . subs ( x , 3 ), 10 )) print ( "Maximum point =" , ( critical , sp . simplify ( g . subs ( x , critical )))) 

Utskrift fra Python: g'(x) = -(2*x - 5)*exp(-x) Critical x = 5/2 g'(2) = 0.1353352832 g'(2.25) = 0.05269961228 g'(2.75) = -0.03196393060 g'(3) = -0.04978706837 Maximum point = (5/2, 2*exp(-5/2))

Fasit: g øker fram til \(x=2,5\) og avtar etterpå; toppunktet er \(\left(2,5,2e^{-2,5}\right)\).

Vanlig feil: Å bare si at grafen først stiger og så synker uten å finne skiftepunktet. Sensorpunkt: Knyt fortegnene til monotoni og dokumenter toppunktet. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Logaritmelikning

Oppgave 2a

Oppgave: Løs \[(\lg x)^2-2\lg x=8.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre likningen om til en andregradslikning i lg x.

Steg 1 - Definisjonsmengde

Logaritmen krever \(x>0\).

Steg 2 - Sett y=lg x

Likningen blir \[y^2-2y-8=0.\]

Steg 3 - Faktoriser

\[(y-4)(y+2)=0.\]

Steg 4 - Finn y

\[y=4\quad\text{eller}\quad y=-2.\]

Steg 5 - Gå tilbake til x

\[x=10^4=10000\quad\text{eller}\quad x=10^{-2}=0,01.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Solve[(log(10,x))^2-2log(10,x)=8,x] \(x=10^4\) eller \(x=10^{-2}\)

Tolkning: Begge løsningene er positive og gyldige.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp y = sp . symbols ( "y" , real = True ) quadratic = y ** 2 - 2 * y - 8 roots = sp . solve ( sp . Eq ( quadratic , 0 ), y ) print ( "Quadratic in y =" , quadratic ) print ( "Factorization =" , sp . factor ( quadratic )) print ( "Solutions for y = lg(x):" , roots ) xs = [ 10 ** int ( r ) for r in roots ] print ( "Corresponding x-values =" , xs ) for value in xs : check = sp . log ( value , 10 ) ** 2 - 2 * sp . log ( value , 10 ) print ( "Check x =" , value , "gives" , sp . simplify ( check )) 

Utskrift fra Python: Quadratic in y = y**2 - 2*y - 8 Factorization = (y - 4)*(y + 2) Solutions for y = lg(x): [-2, 4] Corresponding x-values = [0.01, 10000] Check x = 0.01 gives 42.4151848838272/log(10)**2 Check x = 10000 gives 8

Fasit: \(x=10000\) eller \(x=0,01\).

Vanlig feil: Å miste løsningen med negativ logaritmeverdi. Sensorpunkt: Vis substitusjonen, faktoriser og kontroller x>0. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Logaritmens definisjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem a slik at \[\log_a\left(\frac1{64}\right)=-3.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke definisjonen av logaritme og kontrollere kravene til grunntallet.

Steg 1 - Bruk definisjonen

\[\log_a(1/64)=-3\iff a^{-3}=\frac1{64}.\]

Steg 2 - Snu brøkene

\[\frac1{a^3}=\frac1{64}.\]

Steg 3 - Løs

\[a^3=64\Rightarrow a=4.\]

Steg 4 - Kontroller grunnkrav

Et logaritmegrunnlag må være positivt og forskjellig fra 1. Tallet 4 oppfyller begge krav.

Steg 5 - Kontroll

\[4^{-3}=\frac1{4^3}=\frac1{64}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Solve[a^(-3)=1/64,a] \(a=4\)

Tolkning: Grunnlaget er gyldig fordi 4>0 og 4≠1.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp a = sp . symbols ( "a" , positive = True ) solution = sp . solve ( sp . Eq ( a ** ( - 3 ), sp . Rational ( 1 , 64 )), a ) print ( "Equation: a^(-3) = 1/64" ) print ( "Positive real solution =" , solution ) value = solution [ 0 ] print ( "a^3 =" , value ** 3 ) print ( "a^(-3) =" , sp . simplify ( value ** ( - 3 ))) print ( "Base conditions: positive =" , bool ( value > 0 ), ", different from 1 =" , value != 1 ) 

Utskrift fra Python: Equation: a^(-3) = 1/64 Positive real solution = [4] a^3 = 64 a^(-3) = 1/64 Base conditions: positive = True , different from 1 = True

Fasit: \(a=4\). …