Matematikk R1 Høsten 2024, LK20 (REA3056) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 – høsten 2024, LK20 (REA3056)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 – Oppgave 1 Kvotientregel og kjerneregel

Oppgave 1

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=\frac{e^{2x}}{x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en kvotient der telleren krever kjerneregelen, og samtidig huske at funksjonen ikke er definert for \(x=0\).

Steg 1 – Identifiser teller og nevner

Sett \(u(x)=e^{2x}\) og \(v(x)=x\).

Steg 2 – Deriver telleren

Kjerneregelen gir \[u^{\prime}(x)=2e^{2x}.\]

Steg 3 – Deriver nevneren

\[v^{\prime}(x)=1.\]

Steg 4 – Bruk kvotientregelen

\[f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}=\frac{2e^{2x}x-e^{2x}}{x^2}.\]

Steg 5 – Faktoriser

\[f^{\prime}(x)=\frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}.\]

Steg 6 – Oppgi domenet

Både \(f\) og den deriverte gjelder for \(x\ne0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra – CAS/grafikk 1 Derivative(exp(2x)/x) \(e^{2x}(2x-1)/x^2\)

Tolkning: CAS bekrefter kvotientregelen og forenklingen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 – faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , nonzero = True ) f = sp . exp ( 2 * x ) / x f_prime = sp . diff ( f , x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Factored =" , sp . factor ( f_prime )) print ( "Check at x=1 =" , sp . simplify ( f_prime . subs ( x , 1 ))) print ( "Domain restriction: x != 0" ) 

Utskrift fra Python: f(x) = exp(2*x)/x f'(x) = 2*exp(2*x)/x - exp(2*x)/x**2 Factored = (2*x - 1)*exp(2*x)/x**2 Check at x=1 = exp(2) Domain restriction: x != 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}\), \(x\ne0\).

Vanlig feil: Å derivere \(e^{2x}\) som \(e^{2x}\) og glemme faktoren 2. Sensorpunkt: Kvotientregelen, kjerneregelen og domenet skal framgå tydelig. Få mer forklaring Del 1 – Oppgave 2 Algoritme og toppunkt

Oppgave 2

Oppgave: Bestem verdien som skrives ut av programmet med \(O(x)=-0,1x^2+2000x-50000\), start \(x=0\), og løkken while O(x+1) > O(x): x=x+1. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forstå at programmet øker heltallsverdien \(x\) så lenge funksjonsverdien stiger.

Steg 1 – Se på funksjonstypen

\(O\) er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran \(x^2\), så grafen har et maksimum.

Steg 2 – Finn toppunktets x-verdi

For \(ax^2+bx+c\) er toppunktet ved \(-b/(2a)\). Her blir \[x=-\frac{2000}{2(-0,1)}=10000.\]

Steg 3 – Analyser løkkebetingelsen

Programmet sammenlikner naboverdiene \(O(x+1)\) og \(O(x)\).

Steg 4 – Beregn differansen

\[O(x+1)-O(x)=1999,9-0,2x.\]

Steg 5 – Finn siste økning

Differansen er positiv for heltall \(x\le9999\). Derfor økes \(x\) fra 9999 til 10000.

Steg 6 – Stopp

Når \(x=10000\), er \(O(10001)-O(10000)=-0,1\), så løkken stopper og programmet skriver ut 10000.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra – CAS/grafikk 1 O(x)=-0.1x^2+2000x-50000; Extremum(O) Toppunkt ved \(x=10000\)

Tolkning: Løkken finner heltallet ved funksjonens maksimum.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 – faktisk kjøring

 def O ( x ): return - 0.1 * x ** 2 + 2000 * x - 50000 x = 0 iterations = 0 while O ( x + 1 ) > O ( x ): x = x + 1 iterations += 1 print ( "Printed x =" , x ) print ( "Iterations =" , iterations ) print ( "O(9999) =" , O ( 9999 )) print ( "O(10000) =" , O ( 10000 )) print ( "O(10001) =" , O ( 10001 )) print ( "Next difference =" , O ( x + 1 ) - O ( x )) 

Utskrift fra Python: Printed x = 10000 Iterations = 10000 O(9999) = 9949999.9 O(10000) = 9950000.0 O(10001) = 9949999.9 Next difference = -0.09999999962747097

Fasit: Programmet skriver ut \(10000\).

Vanlig feil: Å tro at løkken skriver ut den største funksjonsverdien; den skriver ut x-verdien. Sensorpunkt: Forklar både hva løkken gjør og hvorfor den stopper akkurat ved 10000. Få mer forklaring Del 1 – Oppgave 3 Eksponentiallikning med substitusjon

Oppgave 3

Oppgave: Løs likningen \[100^x-3\cdot10^x=4.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at \(100^x=(10^x)^2\), slik at likningen blir en andregradslikning.

Steg 1 – Innfør variabel

Sett \(y=10^x\). Da er \(y>0\).

Steg 2 – Skriv om 100-potensen

\[100^x=(10^2)^x=10^{2x}=(10^x)^2=y^2.\]

Steg 3 – Få en andregradslikning

\[y^2-3y=4\quad\Longrightarrow\quad y^2-3y-4=0.\]

Steg 4 – Faktoriser

\[(y-4)(y+1)=0.\]

Steg 5 – Bruk positivitet

Løsningene er \(y=4\) og \(y=-1\), men \(10^x\) kan ikke være negativ. Derfor er \(10^x=4\).

Steg 6 – Løs for x

\[x=\lg4\approx0,60206.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra – CAS/grafikk 1 Solve(100^x-3*10^x=4,x) \(x=\lg4\)

Tolkning: CAS gir den eneste reelle løsningen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 – faktisk kjøring

 import sympy as sp x , y = sp . symbols ( "x y" , real = True ) quadratic = y ** 2 - 3 * y - 4 roots = sp . solve ( sp . Eq ( quadratic , 0 ), y ) valid = [ root for root in roots if root . is_positive ] solution_x = sp . log ( valid [ 0 ], 10 ) print ( "Quadratic =" , sp . factor ( quadratic )) print ( "Roots for y = 10^x:" , roots ) print ( "Positive root =" , valid [ 0 ]) print ( "x =" , solution_x ) print ( "Decimal x =" , sp . N ( solution_x , 12 )) print ( "Equation check =" , sp . simplify ( 100 ** solution_x - 3 * 10 ** solution_x )) 

Utskrift fra Python: Quadratic = (y - 4)*(y + 1) Roots for y = 10^x: [-1, 4] Positive root = 4 x = log(4)/log(10) Decimal x = 0.602059991328 Equation check = 4

Fasit: \(x=\lg4\approx0,6021\).

Vanlig feil: Å beholde \(y=-1\), selv om \(10^x>0\) for alle reelle x. Sensorpunkt: Substitusjon, forkasting av negativ rot og tilbakeføring til x må vises. Få mer forklaring Del 1 – Oppgave 4 Grenseverdi for rasjonal funksjon

Oppgave 4

Oppgave: Finn \[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-12}{2x^2-18}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne de høyeste potensene i teller og nevner.

Steg 1 – Del på høyeste potens

Del teller og nevner på \(x^2\).

Steg 2 – Skriv om

\[\frac{1+1/x-12/x^2}{2-18/x^2}.\]

Steg 3 – Bruk standardgrenser

Når \(x\to\infty\), går \(1/x\to0\) og \(1/x^2\to0\).

Steg 4 – Sett inn grenseverdiene

\[\frac{1+0-0}{2-0}=\frac12.\]

Steg 5 – Alternativ regel

Teller og nevner har samme grad, så grensen er forholdet mellom ledende koeffisienter, \(1/2\).

Steg 6 – Konklusjon

Grenseverdien eksisterer og er endelig.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra – CAS/grafikk 1 Limit((x^2+x-12)/(2x^2-18),x,Infinity) \(1/2\)

Tolkning: CAS bekrefter forholdet mellom de ledende koeffisientene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 – faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) expr = ( x ** 2 + x - 12 ) / ( 2 * x ** 2 - 18 ) normalized = sp . simplify ( expr . subs ( x , 1 / sp . symbols ( "u" ))) limit_value = sp . limit ( expr , x , sp . oo ) print ( "Expression =" , expr ) print ( "Limit as x -> infinity =" , limit_value ) for value in [ 10 , 100 , 1000 ]: print ( "x =" , value , "value =" , sp . N ( expr . subs ( x , value ), 12 )) 

Utskrift fra Python: Expression = (x**2 + x - 12)/(2*x**2 - 18) Limit as x -> infinity = 1/2 x = 10 value = 0.538461538462 x = 100 value = 0.504854368932 x = 1000 value = 0.500498504487

Fasit: \(\displaystyle\frac12\).

Vanlig feil: Å ta forholdet mellom konstantleddene i stedet for de høyeste gradsleddene. Sensorpunkt: En korrekt normalisering eller ledende-koeffisientregel gir full uttelling. Få mer forklaring Del 1 – Oppgave 5a Lengder og ortogonalitet

Oppgave 5a

Oppgave: Vektorene er \(\vec u=[3,-2]\), \(\vec v=[4,-6]\), \(\vec w=[2,-3]\) og \(\vec p=[8,12]\). Avgjør om noen er like lange eller ortogonale. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne kvadrerte lengder og beregne skalarprodukt for alle relevante par.

Steg 1 – Kvadrert lengde til u

\[|\vec u|^2=3^2+(-2)^2=13.\]

Steg 2 – De andre lengdene

\[|\vec v|^2=52,\qquad |\vec w|^2=13,\qquad |\vec p|^2=208.\]

Steg 3 – Like lange

Bare \(\vec u\) og \(\vec w\) har samme kvadrerte lengde. Dermed er begge lengdene \(\sqrt{13}\).

Steg 4 – Ortogonalitetskriteriet

To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er null.

Steg 5 – Finn nullproduktet

\[\vec u\cdot\vec p=3\cdot8+(-2)\cdot12=24-24=0.\]

Steg 6 – Kontroller de andre parene

De øvrige skalarproduktene er \(24,12,26,-40,-20\), og ingen av dem er null.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra – CAS/grafikk 1 Length((3,-2)); Length((2,-3)); Dot((3,-2),(8,12)) \(|u|=|w|=\sqrt{13}\), og \(u\perp p\)

Tolkning: Lengde- og skalarproduktkontroll gir de eneste treffene. …