Matematikk R1 Eksamen høsten 2023 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - høsten 2023, LK20 (REA3056)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1 Produktregelen og logaritmer

Oppgave 1

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^2\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produktregelen og samtidig huske at funksjonen bare er definert for \(x>0\).

Steg 1 - Identifiser produktet

Funksjonen er produktet av \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\ln x\).

Steg 2 - Deriver faktorene

Vi har \(u^{\prime}(x)=2x\) og \(v^{\prime}(x)=1/x\).

Steg 3 - Bruk produktregelen

\[f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x).\]

Steg 4 - Sett inn

\[f^{\prime}(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac1x.\]

Steg 5 - Forenkle

\[f^{\prime}(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1),\qquad x>0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Derivative[x^2 ln(x)] \(2x\ln x+x\)

Tolkning: CAS bruker produktregelen og forenkler.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) f = x ** 2 * sp . log ( x ) f_prime = sp . diff ( f , x ) factored = sp . factor ( f_prime ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "Product-rule derivative =" , f_prime ) print ( "Factored derivative =" , factored ) print ( "Domain condition: x > 0" ) print ( "Check at x=e:" , sp . simplify ( f_prime . subs ( x , sp . E ))) 

Utskrift fra Python: f(x) = x**2*log(x) Product-rule derivative = 2*x*log(x) + x Factored derivative = x*(2*log(x) + 1) Domain condition: x > 0 Check at x=e: 3*E

Fasit: \(f^{\prime}(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som \((x^2)^{\prime}(\ln x)^{\prime}\). Sensorpunkt: Produktregelen, den deriverte av \(\ln x\) og domenet bør være synlige. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Logaritmer og eksponentialuttrykk

Oppgave 2

Oppgave: Skriv uttrykkene \(2\ln(e^3)\), \(3\lg 70\) og \(e^{3\ln2}\) i stigende rekkefølge. Begrunn svaret. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forenkle de to eksakte uttrykkene og plassere tierlogaritmen mellom dem.

Steg 1 - Første uttrykk

\[2\ln(e^3)=2\cdot3=6.\]

Steg 2 - Tredje uttrykk

\[e^{3\ln2}=e^{\ln(2^3)}=e^{\ln8}=8.\]

Steg 3 - Avgrens tierlogaritmen

Fordi \(10\lt70\lt100\), er \(1\lt\lg70\lt2\). Dermed er \(3\lt3\lg70\lt6\).

Steg 4 - Numerisk kontroll

\(3\lg70\approx5{,}5353\).

Steg 5 - Sett i stigende rekkefølge

\[3\lg70\lt2\ln(e^3)\lt e^{3\ln2}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Numeric({3 log(10,70), 2 ln(e^3), e^(3 ln(2))}) \(5.5353<6<8\)

Tolkning: Numeriske verdier bekrefter den eksakte begrunnelsen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp A = 2 * sp . log ( sp . E ** 3 ) B = 3 * sp . log ( 70 , 10 ) C = sp . exp ( 3 * sp . log ( 2 )) print ( "2*ln(e^3) =" , sp . simplify ( A )) print ( "3*lg(70) exact =" , B ) print ( "3*lg(70) decimal =" , sp . N ( B , 12 )) print ( "e^(3*ln(2)) =" , sp . simplify ( C )) ordered = sorted ([( "3*lg(70)" , B ), ( "2*ln(e^3)" , A ), ( "e^(3*ln(2))" , C )], key = lambda pair : float ( pair [ 1 ])) print ( "Increasing order =" , [ name for name , value in ordered ]) 

Utskrift fra Python: 2*ln(e^3) = 6 3*lg(70) exact = 3*log(7)/log(10) + 3 3*lg(70) decimal = 5.53529412004 e^(3*ln(2)) = 8 Increasing order = ['3*lg(70)', '2*ln(e^3)', 'e^(3*ln(2))']

Fasit: \(3\lg70\lt2\ln(e^3)\lt e^{3\ln2}\).

Vanlig feil: Å tolke \(\lg\) som naturlig logaritme. Sensorpunkt: Bruk eksakte logaritmeregler; desimaltall bør bare være kontroll. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Vektorlengder

Oppgave 3a

Oppgave: I trekanten \(ABC\) er \(A(-3,-1)\), \(B(2,-2)\) og \(C(5,2)\). Avgjør ved hjelp av vektorregning hvilken side som er kortest. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne kvadrerte sidelengder, slik at vi slipper unødvendige kvadratrøtter.

Steg 1 - Finn sidevektorene

\[\overrightarrow{AB}=(5,-1),\quad\overrightarrow{AC}=(8,3),\quad\overrightarrow{BC}=(3,4).\]

Steg 2 - Beregn kvadrerte lengder

\[|AB|^2=5^2+(-1)^2=26.\]

Steg 3 - Fortsett sammenlikningen

\[|AC|^2=8^2+3^2=73,\qquad |BC|^2=3^2+4^2=25.\]

Steg 4 - Sammenlikn

Fordi \(25<26<73\), er \(|BC|<|AB|<|AC|\).

Steg 5 - Konklusjon

Siden \(BC\) er kortest.

Koordinatframstilling av trekanten ABC.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Distance(A,B), Distance(A,C), Distance(B,C) \(\sqrt{26},\sqrt{73},5\)

Tolkning: GeoGebra viser at BC har minst lengde.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp A = sp . Matrix ([ - 3 , - 1 ]) B = sp . Matrix ([ 2 , - 2 ]) C = sp . Matrix ([ 5 , 2 ]) AB = B - A AC = C - A BC = C - B squared = { "AB" : AB . dot ( AB ), "AC" : AC . dot ( AC ), "BC" : BC . dot ( BC )} lengths = { name : sp . sqrt ( value ) for name , value in squared . items ()} print ( "AB =" , tuple ( AB ), "and |AB|^2 =" , squared [ "AB" ]) print ( "AC =" , tuple ( AC ), "and |AC|^2 =" , squared [ "AC" ]) print ( "BC =" , tuple ( BC ), "and |BC|^2 =" , squared [ "BC" ]) print ( "Exact lengths =" , lengths ) print ( "Shortest side =" , min ( squared , key = squared . get )) 

Utskrift fra Python: AB = (5, -1) and |AB|^2 = 26 AC = (8, 3) and |AC|^2 = 73 BC = (3, 4) and |BC|^2 = 25 Exact lengths = {'AB': sqrt(26), 'AC': sqrt(73), 'BC': 5} Shortest side = BC

Fasit: Siden \(BC\) er kortest, med lengde \(5\).

Vanlig feil: Å sammenlikne bare forskjellene i x- eller y-koordinat. Sensorpunkt: Alle tre sidevektorene og en tydelig lengdesammenlikning må vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Skalarprodukt og rette vinkler

Oppgave 3b

Oppgave: Avgjør ved hjelp av vektorregning om noen av vinklene i trekanten er \(90^{\circ}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne skalarproduktet mellom sidevektorene som møtes i hvert hjørne.

Steg 1 - Vinkelen ved A

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(5,-1)\cdot(8,3)=40-3=37\ne0.\]

Steg 2 - Vinkelen ved B

\[\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-5,1)\cdot(3,4)=-15+4=-11\ne0.\]

Steg 3 - Vinkelen ved C

\[\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-8,-3)\cdot(-3,-4)=24+12=36\ne0.\]

Steg 4 - Bruk ortogonalitetskriteriet

To ikke-nullvektorer er vinkelrette akkurat når skalarproduktet er null.

Steg 5 - Konklusjon

Ingen av de tre skalarproduktene er null, så trekanten har ingen rett vinkel.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Dot(Vector(A,B),Vector(A,C)), Dot(Vector(B,A),Vector(B,C)), Dot(Vector(C,A),Vector(C,B)) \(37,-11,36\)

Tolkning: Ingen av resultatene er null.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp A = sp . Matrix ([ - 3 , - 1 ]) B = sp . Matrix ([ 2 , - 2 ]) C = sp . Matrix ([ 5 , 2 ]) products = { "angle A" : ( B - A ) . dot ( C - A ), "angle B" : ( A - B ) . dot ( C - B ), "angle C" : ( A - C ) . dot ( B - C ), } for name , value in products . items (): print ( name , "dot product =" , value ) print ( "Any right angle:" , any ( value == 0 for value in products . values ())) print ( "Sign interpretation: angle B is obtuse because its dot product is negative" ) 

Utskrift fra Python: angle A dot product = 37 angle B dot product = -11 angle C dot product = 36 Any right angle: False Sign interpretation: angle B is obtuse because its dot product is negative

Fasit: Ingen av vinklene i trekanten er \(90^{\circ}\).

Vanlig feil: Å bruke vektorer som ikke har samme startpunkt når vinkelen undersøkes. Sensorpunkt: Skalarproduktet ved alle tre hjørner må kontrolleres. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4a Numerisk derivasjon og løkkestrategi

Oppgave 4a

Oppgave: Programmet bruker \(f(x)=2x^2-9x-2\), en framoverdifferanse \(df(x,h)\), \(h=0{,}001\), starter med \(a=0\), og øker \(a\) med 1 så lenge \(df(a,h)<0\). Forklar strategien. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva den numeriske deriverte betyr, hvorfor fortegnet brukes, og hvorfor løkken stopper.

Steg 1 - Tilnærmet derivert

Uttrykket \((f(x+h)-f(x))/h\) er en framoverdifferanse som tilnærmer \(f^{\prime}(x)\).

Steg 2 - Start til venstre

Programmet starter ved \(a=0\), der grafen er avtakende og den tilnærmede deriverte er negativ.

Steg 3 - Flytt mot høyre

Så lenge \(df(a,h)<0\), flyttes prøvepunktet én hel enhet mot høyre.

Steg 4 - Stopp når stigningen skifter fortegn

Når den tilnærmede deriverte ikke lenger er negativ, antar programmet at bunnpunktet er passert.

Steg 5 - Hvorfor svaret blir grovt

Funksjonen har bunnpunkt ved \(x=2{,}25\), men programmet undersøker bare \(a=0,1,2,3,\ldots\). Derfor stopper det ved \(a=3\).

Steg 6 - Metodens idé

Strategien er et trinnvis søk etter fortegnsskiftet til den deriverte, men søketrinnet 1 er altfor stort. …