Matematikk R1 Eksamen høsten 2022 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - høsten 2022, LK20 (REA3056)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Omvendt funksjon og injektivitet

Oppgave 1a

Oppgave: Avgjør om \[f(x)=x^4,\qquad D_f=\mathbb R\] har en omvendt funksjon. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om funksjonen er en-til-en på hele definisjonsmengden.

Steg 1 - Kravet

En funksjon har omvendt funksjon på domenet sitt bare dersom ulike input alltid gir ulike output.

Steg 2 - To ulike input

Velg \(x=1\) og \(x=-1\).

Steg 3 - Samme funksjonsverdi

Vi får \(f(1)=1\) og \(f(-1)=1\).

Steg 4 - Horisontallinjetesten

En horisontal linje med \(y>0\) skjærer grafen to steder.

Steg 5 - Konklusjon

Funksjonen er ikke injektiv på \(\mathbb R\), og har derfor ikke en omvendt funksjon på dette domenet.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Solve[x^4=1,x] \(x=-1\) og \(x=1\)

Tolkning: To ulike x-verdier gir samme funksjonsverdi.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) f = x ** 4 solutions = sp . solve ( sp . Eq ( f , 1 ), x ) value_pos = f . subs ( x , 1 ) value_neg = f . subs ( x , - 1 ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "Solutions of f(x)=1:" , solutions ) print ( "f(1) =" , value_pos ) print ( "f(-1) =" , value_neg ) print ( "Different inputs:" , 1 != - 1 ) print ( "Same outputs:" , value_pos == value_neg ) 

Utskrift fra Python: f(x) = x**4 Solutions of f(x)=1: [-1, 1] f(1) = 1 f(-1) = 1 Different inputs: True Same outputs: True

Fasit: Nei. \(f\) er ikke injektiv på \(\mathbb R\).

Vanlig feil: Å skrive \(f^{-1}(x)=\sqrt[4]{x}\) uten å ta hensyn til den negative grenen. Sensorpunkt: Et konkret moteksempel eller horisontallinjetesten må brukes som begrunnelse. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Omvendt funksjon og monotoni

Oppgave 1b

Oppgave: Avgjør om \[g(x)=e^{-(x-2)^2},\qquad D_g=[2,\rightarrow\rangle\] har en omvendt funksjon. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at domenebegrensningen \(x\ge2\) gjør funksjonen en-til-en.

Steg 1 - Deriver

\[g^{\prime}(x)=-2(x-2)e^{-(x-2)^2}.\]

Steg 2 - Fortegn

For \(x>2\) er \(g^{\prime}(x)<0\).

Steg 3 - Monotoni

Funksjonen er strengt avtakende på \([2,\infty)\), og derfor injektiv.

Steg 4 - Verdimengde

\(g(2)=1\), og \(g(x)\to0\). Dermed er \(V_g=(0,1]\).

Steg 5 - Invers

Fra \(y=e^{-(x-2)^2}\) får vi \[x=2+\sqrt{-\ln y}.\] Plussgrenen velges fordi \(x\ge2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Invert[exp(-(x-2)^2),x,2<=x] \(g^{-1}(x)=2+\sqrt{-\ln x}\)

Tolkning: Domenebegrensningen bestemmer riktig rotgren.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x , y = sp . symbols ( "x y" , positive = True ) g = sp . exp ( - ( x - 2 ) ** 2 ) g_prime = sp . factor ( sp . diff ( g , x )) g_inverse = 2 + sp . sqrt ( - sp . log ( y )) composition = sp . simplify ( g . subs ( x , g_inverse )) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , g_prime ) print ( "g inverse(y) =" , g_inverse ) print ( "g(g inverse(y)) =" , composition ) print ( "Range: 0 < y <= 1" ) print ( "Strictly decreasing for x > 2" ) 

Utskrift fra Python: g(x) = exp(-(x - 2)**2) g'(x) = -2*(x - 2)*exp(-4)*exp(4*x)*exp(-x**2) g inverse(y) = sqrt(-log(y)) + 2 g(g inverse(y)) = y Range: 0 < y <= 1 Strictly decreasing for x > 2

Fasit: Ja. \(g^{-1}(x)=2+\sqrt{-\ln x}\), for \(0<x\le1\).

Vanlig feil: Å velge minusgrenen, som ligger utenfor domenet. Sensorpunkt: Monotoni, verdimengde og korrekt rotgren skal framgå. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Grenseverdi og definisjon av derivert

Oppgave 2

Oppgave: Bestem \[\lim_{h\to0}\frac{(4+h)^2-4^2}{h}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forenkle differansekvotienten før vi setter \(h=0\).

Steg 1 - Utvid kvadratet

\((4+h)^2=16+8h+h^2\).

Steg 2 - Trekk fra

Telleren blir \(8h+h^2\).

Steg 3 - Faktoriser

\[8h+h^2=h(8+h).\]

Steg 4 - Forkort

For \(h\ne0\) er brøken \(8+h\).

Steg 5 - Ta grensen

Når \(h\to0\), går \(8+h\to8\). Dette er også den deriverte av \(x^2\) i \(x=4\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Limit[((4+h)^2-4^2)/h,h,0] \(8\)

Tolkning: CAS forenkler differansekvotienten og tar grensen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp h = sp . symbols ( "h" , real = True ) numerator = sp . expand (( 4 + h ) ** 2 - 4 ** 2 ) quotient = sp . factor ( numerator / h ) limit_value = sp . limit ( quotient , h , 0 ) print ( "Expanded numerator =" , numerator ) print ( "Simplified quotient =" , quotient ) print ( "Limit as h -> 0 =" , limit_value ) x = sp . symbols ( "x" ) derivative_check = sp . diff ( x ** 2 , x ) . subs ( x , 4 ) print ( "Derivative check =" , derivative_check ) 

Utskrift fra Python: Expanded numerator = h**2 + 8*h Simplified quotient = h + 8 Limit as h -> 0 = 8 Derivative check = 8

Fasit: Grenseverdien er \(8\).

Vanlig feil: Å sette \(h=0\) før brøken er forkortet. Sensorpunkt: Den algebraiske forkortingen og grenseovergangen må vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3 Logaritmer og sammenlikning

Oppgave 3

Oppgave: Hvilke av tallene er mindre enn 10? \[\sqrt[3]{11},\qquad10\lg9,\qquad5\ln9.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere hvert tall ved hjelp av monotoni og enkle kjente grenser.

Steg 1 - Kubikkroten

Siden \(11<1000=10^3\), er \(\sqrt[3]{11}<10\).

Steg 2 - Tierlogaritmen

Siden \(9<10\), er \(\lg9<1\), og derfor \(10\lg9<10\).

Steg 3 - Naturlig logaritme

\(5\ln9=10\ln3\). Fordi \(3>e\), er \(\ln3>1\), og uttrykket er større enn 10.

Steg 4 - Numerisk kontroll

Tallene er omtrent \(2.224\), \(9.542\) og \(10.986\).

Steg 5 - Konklusjon

De to første er mindre enn 10. Det siste er større enn 10.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Numeric({11^(1/3),10*log(10,9),5*ln(9)}) \(2.224,\ 9.542,\ 10.986\)

Tolkning: Numeriske verdier bekrefter ulikhetsargumentene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp values = [ sp . real_root ( 11 , 3 ), 10 * sp . log ( 9 , 10 ), 5 * sp . log ( 9 )] labels = [ "cube root of 11" , "10*lg(9)" , "5*ln(9)" ] for label , value in zip ( labels , values ): numeric = sp . N ( value , 12 ) print ( label , "=" , numeric ) print ( "less than 10:" , bool ( numeric < 10 )) print ( "11 < 10^3:" , 11 < 10 ** 3 ) print ( "ln(3) > 1:" , bool ( sp . N ( sp . log ( 3 )) > 1 )) 

Utskrift fra Python: cube root of 11 = 2.22398009057 less than 10: True 10*lg(9) = 9.54242509439 less than 10: True 5*ln(9) = 10.9861228867 less than 10: False 11 < 10^3: True ln(3) > 1: True

Fasit: \(\sqrt[3]{11}\) og \(10\lg9\) er mindre enn 10.

Vanlig feil: Å lese \(10\lg9\) som \(10^{\lg9}\). Sensorpunkt: Hvert tall skal begrunnes separat. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4a Vektorer og rett vinkel

Oppgave 4a

Oppgave: Punktene er \(A(1,1)\), \(B(9,7)\) og \(P(5,9)\). Vis at \(\angle APB=90^{\circ}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke skalarproduktet mellom vektorene fra P til A og B.

Steg 1 - Vektorene

\[\overrightarrow{PA}=(-4,-8),\qquad\overrightarrow{PB}=(4,-2).\]

Steg 2 - Skalarprodukt

\[(-4)\cdot4+(-8)\cdot(-2)=-16+16=0.\]

Steg 3 - Tolkning

To ikke-null vektorer med skalarprodukt 0 står vinkelrett.

Steg 4 - Konklusjon

Dermed er vinkelen mellom \(PA\) og \(PB\) lik \(90^{\circ}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Vector[(5,9),(1,1)] * Vector[(5,9),(9,7)] \(0\)

Tolkning: Null skalarprodukt viser at vektorene er ortogonale.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp A = sp . Matrix ([ 1 , 1 ]) B = sp . Matrix ([ 9 , 7 ]) P = sp . Matrix ([ 5 , 9 ]) PA = A - P PB = B - P dot_product = PA . dot ( PB ) print ( "PA =" , tuple ( PA )) print ( "PB =" , tuple ( PB )) print ( "PA dot PB =" , dot_product ) print ( "Right angle:" , dot_product == 0 ) print ( "Length PA =" , sp . sqrt ( PA . dot ( PA ))) print ( "Length PB =" , sp . sqrt ( PB . dot ( PB ))) 

Utskrift fra Python: PA = (-4, -8) PB = (4, -2) PA dot PB = 0 Right angle: True Length PA = 4*sqrt(5) Length PB = 2*sqrt(5)

Fasit: \(\angle APB=90^{\circ}\).

Vanlig feil: Å bruke vektorer med ulike startpunkter. Sensorpunkt: Korrekte vektorer, skalarprodukt og konklusjon. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4b Parameterframstilling og sirkelgeometri

Oppgave 4b

Oppgave: Linjen \(\ell\) er parallell med \(AB\) og går gjennom \(P\). Finn det andre punktet \(Q\) på \(\ell\) slik at \(\angle AQB=90^{\circ}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal parameterframstille linjen og kreve at vektorene fra Q til A og B er ortogonale. …