Matematikk R1 Eksamen høsten 2022 (K06) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - høsten 2022, K06 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon av potens og logaritme

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver \[f(x)=2x^3-\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere hvert ledd og samtidig huske at logaritmen krever \(x>0\).

Steg 1 - Definisjonsmengde

Siden \(\ln x\) inngår, er funksjonen definert bare for \(x>0\).

Steg 2 - Deriver potensleddet

Potensregelen gir \((2x^3)\prime=2\cdot3x^2=6x^2\).

Steg 3 - Deriver logaritmen

Vi bruker \((\ln x)\prime=1/x\). Minustegnet foran logaritmen beholdes.

Steg 4 - Samle resultatet

Dermed får vi \[f\prime(x)=6x^2-\frac1x.\]

Steg 5 - Kontroll

Uttrykket kan også skrives \(f\prime(x)=(6x^3-1)/x\), men den første formen viser reglene tydeligst.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Derivative[2x^3-ln(x)] \(6x^2-1/x\)

Tolkning: CAS bruker potensregelen og logaritmeregelen leddvis.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) f = 2 * x ** 3 - sp . log ( x ) f_prime = sp . diff ( f , x ) expected = 6 * x ** 2 - 1 / x print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( f_prime - expected )) print ( "Domain: x > 0" ) 

Utskrift fra Python: f(x) = 2*x**3 - log(x) f'(x) = 6*x**2 - 1/x Expected = 6*x**2 - 1/x Difference = 0 Domain: x > 0

Fasit: \(f\prime(x)=6x^2-\dfrac1x\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å glemme minustegnet foran \(1/x\). Sensorpunkt: Korrekt bruk av begge derivasjonsreglene og riktig domene. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver \[g(x)=x\,e^{-2x^2}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt, og eksponenten \(-2x^2\) krever kjerneregelen.

Steg 1 - Del opp produktet

Sett \(u(x)=x\) og \(v(x)=e^{-2x^2}\). Da er \(g=uv\).

Steg 2 - Deriver første faktor

Vi har \(u\prime(x)=1\).

Steg 3 - Deriver eksponentialfaktoren

Kjerneregelen gir \[v\prime(x)=e^{-2x^2}\cdot(-4x).\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[g\prime=u\prime v+uv\prime=e^{-2x^2}-4x^2e^{-2x^2}.\]

Steg 5 - Faktoriser

Trekk ut \(e^{-2x^2}\): \[g\prime(x)=(1-4x^2)e^{-2x^2}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Derivative[x*exp(-2x^2)] \((1-4x^2)e^{-2x^2}\)

Tolkning: Produktregel og kjerneregel gir samme faktoriserte uttrykk.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) g = x * sp . exp ( - 2 * x ** 2 ) g_prime = sp . diff ( g , x ) expected = ( 1 - 4 * x ** 2 ) * sp . exp ( - 2 * x ** 2 ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , sp . factor ( g_prime )) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( g_prime - expected )) print ( "Check at x=1/2:" , sp . simplify ( g_prime . subs ( x , sp . Rational ( 1 , 2 )))) 

Utskrift fra Python: g(x) = x*exp(-2*x**2) g'(x) = -(2*x - 1)*(2*x + 1)*exp(-2*x**2) Expected = (1 - 4*x**2)*exp(-2*x**2) Difference = 0 Check at x=1/2: 0

Fasit: \(g\prime(x)=(1-4x^2)e^{-2x^2}\).

Vanlig feil: Å derivere \(e^{-2x^2}\) som bare \(e^{-2x^2}\). Sensorpunkt: Både produktregelen og den indre deriverte \(-4x\) må være synlige. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Kvotient og eksponentialfunksjon

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver \[h(x)=\frac{2x+2}{e^x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kan enten bruke kvotientregelen eller skrive funksjonen som et produkt med \(e^{-x}\).

Steg 1 - Skriv om

\[h(x)=(2x+2)e^{-x}.\]

Steg 2 - Deriver faktorene

Den deriverte av \(2x+2\) er \(2\), og \((e^{-x})\prime=-e^{-x}\).

Steg 3 - Produktregelen

\[h\prime=2e^{-x}-(2x+2)e^{-x}.\]

Steg 4 - Forenkle

\[h\prime=(2-2x-2)e^{-x}=-2xe^{-x}.\]

Steg 5 - Skriv som brøk

Siden \(e^{-x}=1/e^x\), får vi \[h\prime(x)=-\frac{2x}{e^x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Derivative[(2x+2)/exp(x)] \(-2x/e^x\)

Tolkning: Omskriving til produkt gjør fortegnet og forenklingen tydelig.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) h = ( 2 * x + 2 ) / sp . exp ( x ) h_prime = sp . diff ( h , x ) expected = - 2 * x / sp . exp ( x ) print ( "h(x) =" , h ) print ( "h'(x) =" , sp . simplify ( h_prime )) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( h_prime - expected )) print ( "h'(0) =" , h_prime . subs ( x , 0 )) 

Utskrift fra Python: h(x) = (2*x + 2)*exp(-x) h'(x) = -2*x*exp(-x) Expected = -2*x*exp(-x) Difference = 0 h'(0) = 0

Fasit: \(h\prime(x)=-\dfrac{2x}{e^x}\).

Vanlig feil: Å glemme at den deriverte av \(e^{-x}\) har et minustegn. Sensorpunkt: Et fullstendig produktregelsteg og korrekt forenkling. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Eksponentiallikning med substitusjon

Oppgave 2a

Oppgave: Løs likningen \[100^x+10=11\cdot10^x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oppdage at \(100^x=(10^x)^2\), slik at likningen blir en andregradslikning.

Steg 1 - Omskriv potensen

\[100^x=(10^2)^x=10^{2x}=(10^x)^2.\]

Steg 2 - Substituer

Sett \(u=10^x\). Da er \(u>0\), og likningen blir \[u^2+10=11u.\]

Steg 3 - Samle på én side

\[u^2-11u+10=0.\]

Steg 4 - Faktoriser

\[(u-1)(u-10)=0,\] altså \(u=1\) eller \(u=10\).

Steg 5 - Gå tilbake til x

\(10^x=1\) gir \(x=0\), og \(10^x=10\) gir \(x=1\).

Steg 6 - Kontroller

Begge verdiene oppfyller den opprinnelige likningen.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Solve[100^x+10=11*10^x] \(x=0\) eller \(x=1\)

Tolkning: CAS bekrefter de to eksakte løsningene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x , u = sp . symbols ( "x u" , real = True ) quadratic = u ** 2 - 11 * u + 10 u_roots = sp . solve ( quadratic , u ) x_roots = [ sp . log ( root , 10 ) for root in u_roots ] print ( "Quadratic =" , sp . factor ( quadratic )) print ( "u-roots =" , u_roots ) print ( "x-roots =" , x_roots ) for value in [ 0 , 1 ]: lhs = 100 ** value + 10 rhs = 11 * 10 ** value print ( f "x= { value } : lhs= { lhs } , rhs= { rhs } , equal= { lhs == rhs } " ) 

Utskrift fra Python: Quadratic = (u - 10)*(u - 1) u-roots = [1, 10] x-roots = [0, 1] x=0: lhs=11, rhs=11, equal=True x=1: lhs=110, rhs=110, equal=True

Fasit: \(x=0\) eller \(x=1\).

Vanlig feil: Å behandle \(100^x\) som \(100x\). Sensorpunkt: Substitusjonen \(u=10^x\), begge røttene og tilbakeføring til \(x\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Logaritmelikning

Oppgave 2b

Oppgave: Løs likningen \[\lg x=\lg6-2\lg3+\lg2.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal samle høyresiden til én logaritme og bruke at \(\lg\) er én-til-én for positive tall.

Steg 1 - Domene

Vi må ha \(x>0\).

Steg 2 - Potensregelen

\[2\lg3=\lg(3^2)=\lg9.\]

Steg 3 - Produkt- og kvotientregelen

\[\lg6-\lg9+\lg2=\lg\!\left(\frac{6\cdot2}{9}\right).\]

Steg 4 - Forenkle argumentet

\[\frac{12}{9}=\frac43.\] Dermed er \(\lg x=\lg(4/3)\).

Steg 5 - Sammenlign argumentene

Siden begge argumentene er positive, får vi \[x=\frac43.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS/grafikk 1 Solve[log(10,x)=log(10,6)-2log(10,3)+log(10,2)] \(x=4/3\)

Tolkning: Logaritmereglene samler høyresiden til \(\lg(4/3)\).

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) rhs_argument = sp . simplify ( sp . Rational ( 6 ) * 2 / 3 ** 2 ) solution = rhs_argument left = sp . log ( solution , 10 ) right = sp . log ( 6 , 10 ) - 2 * sp . log ( 3 , 10 ) + sp . log ( 2 , 10 ) print ( "Combined argument =" , rhs_argument ) print ( "Solution x =" , solution ) print ( "Left side =" , left ) print ( "Right side =" , sp . simplify ( right )) print ( "Difference =" , sp . simplify ( left - right )) 

Utskrift fra Python: Combined argument = 4/3 Solution x = 4/3 Left side = log(4/3)/log(10) Right side = log((4/3)**(1/log(10))) Difference = 0

Fasit: \(x=\dfrac43\).

Vanlig feil: Å glemme at koeffisienten 2 blir en eksponent på 3. Sensorpunkt: Korrekt bruk av logaritmereglene og oppgitt domene \(x>0\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3 Sammenlikning uten kalkulator

Oppgave 3

Oppgave: Hvilke av tallene er mindre enn 10? Begrunn svarene. \[3\sqrt{11},\qquad10\lg9,\qquad5\ln9.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må sammenlikne hvert uttrykk med 10 ved hjelp av monotoni og enkle ulikheter.

Steg 1 - Tallet 3√11

Begge sider er positive. Vi kan derfor kvadrere: \[(3\sqrt{11})^2=99<100=10^2.\] Dermed er \(3\sqrt{11}<10\).

Steg 2 - Tallet 10 lg 9

Siden \(9<10\) og \(\lg\) er voksende, er \(\lg9<\lg10=1\). Derfor \(10\lg9<10\). …