Matematikk R1 Eksamen høsten 2021 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - høsten 2021 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon av logaritme og potens

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver \[f(x)=\ln x+x^2+2.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer ledd for ledd og husker at logaritmen krever positiv x.

Steg 1 – Domene

Fordi \(\ln x\) inngår, er \(x>0\).

Steg 2 – Logaritmeleddet

\((\ln x)^\prime=1/x\).

Steg 3 – Potensleddet

\((x^2)^\prime=2x\).

Steg 4 – Konstantleddet

\(2^\prime=0\).

Steg 5 – Samle

\[f^\prime(x)=\frac1x+2x.\]

Steg 6 – Felles brøk om ønskelig

\[f^\prime(x)=\frac{1+2x^2}{x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[ln(x)+x^2+2] \(1/x+2x\)

Tolkning: CAS bruker den deriverte av ln(x) og potensregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) f = sp . log ( x ) + x ** 2 + 2 f_prime = sp . diff ( f , x ) expected = 1 / x + 2 * x print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( f_prime - expected )) print ( "Domain: x > 0" ) 

Utskrift fra Python: f(x) = x**2 + log(x) + 2 f'(x) = 2*x + 1/x Expected = 2*x + 1/x Difference = 0 Domain: x > 0

Fasit: \(f^\prime(x)=\dfrac1x+2x\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å skrive den deriverte av \(\ln x\) som \(\ln x\). Sensorpunkt: Riktig derivasjon og korrekt domene må være med. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Kjerneregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver \[g(x)=(x^2+2)^7.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er en sammensatt potensfunksjon, så vi bruker kjerneregelen.

Steg 1 – Ytre funksjon

Den ytre funksjonen er \(u^7\), med derivert \(7u^6\).

Steg 2 – Indre funksjon

\(u=x^2+2\), slik at \(u^\prime=2x\).

Steg 3 – Kjerneregelen

\[g^\prime(x)=7(x^2+2)^6\cdot2x.\]

Steg 4 – Forenkle

\[g^\prime(x)=14x(x^2+2)^6.\]

Steg 5 – Kontrollpunkt

For \(x=0\) blir den deriverte 0, som passer med symmetrien.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[(x^2+2)^7] \(14x(x^2+2)^6\)

Tolkning: CAS viser både ytre faktor 7 og indre derivert 2x.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) g = ( x ** 2 + 2 ) ** 7 g_prime = sp . diff ( g , x ) expected = 14 * x * ( x ** 2 + 2 ) ** 6 print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , sp . factor ( g_prime )) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( g_prime - expected )) print ( "g'(0) =" , g_prime . subs ( x , 0 )) 

Utskrift fra Python: g(x) = (x**2 + 2)**7 g'(x) = 14*x*(x**2 + 2)**6 Expected = 14*x*(x**2 + 2)**6 Difference = 0 g'(0) = 0

Fasit: \(g^\prime(x)=14x(x^2+2)^6\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(2x\) fra den indre funksjonen. Sensorpunkt: Kjerneregelen skal dokumenteres eksplisitt. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver \[h(x)=3x\,e^{2x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Her må produktregelen kombineres med kjerneregelen for eksponentialfunksjonen.

Steg 1 – Velg faktorer

Sett \(u=3x\) og \(v=e^{2x}\).

Steg 2 – Deriver faktorene

\(u^\prime=3\) og \(v^\prime=2e^{2x}\).

Steg 3 – Produktregelen

\[h^\prime=u^\prime v+uv^\prime.\]

Steg 4 – Sett inn

\[h^\prime(x)=3e^{2x}+3x\cdot2e^{2x}.\]

Steg 5 – Faktoriser

\[h^\prime(x)=3e^{2x}(1+2x).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[3x exp(2x)] \(3e^{2x}(2x+1)\)

Tolkning: Produktregelen og den indre faktoren 2 er med.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) h = 3 * x * sp . exp ( 2 * x ) h_prime = sp . diff ( h , x ) expected = 3 * sp . exp ( 2 * x ) * ( 1 + 2 * x ) print ( "h(x) =" , h ) print ( "h'(x) =" , h_prime ) print ( "Factored =" , sp . factor ( h_prime )) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( h_prime - expected )) 

Utskrift fra Python: h(x) = 3*x*exp(2*x) h'(x) = 6*x*exp(2*x) + 3*exp(2*x) Factored = 3*(2*x + 1)*exp(2*x) Expected = 3*(2*x + 1)*exp(2*x) Difference = 0

Fasit: \(h^\prime(x)=3e^{2x}(1+2x)\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som produktet av de deriverte. Sensorpunkt: Både produktregel og kjerneregel må være synlige. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Forenkling av rasjonalt uttrykk

Oppgave 2a

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[\frac{2x+2}{x^2-x}-\frac{2x+2}{x^2-1}+\frac1x+\frac{x+1}{x^2+x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi faktoriserer alle nevnere, forkorter der det er lov og samler uttrykket.

Steg 1 – Faktoriser

\(x^2-x=x(x-1)\), \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), \(x^2+x=x(x+1)\).

Steg 2 – Forkort andre brøk

\[\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac2{x-1}.\]

Steg 3 – Forkort siste brøk

\[\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac1x.\]

Steg 4 – Første brøk

\[\frac{2(x+1)}{x(x-1)}.\]

Steg 5 – Samle

\[\frac{2(x+1)}{x(x-1)}-\frac2{x-1}+\frac2x.\]

Steg 6 – Felles nevner

Telleren blir \(2(x+1)-2x+2(x-1)=2x\).

Steg 7 – Forkort

\[\frac{2x}{x(x-1)}=\frac2{x-1}.\]

Steg 8 – Opprinnelig domene

\(x\neq-1,0,1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Simplify[(2x+2)/(x^2-x)-(2x+2)/(x^2-1)+1/x+(x+1)/(x^2+x)] \(2/(x-1)\)

Tolkning: CAS forenkler uttrykket, men de opprinnelige utelukkede verdiene må beholdes.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" ) expr = ( 2 * x + 2 ) / ( x ** 2 - x ) - ( 2 * x + 2 ) / ( x ** 2 - 1 ) + 1 / x + ( x + 1 ) / ( x ** 2 + x ) combined = sp . together ( expr ) simplified = sp . factor ( expr ) expected = 2 / ( x - 1 ) print ( "Original expression =" , expr ) print ( "Common-denominator form =" , combined ) print ( "Simplified =" , simplified ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( expr - expected )) print ( "Original exclusions: x != -1, 0, 1" ) 

Utskrift fra Python: Original expression = (x + 1)/(x**2 + x) + (2*x + 2)/(x**2 - x) - (2*x + 2)/(x**2 - 1) + 1/x Common-denominator form = 2*(-x*(x - 1)*(x + 1) + (x - 1)*(x**2 - 1) + (x + 1)*(x**2 - 1))/(x*(x - 1)*(x**2 - 1)) Simplified = 2/(x - 1) Expected = 2/(x - 1) Difference = 0 Original exclusions: x != -1, 0, 1

Fasit: \(\dfrac2{x-1}\), med \(x\neq-1,0,1\).

Vanlig feil: Å miste opprinnelige definisjonsbegrensninger etter forkorting. Sensorpunkt: Faktorisering, fortegn og domene må være korrekte. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Logaritmeregler

Oppgave 2b

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[\ln(4x)+3\ln\!\left(\frac x2\right)+\ln(2x^2).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker produkt-, kvotient- og potensregelen for logaritmer. Uttrykket krever \(x>0\).

Steg 1 – Utvid første logaritme

\(\ln(4x)=\ln4+\ln x\).

Steg 2 – Utvid kvotienten

\(3\ln(x/2)=3\ln x-3\ln2\).

Steg 3 – Utvid siste ledd

\(\ln(2x^2)=\ln2+2\ln x\).

Steg 4 – Samle x-ledd

\(\ln x+3\ln x+2\ln x=6\ln x\).

Steg 5 – Samle konstanter

\(\ln4-3\ln2+\ln2=2\ln2-2\ln2=0\).

Steg 6 – Konklusjon

\[6\ln x=\ln(x^6).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Expand[ln(4x)+3ln(x/2)+ln(2x^2)] \(6\ln x\)

Tolkning: Alle konstante logaritmeledd kansellerer når x>0.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) expr = sp . log ( 4 * x ) + 3 * sp . log ( x / 2 ) + sp . log ( 2 * x ** 2 ) expanded = sp . expand_log ( expr , force = True ) simplified = sp . simplify ( expanded ) print ( "Original expression =" , expr ) print ( "Expanded logarithms =" , expanded ) print ( "Simplified =" , simplified ) print ( "As one logarithm =" , sp . log ( x ** 6 )) print ( "Difference from 6*log(x) =" , sp . simplify ( simplified - 6 * sp . log ( x ))) print ( "Domain: x > 0" ) 

Utskrift fra Python: Original expression = 3*log(x/2) + log(4*x) + log(2*x**2) Expanded logarithms = 6*log(x) Simplified = 6*log(x) As one logarithm = log(x**6) Difference from 6*log(x) = 0 Domain: x > 0

Fasit: \(6\ln x=\ln(x^6)\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å bruke logaritmereglene uten å kontrollere at \(x>0\). Sensorpunkt: Kanselleringen av konstantleddene skal vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Parameterframstillinger

Oppgave 3a

Oppgave: Punktene \(A(2,2)\), \(B(6,1)\), \(C(6,5)\) og \(D(2,6)\) er gitt. Finn parameterframstillinger for linjen \(\ell\) gjennom A og C og linjen m gjennom B og D. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner en retningsvektor for hver linje ved å trekke koordinatene fra hverandre.

Steg 1 – Retning for l

\(\overrightarrow{AC}=(6-2,5-2)=(4,3)\).

Steg 2 – Parameterframstilling for l

\[\ell:\ (x,y)=(2,2)+t(4,3),\quad t\in\mathbb R.\] …