Matematikk 2P Eksamen våren 2025 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 2P

Matematikk 2P eksamen Vår 2025 – løsningsforslag

Fullstendig, originalt løsningsforslag på bokmål. Løsningene viser metode, kontroll, tolkning og vanlige feil. Del 2 dokumenterer digitale verktøy med GeoGebra CAS og Python der det er relevant.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med regning, resonnering og enkle kontrollsteg. Alle deloppgaver er skrevet på bokmål. Del 1 · Oppgave 1 prosent

Oppgave 1

Oppgave:

88 % av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse.
Det er 3 elever som ikke deltar i undersøkelsen.

Hvor mange elever er det i klassen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hele klassen når vi vet at de som ikke deltar, er resten etter at 88 % deltar.

Steg 1 — Finn prosentdelen som ikke deltar

Når 88 % deltar, er det

\[100\,\%-88\,\%=12\,\%\]

som ikke deltar.

Steg 2 — Sett opp sammenhengen

De 3 elevene utgjør altså 12 % av klassen.

\[0{,}12\cdot x=3\]

Steg 3 — Løs for hele klassen

\[x=\dfrac{3}{0{,}12}=25\]

Tolkning

Det må være 25 elever i klassen. Da deltar 22 elever, og 3 elever deltar ikke.

Vanlig feil: Å regne 88 % av 3 i stedet for å forstå at 3 elever er 12 %.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(0.12 x = 3) → \(x=25\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve x = symbols('x') print(solve(0.12*x - 3, x))

Fasit: Klassen har \(25\) elever. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a statistikk

Oppgave 2a

Oppgave:

Trine og Truls står i kø for å ta en skiheis. De teller hvor mange personer som blir med i hver av vognene som kjører forbi før det blir deres tur. Resultatet ser du nedenfor.

6  3  2  4  4  6  2  7  8  8

a) Bestem medianen og gjennomsnittet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne to mål for typisk antall personer per vogn: median og gjennomsnitt.

Steg 1 — Sorter tallene

For å finne medianen må observasjonene stå i stigende rekkefølge.

\[2,2,3,4,4,6,6,7,8,8\]

Steg 2 — Finn medianen

Det er 10 observasjoner. Medianen er gjennomsnittet av observasjon 5 og 6.

\[\dfrac{4+6}{2}=5\]

Steg 3 — Finn summen

\[6+3+2+4+4+6+2+7+8+8=50\]

Steg 4 — Finn gjennomsnittet

\[\overline{x}=\dfrac{50}{10}=5\]

Tolkning

Både medianen og gjennomsnittet er 5 personer per vogn.

Vanlig feil: Å velge ett av de to midterste tallene som median når antall observasjoner er partall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Median({6,3,2,4,4,6,2,7,8,8}) → \(5\) 2 Gjennomsnitt({6,3,2,4,4,6,2,7,8,8}) → \(5\)

💻 Python

import statistics as st x = [6,3,2,4,4,6,2,7,8,8] print(st.median(x)) print(sum(x)/len(x))

Fasit: Medianen er \(5\), og gjennomsnittet er \(5\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b kumulativ frekvens

Oppgave 2b

Oppgave:

b) Bestem den kumulative frekvensen for 6 personer, og gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Kumulativ frekvens for 6 betyr hvor mange observasjoner som er mindre enn eller lik 6.

Steg 1 — Sorter observasjonene

\[2,2,3,4,4,6,6,7,8,8\]

Steg 2 — Tell observasjoner til og med 6

Observasjonene \(2,2,3,4,4,6,6\) er mindre enn eller lik 6.

\[7 ext{ observasjoner}\]

Steg 3 — Tolk praktisk

Det betyr at 7 av de 10 vognene de observerte, hadde høyst 6 personer.

Tolkning

Den kumulative frekvensen viser hvor mange vogner som er kommet med når vi teller opp til en bestemt verdi.

Vanlig feil: Å telle bare de vognene som hadde akkurat 6 personer. Det er frekvensen for 6, ikke den kumulative frekvensen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 AntallHvis({6,3,2,4,4,6,2,7,8,8}, x <= 6) → \(7\)

💻 Python

x = [6,3,2,4,4,6,2,7,8,8] print(sum(1 for v in x if v <= 6))

Fasit: Den kumulative frekvensen for 6 personer er \(7\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 likning

Oppgave 3

Oppgave:

Lotta har kjøpt fire små og to store sekker med hundemat. Sekkene veier til sammen 44 kg. De store sekkene veier 7 kg mer enn de små.

Hvor mye veier en liten sekk, og hvor mye veier en stor sekk?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne to ukjente vekter, men vi kan uttrykke begge ved hjelp av vekten til den lille sekken.

Steg 1 — Definer ukjent

La \(x\) være vekten til en liten sekk. Da veier en stor sekk \(x+7\).

Steg 2 — Sett opp likningen

Lotta har fire små og to store sekker.

\[4x+2\left(x+7\right)=44\]

Steg 3 — Løs likningen

\[4x+2x+14=44\]

\[6x=30\]

\[x=5\]

Steg 4 — Finn vekten til stor sekk

\[x+7=5+7=12\]

Tolkning

Fire små sekker veier \(4\cdot5=20\) kg, og to store veier \(2\cdot12=24\) kg. Til sammen blir det 44 kg.

Vanlig feil: Å legge til 7 kg på totalvekten i stedet for på hver stor sekk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(4x + 2(x + 7) = 44) → \(x=5\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve x = symbols('x') print(solve(4*x + 2*(x+7) - 44, x))

Fasit: En liten sekk veier \(5 ext{ kg}\), og en stor sekk veier \(12 ext{ kg}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 geometri

Oppgave 4

Oppgave:

Et område har form som en halvsirkel med radius \(r=1{,}0 ext{ m}\). Et annet område har form som en likebeint trekant \(ABC\), der \(AB=3{,}0 ext{ m}\) og høyden \(h=1{,}0 ext{ m}\).

Gjør beregninger og avgjør hvilket av de to områdene som har størst areal, og hvilket av de to områdene som har størst omkrets.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må sammenlikne både areal og omkrets for to ulike figurer.

Skisse av figurene i oppgaven. Halvsirkelens diameter er dobbelt radiusen.

Steg 1 — Areal av halvsirkelen

En hel sirkel med radius \(1{,}0\) m har areal \(\pi r^2\). Halvsirkelen har halvparten.

\[A_{ ext{halvsirkel}}=\dfrac{\pi\cdot1^2}{2}\approx1{,}57 ext{ m}^2\]

Steg 2 — Areal av trekanten

\[A_{ ext{trekant}}=\dfrac{3{,}0\cdot1{,}0}{2}=1{,}5 ext{ m}^2\]

Halvsirkelen har derfor størst areal.

Steg 3 — Omkrets av halvsirkelen

Omkretsen er halvsirkelbuen pluss diameteren.

\[O_{ ext{halvsirkel}}=\pi\cdot1+2\cdot1=\pi+2\approx5{,}14 ext{ m}\]

Steg 4 — Omkrets av trekanten

I en likebeint trekant deler høyden grunnlinjen i to like deler. Hver halvdel er \(1{,}5\) m.

\[s=\sqrt{1{,}5^2+1^2}=\sqrt{3{,}25}\approx1{,}80\]

\[O_{ ext{trekant}}=3{,}0+2\cdot1{,}80\approx6{,}61 ext{ m}\]

Tolkning

Halvsirkelen har litt større areal, mens trekanten har klart større omkrets. …