Matematikk 2P Eksamen høsten 2022 (K06) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 2P

Matematikk 2P eksamen Høst 2022 (K06) – løsningsforslag

Komplett originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt, hver deloppgave har trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll der det passer.

Del 1: uten hjelpemidler, 8 oppgaver. Del 2: med hjelpemidler, 8 oppgaver.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Statistikk

Oppgave 1a

Oppgave:

I sommerferien liker Maia å lese bøker. Nedenfor ser du hvor mange sider hun leste hver av de 10 første dagene i ferien.

20  15  15  25  20  15  25  100  25  20

a) Bestem medianen og gjennomsnittet for datamaterialet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne både median og gjennomsnitt for de ti sidetallene.

Steg 1 — Sorter datamaterialet

\[15,15,15,20,20,20,25,25,25,100\]

Medianen finnes fra den sorterte listen.

Steg 2 — Finn medianen

Det er 10 observasjoner, så medianen er gjennomsnittet av verdi nummer 5 og 6.

\[\dfrac{20+20}{2}=20\]

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

Summen av alle observasjonene er 280.

\[\overline{x}=\dfrac{280}{10}=28\]

Tolkning

Medianen er 20 sider, mens gjennomsnittet er 28 sider per dag.

Vanlig feil: Å finne medianen uten å sortere tallene først.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Median({20,15,15,25,20,15,25,100,25,20}) → \(20\) 2 Mean({20,15,15,25,20,15,25,100,25,20}) → \(28\)

💻 Python

data = [20, 15, 15, 25, 20, 15, 25, 100, 25, 20] sortert = sorted(data) median = (sortert[4] + sortert[5]) / 2 gjennomsnitt = sum(data) / len(data) print("Sortert liste:", sortert) print("Median:", median) print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)

Output når koden kjøres:

Sortert liste: [15, 15, 15, 20, 20, 20, 25, 25, 25, 100] Median: 20.0 Gjennomsnitt: 28.0

Fasit: \(\text{median}=20\) sider og \(\text{gjennomsnitt}=28\) sider. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Statistikk

Oppgave 1b

Oppgave:

b) Hvilket av de to sentralmålene mener du best beskriver datamaterialet? Husk å begrunne svaret ditt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge det mest representative sentralmålet.

Steg 1 — Se etter avvikende observasjoner

De fleste verdiene ligger mellom 15 og 25, mens verdien 100 skiller seg kraftig ut.

Steg 2 — Vurder gjennomsnittet

Gjennomsnittet blir 28. Det er høyere enn 9 av de 10 observasjonene.

Steg 3 — Vurder medianen

Medianen 20 ligger midt i hovedgruppen av verdier.

Tolkning

Medianen beskriver datamaterialet best fordi én ekstrem verdi trekker gjennomsnittet opp.

Vanlig feil: Å velge gjennomsnitt uten å undersøke om datasettet inneholder en ekstremverdi. Fasit: Medianen beskriver datamaterialet best. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Frekvens

Oppgave 1c

Oppgave:

c) Bestem den kumulative og den relative frekvensen for 25 sider per dag. Hva forteller disse tallene oss?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne både hvor mange som er opptil 25 sider, og hvor stor andel som er nøyaktig 25 sider.

Steg 1 — Tell observasjoner lik 25

Tallet 25 forekommer 3 ganger.

\[f_{25}=3\]

Steg 2 — Finn relativ frekvens

Det er 10 observasjoner totalt.

\[\dfrac{3}{10}=0{,}30=30\,\%\]

Steg 3 — Finn kumulativ frekvens for 25

Kumulativ frekvens for 25 betyr antall observasjoner som er mindre enn eller lik 25. Alle observasjonene er \(\le 25\), bortsett fra 100. Her er de sorterte tallene \(15,15,15,20,20,20,25,25,25,100\).

\[F_{\le 25}=9\]

Tolkning

Den relative frekvensen sier at Maia leste nøyaktig 25 sider på 30 % av dagene. Den kumulative frekvensen sier at hun leste 25 sider eller mindre på 9 av 10 dager.

Vanlig feil: Å blande relativ frekvens for nøyaktig 25 med kumulativ frekvens for opptil 25.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 CountIf(x <= 25, {20,15,15,25,20,15,25,100,25,20}) → \(9\) 2 3/10 → \(0{,}30\)

💻 Python

data = [20, 15, 15, 25, 20, 15, 25, 100, 25, 20] frekvens_25 = data.count(25) relativ = frekvens_25 / len(data) kumulativ_25 = sum(1 for verdi in data if verdi <= 25) print("Frekvens for 25 sider:", frekvens_25) print("Relativ frekvens:", relativ) print("Relativ frekvens i prosent:", relativ * 100) print("Kumulativ frekvens for 25 sider:", kumulativ_25)

Output når koden kjøres:

Frekvens for 25 sider: 3 Relativ frekvens: 0.3 Relativ frekvens i prosent: 30.0 Kumulativ frekvens for 25 sider: 9

Fasit: Kumulativ frekvens er \(9\), og relativ frekvens er \(30\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Prosent

Oppgave 2

Oppgave:

Prisen for en vare ble satt opp med 1,5 %. Dette tilsvarte en prisøkning på 300 kroner.

Hvor mange kroner ville prisøkningen tilsvart dersom prisen for varen i stedet hadde blitt satt opp med 4,0 %?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor 4,0 % av den opprinnelige prisen er.

Steg 1 — Finn opprinnelig pris

Når 1,5 % tilsvarer 300 kroner, er

\[0{,}015\cdot P=300\]

\[P=\dfrac{300}{0{,}015}=20000\]

Steg 2 — Finn 4,0 % av prisen

\[0{,}04\cdot 20000=800\]

Tolkning

En prisøkning på 4,0 % ville tilsvart 800 kroner.

Vanlig feil: Å tro at 4,0 % er 4 kroner per hundrelapp uten først å finne hele prisen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 300/0.015 → \(20000\) 2 0.04*20000 → \(800\)

💻 Python

pris = 300 / 0.015 prisokning_4_prosent = 0.04 * pris print("Opprinnelig pris:", pris) print("Prisøkning ved 4,0 prosent:", prisokning_4_prosent)

Output når koden kjøres:

Opprinnelig pris: 20000.0 Prisøkning ved 4,0 prosent: 800.0

Fasit: Prisøkningen ville vært \(800\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Lineær sammenheng

Oppgave 3

Oppgave:

Den grafiske framstillingen viser sammenhengen mellom vekt og pris for to ulike typer kaffe, type A og type B.

Forenklet graf basert på oppgavefiguren. Linje A har stigningstall 22, og linje B har stigningstall 8.

Hvor stor er prisforskjellen per hektogram?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne stigningstallene til de to rette linjene.

Steg 1 — Les av stigningstallet til A

Linje A går omtrent gjennom \((0,0)\) og \((10,220)\).

\[a_A=\dfrac{220-0}{10-0}=22\]

Steg 2 — Les av stigningstallet til B

Linje B går omtrent gjennom \((0,0)\) og \((20,160)\).

\[a_B=\dfrac{160-0}{20-0}=8\]

Steg 3 — Finn forskjellen

\[22-8=14\]

Tolkning

Type A koster omtrent 14 kroner mer per hektogram enn type B.

Vanlig feil: Å sammenlikne prisene ved én vekt uten å se at spørsmålet gjelder pris per hektogram.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 (220-0)/(10-0) → \(22\) 2 (160-0)/(20-0) → \(8\) 3 22-8 → \(14\)

💻 Python

stigning_A = (220 - 0) / (10 - 0) stigning_B = (160 - 0) / (20 - 0) forskjell = stigning_A - stigning_B print("Pris per hg for A:", stigning_A) print("Pris per hg for B:", stigning_B) print("Prisforskjell per hg:", forskjell)

Output når koden kjøres:

Pris per hg for A: 22.0 Pris per hg for B: 8.0 Prisforskjell per hg: 14.0

Fasit: Prisforskjellen er omtrent \(14\) kroner per hektogram. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Store og små tall

Oppgave 4

Oppgave:

Sorter de seks tallene nedenfor i stigende rekkefølge. Start med det minste tallet.

480 millioner    \(4800\cdot10^7\)    \(0{,}048\cdot10^{-2}\)    \(0{,}48\cdot10^{10}\)    \(0{,}480\cdot10^{-5}\)    0,0048 %

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive tallene på sammenliknbar form.

Steg 1 — Skriv tallene som desimaltall

\[480\text{ millioner}=480000000\]

\[4800\cdot10^7=48000000000\]

\[0{,}048\cdot10^{-2}=0{,}00048\]

\[0{,}48\cdot10^{10}=4800000000\]

\[0{,}480\cdot10^{-5}=0{,}00000480\]

\[0{,}0048\,\%=0{,}000048\]

Steg 2 — Sorter fra minst til størst

\[0{,}00000480<0{,}000048<0{,}00048<480000000<4800000000<48000000000\]

Tolkning

Prosenttallet må deles på 100 før det sammenliknes med vanlige desimaltall. …