Matematikk 2P Eksamen våren 2024 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 2P

Matematikk 2P eksamen Vår 2024 – løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har plan, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil og kontroll med GeoGebra CAS eller Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 statistikk

Oppgave 1

Oppgave:

Nedenfor ser du hvor mange timer 10 ungdommer brukte på sosiale medier i løpet av en dag.

1  3  4  0  4  5  2  7  12  2

Bestem gjennomsnittet og medianen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et typisk nivå for tidsbruken på to måter: gjennomsnitt og median.

Steg 1 — Finn summen

Vi legger sammen alle observasjonene.

\[1+3+4+0+4+5+2+7+12+2=40\]

Steg 2 — Del på antall observasjoner

Det er \(10\) ungdommer.

\[\overline{x}=\dfrac{40}{10}=4\]

Steg 3 — Sorter tallene

For median må tallene stå i stigende rekkefølge.

\[0,1,2,2,3,4,4,5,7,12\]

Steg 4 — Finn midten

Det er et partall antall observasjoner, så medianen er gjennomsnittet av observasjon 5 og 6.

\[\dfrac{3+4}{2}=3{,}5\]

Tolkning

Gjennomsnittet er høyere enn medianen fordi én ungdom brukte hele 12 timer.

Vanlig feil: Å finne median uten å sortere tallene først.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Gjennomsnitt({1,3,4,0,4,5,2,7,12,2}) → \(4\) 2 Median({1,3,4,0,4,5,2,7,12,2}) → \(3{,}5\)

💻 Python

import statistics as st x = [1,3,4,0,4,5,2,7,12,2] print(sum(x)/len(x)) print(st.median(x))

Fasit: Gjennomsnittet er \(4\) timer, og medianen er \(3{,}5\) timer. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 KPI og prosent

Oppgave 2

Oppgave:

Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for 2015 og 2023.

År	KPI
2015	100
2023	129,6

En vare kostet 500 kroner i 2015. Hva kostet varen i 2023 dersom prisen har fulgt konsumprisindeksen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke KPI som vekstfaktor fra indeks \(100\) til indeks \(129{,}6\).

Steg 1 — Skriv vekstfaktoren

Når indeksen går fra \(100\) til \(129{,}6\), blir vekstfaktoren

\[\dfrac{129{,}6}{100}=1{,}296\]

Steg 2 — Multipliser gammel pris med vekstfaktoren

Prisen i 2015 var 500 kroner.

\[500\cdot1{,}296=648\]

Steg 3 — Vurder svaret

Indeksen har økt med \(29{,}6\,\%\), så prisen skal bli omtrent 30 prosent høyere enn 500 kroner.

Tolkning

Varen ville kostet 648 kroner dersom den fulgte KPI nøyaktig.

Vanlig feil: Å legge til \(129{,}6\,\%\) i stedet for \(29{,}6\,\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 500 * 129.6 / 100 → \(648\)

💻 Python

pris_2015 = 500 pris_2023 = pris_2015 * 129.6 / 100 print(pris_2023)

Fasit: Prisen i 2023 blir \(648\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 målestokk

Oppgave 3

Oppgave:

Astrid har funnet et gammelt kart over Oslo. Hun vil finne målestokken til kartet.

Hun bestemmer seg for å gå 300 meter langs en av de rette gatene i byen. Etterpå måler hun og finner ut at den avstanden hun har gått, tilsvarer 2 cm på kartet.

Forklar og vis Astrid hvordan hun kan finne målestokken til kartet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne kartlengde og virkelig lengde i samme enhet.

Steg 1 — Gjør om meter til centimeter

\(1\) meter er \(100\) centimeter.

\[300\text{ m}=300\cdot100\text{ cm}=30000\text{ cm}\]

Steg 2 — Skriv forholdet kart : virkelighet

På kartet er avstanden \(2\) cm.

\[2:30000\]

Steg 3 — Forkort forholdet

Vi deler begge tall på \(2\).

\[2:30000=1:15000\]

Tolkning

Målestokken betyr at \(1\) cm på kartet tilsvarer \(15000\) cm, altså \(150\) m, i virkeligheten.

Vanlig feil: Å sammenlikne centimeter på kartet med meter i virkeligheten uten å gjøre om enhetene først.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 30000 / 2 → \(15000\)

💻 Python

virkelig_cm = 300 * 100 kart_cm = 2 print(virkelig_cm // kart_cm)

Fasit: Målestokken er \(1:15000\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 likning

Oppgave 4

Oppgave:

Elevene i 2STA kjøpte 30 ispinner og 30 bokser med mineralvann til en sommeravslutning. Til sammen betalte de 900 kroner. En boks med mineralvann kostet 6 kroner mer enn en ispinne.

Hvor mye kostet en ispinne, og hvor mye kostet en boks med mineralvann?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp en likning der prisen på ispinne er ukjent.

Steg 1 — Definer ukjent

La \(x\) være prisen for én ispinne. Da koster mineralvann \(x+6\).

Steg 2 — Sett opp likningen

De kjøper 30 av hver.

\[30x+30\left(x+6\right)=900\]

Steg 3 — Løs likningen

\[30x+30x+180=900\]

\[60x=720\]

\[x=12\]

Steg 4 — Finn mineralvannprisen

\[x+6=12+6=18\]

Tolkning

Kontroll: \(30\cdot12+30\cdot18=360+540=900\).

Vanlig feil: Å bruke \(x-6\) for mineralvann selv om mineralvann er dyrere.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(30x + 30(x + 6) = 900) → \(x=12\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve x = symbols('x') print(solve(30*x + 30*(x+6) - 900, x))

Fasit: En ispinne kostet \(12\) kroner, og mineralvann kostet \(18\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 prosent

Oppgave 5

Oppgave:

Småbakst: 2 for 32 kroner eller 4 for 48 kroner.

Nora skal kjøpe bagetter.

Hvor mange prosent lavere blir prisen per bagett dersom hun kjøper fire i stedet for to?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne stykkprisene, ikke totalprisene.

Steg 1 — Finn stykkpris ved 2 for 32

\[\dfrac{32}{2}=16\]

Steg 2 — Finn stykkpris ved 4 for 48

\[\dfrac{48}{4}=12\]

Steg 3 — Finn prisnedgangen per bagett

\[16-12=4\]

Steg 4 — Regn prosentvis nedgang

Den opprinnelige stykkprisen er \(16\) kroner.

\[\dfrac{4}{16}\cdot100\,\%=25\,\%\] …