Matematikk 2P Eksamen våren 2021 (K06) – løsningsforslag

ifingo løsningsforslag

Matematikk 2P eksamen Vår 2021 (K06) – løsningsforslag

Komplett bokmålsfil med Del 1 og Del 2, trinnvise løsninger, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kjøring i nøytral terminalstil.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1 statistikk

Oppgave 1

Oppgave:

Petter har spurt 10 ungdommer hvor mange ganger de brukte elsparkesykkel i løpet av en uke. Svarene deres ser du nedenfor.

\[20\quad 17\quad 0\quad 0\quad 15\quad 13\quad 4\quad 0\quad 26\quad 0\]

Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fire statistiske mål for et lite datasett.

Steg 1 — Sorter dataene

Vi skriver observasjonene i stigende rekkefølge:

\[0,0,0,0,4,13,15,17,20,26\]

Sortering gjør median og variasjonsbredde lettere å lese av.

Steg 2 — Finn medianen

Det er ti observasjoner. Medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer 5 og 6.

\[\text{median}=\dfrac{4+13}{2}=8{,}5\]

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

\[\text{gjennomsnitt}=\dfrac{20+17+0+0+15+13+4+0+26+0}{10}=\dfrac{95}{10}=9{,}5\]

Steg 4 — Finn typetall og variasjonsbredde

Typetallet er verdien som forekommer flest ganger. Her er det \(0\), som forekommer fire ganger.

Variasjonsbredden er største verdi minus minste verdi:

\[26-0=26\]

Vanlig feil: Å ta medianen som observasjon nummer 5 alene. Når antallet observasjoner er partall, må vi bruke gjennomsnittet av de to midterste.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Median({20,17,0,0,15,13,4,0,26,0}) → \(8{,}5\) 2 Gjennomsnitt({20,17,0,0,15,13,4,0,26,0}) → \(9{,}5\) 3 Maks({20,17,0,0,15,13,4,0,26,0})-Min({20,17,0,0,15,13,4,0,26,0}) → \(26\)

Python-kjøring

import statistics data = [20, 17, 0, 0, 15, 13, 4, 0, 26, 0] sortert = sorted(data) median = statistics.median(sortert) gjennomsnitt = sum(data) / len(data) typetall = statistics.multimode(data) variasjonsbredde = max(data) - min(data) print("Sortert datasett:", sortert) print("Median:", median) print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt) print("Typetall:", typetall) print("Variasjonsbredde:", variasjonsbredde)

Sortert datasett: [0, 0, 0, 0, 4, 13, 15, 17, 20, 26] Median: 8.5 Gjennomsnitt: 9.5 Typetall: [0] Variasjonsbredde: 26

Fasit: Medianen er \(8{,}5\), gjennomsnittet er \(9{,}5\), typetallet er \(0\), og variasjonsbredden er \(26\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 standardform og prosent

Oppgave 2

Oppgave:

Start med det minste tallet, og sorter tallene i stigende rekkefølge.

\[250\ \text{millioner}\quad 2500\cdot 10^7\quad 0{,}025\cdot 10^{-2}\quad 0{,}25\cdot 10^{10}\quad 0{,}250\cdot 10^{-5}\quad 0{,}0025\ \%\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne tall som er skrevet på ulike måter. Derfor skriver vi alle som vanlige tall eller på standardform.

Steg 1 — Skriv små tall som desimaltall

\[0{,}250\cdot 10^{-5}=0{,}00000250\]

\[0{,}025\cdot 10^{-2}=0{,}00025\]

\[0{,}0025\ \%=\dfrac{0{,}0025}{100}=0{,}000025\]

Steg 2 — Skriv store tall på sammenliknbar form

\[250\ \text{millioner}=250000000=2{,}5\cdot 10^8\]

\[0{,}25\cdot 10^{10}=2{,}5\cdot 10^9\]

\[2500\cdot 10^7=2{,}5\cdot 10^{10}\]

Steg 3 — Sorter fra minst til størst

\[0{,}250\cdot 10^{-5}<0{,}0025\ \%<0{,}025\cdot 10^{-2}<250\ \text{millioner}<0{,}25\cdot 10^{10}<2500\cdot 10^7\]

Vanlig feil: Å glemme at prosent betyr hundredeler. Derfor er \(0{,}0025\ \%\) ikke det samme som \(0{,}0025\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Sorter({250000000,2500*10^7,0.025*10^(-2),0.25*10^10,0.250*10^(-5),0.0025/100}) → \(0{,}0000025,0{,}000025,0{,}00025,250000000,2500000000,25000000000\)

Python-kjøring

tall = { "250 millioner": 250_000_000, "2500*10^7": 2500 * 10**7, "0,025*10^(-2)": 0.025 * 10**(-2), "0,25*10^10": 0.25 * 10**10, "0,250*10^(-5)": 0.250 * 10**(-5), "0,0025 prosent": 0.0025 / 100, } for navn, verdi in sorted(tall.items(), key=lambda element: element[1]): print(f"{navn:18s} = {verdi:.10g}")

0,250*10^(-5) = 2.5e-06 0,0025 prosent = 2.5e-05 0,025*10^(-2) = 0.00025 250 millioner = 250000000 0,25*10^10 = 2500000000 2500*10^7 = 25000000000

Fasit: Rekkefølgen er \(0{,}250\cdot 10^{-5}\), \(0{,}0025\ \%\), \(0{,}025\cdot 10^{-2}\), 250 millioner, \(0{,}25\cdot 10^{10}\), \(2500\cdot 10^7\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3 prosent

Oppgave 3

Oppgave:

Prisen for en vare ble satt ned med \(10\ \%\) og deretter med \(20\ \%\). Nå koster varen 720 kroner.

Hva kostet varen før prisen ble satt ned første gang?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner prisen etter to prosentvise nedslag og skal finne startprisen.

Steg 1 — Finn vekstfaktorene

Nedgang på \(10\ \%\) gir vekstfaktor \(0{,}90\), og nedgang på \(20\ \%\) gir vekstfaktor \(0{,}80\).

Steg 2 — Sett opp likning

La \(x\) være prisen før første prisnedslag.

\[x\cdot 0{,}90\cdot 0{,}80=720\]

Steg 3 — Løs likningen

\[x=\dfrac{720}{0{,}90\cdot 0{,}80}=\dfrac{720}{0{,}72}=1000\]

Tolkning

Varen kostet 1000 kroner før prisen ble satt ned første gang.

Vanlig feil: Å legge sammen prosentene og bruke \(30\ \%\) direkte. To prosentvise endringer etter hverandre skal multipliseres med vekstfaktorer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 720/(0.90*0.80) → \(1000\)

Python-kjøring

sluttpris = 720 faktor_1 = 0.90 faktor_2 = 0.80 startpris = sluttpris / (faktor_1 * faktor_2) print("Sluttpris:", sluttpris) print("Samlet vekstfaktor:", faktor_1 * faktor_2) print("Startpris:", startpris)

Sluttpris: 720 Samlet vekstfaktor: 0.7200000000000001 Startpris: 999.9999999999999

Fasit: Varen kostet \(1000\) kroner før første prisnedslag. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4a–b funksjoner og ulikhet

Oppgave 4a–b

Oppgave:

En skoleklasse skal ha våravslutning. Elevene i klassen må selv dekke utgiftene. De får tilbud om å leie et lokale for 3000 kroner. I tillegg vil maten koste 100 kroner per elev.

a) Sett opp et uttrykk som viser prisen hver elev må betale.

«Jeg håper det kommer så mange at prisen per elev blir mindre enn 130 kroner», sier Astrid.

b) Gjør beregninger og kommenter Astrids utsagn.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et uttrykk for pris per elev og undersøke når prisen blir under 130 kroner.

Steg 1 — Definer variabel

La \(x\) være antall elever som deltar.

Steg 2 — Sett opp uttrykket

Leieprisen på 3000 kroner deles på \(x\) elever, mens maten koster 100 kroner per elev.

\[P(x)=\dfrac{3000}{x}+100\]

Steg 3 — Undersøk Astrids utsagn

Vi vil ha

\[\dfrac{3000}{x}+100<130\]

\[\dfrac{3000}{x}<30\]

\[x>100\]

Tolkning

Det må komme mer enn 100 elever for at prisen per elev skal bli under 130 kroner. Det er svært lite realistisk for én skoleklasse. …