Matematikk 2P Eksamen våren 2023 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · offisiell eksamen

Matematikk 2P eksamen Vår 2023 – løsningsforslag

Fullstendig, originalt løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har transkribert oppgavetekst, plan, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll der det passer.

MAT1023 Matematikk 2P LK20 Vår 2023 4 + 7 oppgaver CAS + Python kontroll

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med håndregning, graflesing og korte argumenter.

Del 1 · Oppgave 1a prosent og indeks

Oppgave 1a

Oppgave:

Tabellen nedenfor viser prisindeksen for brød i perioden 2015-2021.

År	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
Prisindeks for brød	100,0	102,5	104,5	107,3	109,2	111,8	113,3

a) Hvor mange prosent steg prisen for brød med fra 2015 til 2021?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke en indeks der 2015 er basisåret med indeks 100.

Steg 1 - Les av start- og sluttindeks

I 2015 er indeksen \(100{,}0\). I 2021 er indeksen \(113{,}3\).

Steg 2 - Bruk prosentvis endring

\[\dfrac{113{,}3-100{,}0}{100{,}0}\cdot100\ \% =13{,}3\ \%\]

Vi sammenlikner økningen med startverdien.

Steg 3 - Tolk indeksen

Indeks \(113{,}3\) betyr at prisnivået er \(13{,}3\ \%\) høyere enn i basisåret.

Tolkning

Brødprisene steg med litt over tretten prosent fra 2015 til 2021.

Vanlig feil: Å svare \(113{,}3\ \%\). Det er ikke økningen, men sluttindeksen relativt til basisåret.

Kontroll

GeoGebra · CAS 1 (113.3-100)/100*100 → \(13{,}3\)

💻 Python

increase = (113.3 - 100.0)/100.0*100 print(increase)

Fasit: Prisen for brød steg med \(13{,}3\ \%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b prosent og indeks

Oppgave 1b

Oppgave:

Prisen for ett bestemt brød steg fra 40 kroner i 2017 til 42 kroner i 2019.

b) Gjør beregninger og finn ut om prisen for dette brødet steg mer enn prisindeksen for brød.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne prosentvis prisøkning for ett brød med prosentvis økning i prisindeksen fra 2017 til 2019.

Steg 1 - Finn prosentøkningen for brødet

\[\dfrac{42-40}{40}\cdot100\ \%=5\ \%\]

Prisen økte med 2 kroner fra 40 kroner.

Steg 2 - Finn prosentøkningen for indeksen

Indeksen gikk fra \(104{,}5\) i 2017 til \(109{,}2\) i 2019.

\[\dfrac{109{,}2-104{,}5}{104{,}5}\cdot100\ \%\approx4{,}5\ \%\]

Steg 3 - Sammenlikn

\(5\ \%\) er større enn omtrent \(4{,}5\ \%\).

Tolkning

Dette bestemte brødet steg litt mer i pris enn prisindeksen for brød i samme periode.

Vanlig feil: Å sammenlikne indeksdifferansen \(4{,}7\) direkte med kroner eller prosent. Indeksen må regnes om til prosentvis endring.

Kontroll

GeoGebra · CAS 1 (42-40)/40*100 → \(5\) 2 (109.2-104.5)/104.5*100 → \(4{,}50\)

💻 Python

bread = (42-40)/40*100 index = (109.2-104.5)/104.5*100 print(round(bread, 2), round(index, 2))

Fasit: Ja. Brødet steg med \(5\ \%\), mens indeksen steg med omtrent \(4{,}5\ \%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 formlikhet og areal

Oppgave 2

Oppgave:

Du får vite følgende om \(\triangle ABC\) og \(\triangle DEF\)

• \(\triangle ABC\) er likebeint
• \(\triangle DEF\) er formlik med \(\triangle ABC\)
• Arealet av \(\triangle DEF\) er fire ganger så stort som arealet av \(\triangle ABC\)

Lag en skisse som viser hvordan trekantene kan se ut. Argumenter for at skissen er riktig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en mulig skisse og begrunne den med forholdet mellom lengder og arealer.

Skissen viser en mulig løsning: alle lengder i den store trekanten er dobbelt så store som i den lille.

Steg 1 - Bruk at trekantene er formlike

Formlike trekanter har samme vinkler og samme form. Derfor kan \(\triangle DEF\) være en forstørret kopi av \(\triangle ABC\).

Steg 2 - Knytt arealforhold til lengdeforhold

Når alle lengder multipliseres med en faktor \(k\), multipliseres arealet med \(k^2\).

Her er arealforholdet \(4\), så

\[k^2=4\]

\[k=2\]

Steg 3 - Lag en konkret skisse

En riktig skisse kan vise en likebeint trekant og en annen likebeint trekant der alle sider er dobbelt så lange.

Tolkning

Den store trekanten får fire ganger så stort areal fordi både grunnlinje og høyde blir dobbelt så store.

Vanlig feil: Å gjøre sidene fire ganger så lange. Da blir arealet \(4^2=16\) ganger så stort.

Kontroll

GeoGebra · CAS 1 sqrt(4) → \(2\) 2 (2*b*2*h/2)/(b*h/2) → \(4\)

💻 Python

k = 2 area_factor = k**2 print(area_factor)

Fasit: En riktig skisse er to formlike likebeinte trekanter der \(\triangle DEF\) har dobbelt så lange sider som \(\triangle ABC\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 nominell lønn og reallønn

Oppgave 3

Oppgave:

Truls og Thea diskuterer økonomi.

Truls sier: «I løpet av de seks siste årene har lønnen min økt med 16 %. Er ikke det bra?»

Thea spør: «Er det den nominelle lønnen eller reallønnen du mener?»

Truls svarer: «Hva mener du? Hva er reallønn?»

Hjelp Thea med å svare Truls og forklare hva han må ta hensyn til når han vurderer om han skal være fornøyd med hvor mye lønnen har økt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare forskjellen på nominell lønn og reallønn og bruke dette til å vurdere lønnsøkningen.

Steg 1 - Forklar nominell lønn

Nominell lønn er lønnen målt i kroner. Hvis lønnen har økt med \(16\ \%\), har kronebeløpet økt med \(16\ \%\).

Steg 2 - Forklar reallønn

Reallønn handler om kjøpekraft: hvor mye varer og tjenester lønnen faktisk kan kjøpe. …