Matematikk 2P Eksamen våren 2018 (K06) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 2P

Matematikk 2P eksamen Vår 2018 (K06) – løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Løsningene viser metode, mellomregning, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll med realistisk terminaloutput.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 · 3 poeng Statistikk

Oppgave 1

Oppgave:

Markus og vennene hans spiller kort. Tabellen viser poengsummene Markus fikk i de siste åtte rundene: 20, -15, 5, 15, -8, -3, -24 og 30. Bestem variasjonsbredden og gjennomsnittet for poengsummene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne spredningen fra laveste til høyeste poengsum og den gjennomsnittlige poengsummen.

Steg 1 — Finn minste og største verdi

Laveste poengsum er \(-24\), og høyeste poengsum er \(30\).

Steg 2 — Regn variasjonsbredden

\[30-(-24)=54\]

Variasjonsbredden viser avstanden mellom laveste og høyeste verdi.

Steg 3 — Finn summen

\[20-15+5+15-8-3-24+30=20\]

Steg 4 — Del på antall runder

\[\dfrac{20}{8}=2{,}5\]

Tolkning

Markus hadde i gjennomsnitt 2,5 poeng per runde, selv om poengene varierte mye.

Vanlig feil: Å regne variasjonsbredden som \(30-24\). Den laveste verdien er \(-24\), så vi må trekke fra et negativt tall.

Python

poeng = [20, -15, 5, 15, -8, -3, -24, 30] minste = min(poeng) storste = max(poeng) variasjonsbredde = storste - minste gjennomsnitt = sum(poeng) / len(poeng) print("Poengsummer:", poeng) print("Minste verdi:", minste) print("Største verdi:", storste) print("Variasjonsbredde:", variasjonsbredde) print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)

Output

Poengsummer: [20, -15, 5, 15, -8, -3, -24, 30] Minste verdi: -24 Største verdi: 30 Variasjonsbredde: 54 Gjennomsnitt: 2.5

Fasit: Variasjonsbredden er \(54\), og gjennomsnittet er \(2{,}5\) poeng. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 · 2 poeng Standardform

Oppgave 2

Oppgave:

I en kjøkkensvamp er det 40 milliarder bakterier per kubikkcentimeter. Svampen har et volum på 0,15 dm3. Hvor mange bakterier er det i hele svampen? Skriv svaret på standardform.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal multiplisere bakterietetthet med volum, men først må volumet gjøres om til kubikkcentimeter.

Steg 1 — Gjør om volumet

\[1\textext{ dm}^3=1000\textext{ cm}^3\]

\[0{,}15\textext{ dm}^3=150\textext{ cm}^3\]

Steg 2 — Skriv bakterietallet per kubikkcentimeter

40 milliarder er

\[40\cdot 10^9=4{,}0\cdot 10^{10}\]

Steg 3 — Multipliser

\[150\cdot 4{,}0\cdot 10^{10}=600\cdot 10^{10}=6{,}0\cdot 10^{12}\]

Tolkning

Det er omtrent seks billioner bakterier i hele svampen.

Vanlig feil: Å bruke \(0{,}15\) direkte som kubikkcentimeter. Volumet må først gjøres om fra \(\textext{dm}^3\) til \(\textext{cm}^3\).

Python

bakterier_per_cm3 = 40e9 volum_dm3 = 0.15 volum_cm3 = volum_dm3 * 1000 totalt = bakterier_per_cm3 * volum_cm3 print("Volum i cm^3:", volum_cm3) print("Totalt antall bakterier:", totalt) print("På standardform: {:.1e}".format(totalt))

Output

Volum i cm^3: 150.0 Totalt antall bakterier: 6000000000000.0 På standardform: 6.0e+12

Fasit: Antall bakterier er \(6{,}0\cdot 10^{12}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a · 5 poeng Frekvenstabell

Oppgave 3a

Oppgave:

Et år deltok 1000 personer i en undersøkelse av BMI. Tabellen har intervallene [17,18,5), [18,5,25), [25,30) og [30,32). Noen celler mangler. Tegn av tabellen, og fyll inn tallene som mangler.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal fylle ut frekvens, kumulativ frekvens, relativ frekvens og kumulativ relativ frekvens.

Steg 1 — Bruk at totalen er 1000

Relativ frekvens er frekvens delt på 1000.

Steg 2 — Finn frekvensene

Første rad har frekvens 20. Andre rad har kumulativ frekvens 520, derfor er frekvensen \(520-20=500\). Tredje rad har relativ frekvens 0,4, derfor er frekvensen 400. Siste rad har frekvens 80.

Steg 3 — Fullfør tabellen

Utfylt tabell for 1000 personer. Relative frekvenser er skrevet som desimaltall.

Tolkning

Tabellen viser både hvor mange personer som ligger i hvert BMI-intervall, og hvor stor del av gruppen dette utgjør.

Vanlig feil: Å blande relativ frekvens og kumulativ relativ frekvens. Relativ frekvens gjelder én rad, mens kumulativ relativ frekvens gjelder denne raden og alle radene over.

Python

frekvenser = [20, 500, 400, 80] total = sum(frekvenser) kumulativ = [] sum_hittil = 0 for f in frekvenser: sum_hittil += f kumulativ.append(sum_hittil) print("Total:", total) print("Frekvens | Kumulativ | Relativ | Kumulativ relativ") for f, k in zip(frekvenser, kumulativ): print(f"{f:8d} | {k:10d} | {f/total:7.2f} | {k/total:17.2f}")

Output

Total: 1000 Frekvens | Kumulativ | Relativ | Kumulativ relativ 20 | 20 | 0.02 | 0.02 500 | 520 | 0.50 | 0.52 400 | 920 | 0.40 | 0.92 80 | 1000 | 0.08 | 1.00

Fasit: Tabellen fylles ut med frekvensene \(20,500,400,80\), kumulative frekvenser \(20,520,920,1000\), relative frekvenser \(0{,}02,0{,}50,0{,}40,0{,}08\) og kumulative relative frekvenser \(0{,}02,0{,}52,0{,}92,1{,}00\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b-c Statistisk tolkning

Oppgave 3b-c

Oppgave:

b) Forklar hva hvert av tallene i de grå cellene forteller om personene som deltok i undersøkelsen. c) Forklar hvordan vi kan se at medianen ligger i kategorien «Normal vekt».

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke tallene i tabellen og bruke kumulativ frekvens til å plassere medianen.

Steg 1 — Tolk frekvensen 20

Det betyr at 20 personer hadde BMI i intervallet \([17,18{,}5)\). …