Matematikk 2P Eksamen høsten 2024 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 2P · LK20

Matematikk 2P eksamen Høst 2024 - løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra Udir-settet og løst med trinnvis regning, tolkning, vanlige feil og digital kontroll der det passer.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 løses med skriftlig regning, prosent, statistikk, formforståelse og enkel programforståelse.

Del 1 · Oppgave 1 Målestokk

Oppgave 1

Oppgave:

På et kart er avstanden mellom to byer \(10\ \text{cm}\). I virkeligheten er denne avstanden \(5\ \text{km}\). Bestem målestokken til kartet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne kartavstand og virkelig avstand i samme enhet.

Steg 1 — Gjør om til centimeter

\[5\ \text{km}=5000\ \text{m}=500000\ \text{cm}\]

Steg 2 — Skriv forholdet

\[10:500000\]

Dette er kartavstand : virkelig avstand.

Steg 3 — Forkort

\[10:500000=1:50000\]

Tolkning

\(1\ \text{cm}\) på kartet svarer til \(50000\ \text{cm}=500\ \text{m}\) i virkeligheten.

Vanlig feil: Å sammenlikne centimeter og kilometer direkte uten enhetsomgjøring.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 500000 / 10 → \(50000\)

💻 Python

print(500000/10)

Fasit: \(1:50000\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Statistikk

Oppgave 2a

Oppgave:

Lars arbeider i en butikk etter skoletid og i helgene. Nedenfor ser du hvor mange timer han har arbeidet hver av de 10 siste dagene: \(3,3,4,5,6,8,0,3,5,5\). Bestem gjennomsnittet og medianen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne to sentralmål: gjennomsnitt og median.

Steg 1 — Summer timene

\[3+3+4+5+6+8+0+3+5+5=42\]

Steg 2 — Finn gjennomsnitt

\[\bar{x}=\dfrac{42}{10}=4{,}2\]

Steg 3 — Sorter tallene

\[0,3,3,3,4,5,5,5,6,8\]

Steg 4 — Finn median

\[\text{median}=\dfrac{4+5}{2}=4{,}5\]

Tolkning

Lars arbeidet i gjennomsnitt \(4{,}2\) timer per dag. Halvparten av dagene ligger på eller under medianen \(4{,}5\) timer.

Vanlig feil: Å finne medianen uten å sortere datamaterialet først.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Gjennomsnitt({3,3,4,5,6,8,0,3,5,5}) → \(4{,}2\) 2 Median({3,3,4,5,6,8,0,3,5,5}) → \(4{,}5\)

💻 Python

data = [3,3,4,5,6,8,0,3,5,5] print(sum(data)/len(data)) print((sorted(data)[4]+sorted(data)[5])/2)

Fasit: Gjennomsnittet er \(4{,}2\) timer, og medianen er \(4{,}5\) timer. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Kumulativ frekvens

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem den kumulative frekvensen for \(5\) timer og forklar hva dette tallet betyr.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Kumulativ frekvens for \(5\) betyr antall observasjoner som er mindre enn eller lik \(5\).

Steg 1 — Bruk sortert liste

\[0,3,3,3,4,5,5,5,6,8\]

Steg 2 — Tell verdiene til og med 5

\[0,3,3,3,4,5,5,5\]

Dette er \(8\) verdier.

Steg 3 — Skriv svaret

\[F(5)=8\]

Tolkning

Lars arbeidet \(5\) timer eller mindre på \(8\) av de \(10\) dagene.

Vanlig feil: Å telle bare antall dager med nøyaktig \(5\) timer. Det ville gitt \(3\), ikke kumulativ frekvens.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

💻 Python

data = [3,3,4,5,6,8,0,3,5,5] print(sum(1 for x in data if x <= 5))

Fasit: Den kumulative frekvensen for \(5\) timer er \(8\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Formlikhet og areal

Oppgave 3

Oppgave:

Even har tegnet en rettvinklet trekant. Den ene kateten er \(10\ \text{cm}\), og den andre kateten er \(5\ \text{cm}\). Even vil tegne en ny trekant som er formlik med den trekanten han har tegnet. Arealet av den nye trekanten skal være \(64\ \text{cm}^2\). Hvor lange må hver av katetene i den nye trekanten være?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at arealer i formlike figurer endres med kvadratet av lengdefaktoren.

Steg 1 — Finn opprinnelig areal

\[A=\dfrac{10\cdot 5}{2}=25\]

Steg 2 — Finn arealfaktor

\[\dfrac{64}{25}\]

Steg 3 — Finn lengdefaktor

\[k=\sqrt{\dfrac{64}{25}}=\dfrac{8}{5}=1{,}6\]

Steg 4 — Skaler katetene

\[10\cdot 1{,}6=16\]

\[5\cdot 1{,}6=8\]

Tolkning

Den nye trekanten har kateter \(16\ \text{cm}\) og \(8\ \text{cm}\). Kontroll: \(\dfrac{16\cdot 8}{2}=64\).

Vanlig feil: Å multiplisere lengdene med \(\dfrac{64}{25}\). Det er arealfaktoren, ikke lengdefaktoren.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 sqrt(64/25) → \(\dfrac{8}{5}\)

💻 Python

from sympy import sqrt, Rational k = sqrt(Rational(64,25)) print(10*k, 5*k, (10*k)*(5*k)/2)

Fasit: Katetene må være \(16\ \text{cm}\) og \(8\ \text{cm}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Likningssystem

Oppgave 4

Oppgave:

Markus arbeider med likningssystemet nedenfor. Vis Markus hvordan han kan løse likningssystemet. \[\begin{cases}2x-6=y\\4x+2y=12\end{cases}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(x\) og \(y\) som passer i begge likningene.

Steg 1 — Bruk første likning

\[y=2x-6\]

Steg 2 — Sett inn i den andre likningen

\[4x+2(2x-6)=12\]

Steg 3 — Løs for \(x\)

\[4x+4x-12=12\] …