Matematikk 2P Eksamen høsten 2017 (K06) – løsningsforslag

ifingo · løsningsforslag

Matematikk 2P Høst 2017 (K06)

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har plan, stegvis løsning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Statistikk

Oppgave 1

Oppgave:

Tabellen nedenfor viser karakterfordelingen ved en skole ved norskeksamen våren 2017.

Karakter	Antall elever
1	3
2	12
3	25
4	12
5	6
6	2

a) Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 1 eller 2?

b) Bestem mediankarakteren.

c) Bestem gjennomsnittskarakteren.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke frekvenstabellen til prosent, median og gjennomsnitt.

Steg 1 — Finn totalt antall elever

Totalt antall er

\[3+12+25+12+6+2=60\]

Steg 2 — Prosent med karakter 1 eller 2

Antallet er \(3+12=15\). Da får vi

\[\dfrac{15}{60}\cdot100\,\%=25\,\%\]

Steg 3 — Median

Det er 60 elever, så medianen er gjennomsnittlig plass mellom observasjon nummer 30 og 31. Kumulativt har karakter 1 og 2 til sammen 15 elever, og karakter 3 går fram til elev nummer 40. Derfor er både observasjon 30 og 31 lik 3.

Steg 4 — Gjennomsnitt

\[\dfrac{1\cdot3+2\cdot12+3\cdot25+4\cdot12+5\cdot6+6\cdot2}{60}=3{,}2\]

Vanlig feil: Å finne gjennomsnitt av karakterene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 uten å ta hensyn til frekvensene.

Python

karakterer = [1, 2, 3, 4, 5, 6] antall = [3, 12, 25, 12, 6, 2] total = sum(antall) antall_1_eller_2 = antall[0] + antall[1] prosent = antall_1_eller_2 / total * 100 sum_karakterpoeng = sum(k * f for k, f in zip(karakterer, antall)) gjennomsnitt = sum_karakterpoeng / total liste = [] for karakter, frekvens in zip(karakterer, antall): liste.extend([karakter] * frekvens) print("Totalt antall elever:", total) print("Antall med karakter 1 eller 2:", antall_1_eller_2) print("Prosent med karakter 1 eller 2:", prosent) print("Observasjon 30:", liste[29]) print("Observasjon 31:", liste[30]) print("Median:", (liste[29] + liste[30]) / 2) print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)

Output når koden kjøres:

Totalt antall elever: 60 Antall med karakter 1 eller 2: 15 Prosent med karakter 1 eller 2: 25.0 Observasjon 30: 3 Observasjon 31: 3 Median: 3.0 Gjennomsnitt: 3.2

Fasit: a) \(25\,\%\). b) Medianen er 3. c) Gjennomsnittet er \(3{,}2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Standardform

Oppgave 2

Oppgave:

Regn ut og skriv svaret på standardform

\[3{,}54\cdot10^6+60000\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne sammen tallene og skrive svaret på formen \(a\cdot10^n\), der \(1\le a<10\).

Steg 1 — Skriv om tallene

\[3{,}54\cdot10^6=3\,540\,000\]

\[60000=60\,000\]

Steg 2 — Legg sammen

\[3\,540\,000+60\,000=3\,600\,000\]

Steg 3 — Skriv på standardform

\[3\,600\,000=3{,}6\cdot10^6\]

Vanlig feil: Å skrive \(36\cdot10^5\). Det er like stort tall, men ikke standardform fordi 36 er større enn 10.

Python

tall = 3.54 * 10**6 + 60000 print("Utregnet verdi:", tall) print("Standardform:", "3.6 * 10**6")

Output når koden kjøres:

Utregnet verdi: 3600000.0 Standardform: 3.6 * 10**6

Fasit: \(3{,}6\cdot10^6\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Graf og fart

Oppgave 3

Oppgave:

Et tog kjørte fra by A til by B. Se diagrammet i oppgaven.

a) Bestem reisetiden mellom de to byene.

b) Beskriv hva som skjer 20 km fra by A.

c) Bestem farten til toget når det er 10 km fra by A, og når det er 10 km fra by B. Du skal gi svarene i km/h.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av en avstand–tid-graf og bruke stigningstall som fart.

Skisse av togdiagrammet. Mellom 20 km og 20 km er grafen vannrett, altså et stopp.

Steg 1 — Les av start og slutt

Toget starter omtrent kl. 13.40 og kommer fram omtrent kl. 14.50. Reisetiden er derfor 1 time og 10 minutter.

Steg 2 — Forklar den vannrette delen

Ved 20 km fra A er grafen vannrett. Avstanden endrer seg ikke, så toget står stille.

Steg 3 — Fart 10 km fra A

Første etappe går 20 km på 20 minutter. Det svarer til

\[\dfrac{20}{20/60}=60 ext{ km/h}\]

Steg 4 — Fart 10 km fra B

Hele strekningen er 80 km, så 10 km fra B betyr 70 km fra A. Dette ligger på siste etappe. Siste etappe går fra 20 km til 80 km på 40 minutter:

\[\dfrac{60}{40/60}=90 ext{ km/h}\]

Vanlig feil: Å bruke hele reisetiden når vi skal finne fart i én bestemt del av grafen.

Python

start_tid = 13 + 40/60 slutt_tid = 14 + 50/60 reisetid_timer = slutt_tid - start_tid fart_forste_etappe = 20 / (20/60) fart_siste_etappe = 60 / (40/60) print("Reisetid i timer:", reisetid_timer) print("Reisetid i minutter:", reisetid_timer * 60) print("Fart på første etappe:", fart_forste_etappe, "km/h") print("Fart på siste etappe:", fart_siste_etappe, "km/h")

Output når koden kjøres:

Reisetid i timer: 1.1666666666666679 Reisetid i minutter: 70.00000000000007 Fart på første etappe: 60.0 km/h Fart på siste etappe: 90.0 km/h

Fasit: a) 1 time og 10 minutter. b) Toget stopper 20 km fra A. c) \(60 ext{ km/h}\) og \(90 ext{ km/h}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Sektordiagram

Oppgave 4

Oppgave:

Et idrettslag har 240 medlemmer. Idrettslaget har fire forskjellige aktivitetsgrupper.

Aktivitetsgruppe	Antall medlemmer
Langrenn	60
Hopp	40
Freestyle	80
Alpint	60

Gjør beregninger og lag et sektordiagram som viser fordelingen av medlemmene på de ulike gruppene. Det skal gå klart fram hvor mange grader hver av sektorene i diagrammet er på.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre antall medlemmer om til vinkler i et sektordiagram.

Steg 1 — Finn hvor mange grader ett medlem svarer til

Hele sirkelen er \(360^\circ\), og det er 240 medlemmer.

\[\dfrac{360^\circ}{240}=1{,}5^\circ\] …