Matematikk 2P Eksempeloppgave høsten 2021 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 2P · LK20

Matematikk 2P eksempelsett høsten 2021 – løsningsforslag

Komplett bokmålsversjon med transkriberte oppgaver, trinnvise løsninger, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll. Python-boksene viser både kode og typisk output fra kjøring.

18 deloppgaver Del 1 + Del 2 skilt tydelig GeoGebra + Python kontroll i hvert kort LK20 2P eksempelsett

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 prosent og prosentpoeng

Oppgave 1

Oppgave:

Et politisk parti hadde en oppslutning på 5 % i mai. Fra mai til september økte oppslutningen med 2 prosentpoeng.

Hvor mange prosent økte oppslutningen med?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Finn ny oppslutning

Oppslutningen øker fra \(5\,\%\) til \(7\,\%\), fordi \(5+2=7\).

Steg 2 — Finn relativ økning

Den relative økningen regnes i forhold til startverdien:

\[\dfrac{7-5}{5}=\dfrac{2}{5}=0{,}40\]

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[0{,}40\cdot 100\,\%=40\,\%\]

Tolkning

Oppslutningen økte med 2 prosentpoeng, men det tilsvarer 40 % relativ økning.

Vanlig feil: Å svare 2 % i stedet for 2 prosentpoeng eller 40 %.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 7-5 → \(2\) 2 (7-5)/5*100 → \(40\)

💻 Python

start = 5 slutt = 7 okning_prosentpoeng = slutt - start relativ_okning = okning_prosentpoeng / start * 100 print(f"Start: {start} %") print(f"Slutt: {slutt} %") print(f"Økning i prosentpoeng: {okning_prosentpoeng}") print(f"Relativ økning: {relativ_okning:.0f} %")

Start: 5 % Slutt: 7 % Økning i prosentpoeng: 2 Relativ økning: 40 %

Fasit: \(40\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 programmering og eksponentiell nedgang

Oppgave 2

Oppgave:

Forklar hva som skjer når programmet nedenfor kjøres. Hva forteller de to tallene som skrives ut i linje 10 og 11?

pris = 200000 verdi = pris vekstfaktor = 0.85 år = 0 while verdi > pris/2: verdi = verdi * vekstfaktor år = år + 1 print(verdi) print(år)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Tolk variablene

Startprisen er 200 000, og verdien starter lik prisen. Vekstfaktoren \(0{,}85\) betyr at verdien blir 15 % lavere hvert år.

Steg 2 — Tolk løkka

Løkka kjører så lenge verdien er større enn halvparten av startprisen, altså større enn \(100\,000\).

Steg 3 — Følg verdien år for år

Etter 4 år er verdien fortsatt over \(100\,000\). Etter 5 år er verdien under \(100\,000\):

\[200000\cdot 0{,}85^5\approx 88741\]

Tolkning

Tallet i linje 10 er første verdi under halvparten av startprisen. Tallet i linje 11 er antall år det tok.

Vanlig feil: Å tro at løkka stopper når verdien er nøyaktig halvparten. Den stopper første gang verdien ikke lenger er større enn halvparten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 200000*0.85^5 → \(88741{,}0625\) 2 200000/2 → \(100000\)

💻 Python

pris = 200000 verdi = pris vekstfaktor = 0.85 aar = 0 print("År Verdi") print(f"{aar:2d} {verdi:,.2f}") while verdi > pris/2: verdi = verdi * vekstfaktor aar = aar + 1 print(f"{aar:2d} {verdi:,.2f}") print("\nDet programmet skriver ut:") print(verdi) print(aar)

År Verdi 0 200,000.00 1 170,000.00 2 144,500.00 3 122,825.00 4 104,401.25 5 88,741.06 Det programmet skriver ut: 88741.0625 5

Fasit: \(88741{,}0625\) og \(5\). Verdien er da første gang under halvparten av startprisen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 likning og nullpunkter

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningen

\[(x-3)(x+1)x=0\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Bruk nullproduktregelen

Når et produkt er null, må minst én faktor være null.

Steg 2 — Sett hver faktor lik null

\[x-3=0 \quad \lor \quad x+1=0 \quad \lor \quad x=0\]

Steg 3 — Løs de tre enkle likningene

\[x=3 \quad \lor \quad x=-1 \quad \lor \quad x=0\]

Tolkning

Likningen har tre løsninger fordi produktet består av tre førstegradsfaktorer.

Vanlig feil: Å multiplisere ut først og miste nullproduktregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs((x-3)(x+1)x=0) → \(x=-1 \lor x=0 \lor x=3\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve, factor x = symbols('x') uttrykk = (x - 3)*(x + 1)*x print("Uttrykk:", factor(uttrykk)) print("Løsninger:", solve(uttrykk, x))

Uttrykk: x*(x - 3)*(x + 1) Løsninger: [-1, 0, 3]

Fasit: \(x=-1\), \(x=0\) eller \(x=3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 geometri og areal

Oppgave 4

Oppgave:

En trekant \(ABC\) har mål som vist på skissen. Bestem arealet av trekanten.

Sidene \(AC\) og \(BC\) er 10 cm, og grunnlinjen \(AB\) er 12 cm.

Høyden deler grunnlinjen i to like deler på 6 cm hver. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Bruk symmetri

Trekanten er likebeint. Høyden fra \(C\) deler grunnlinjen i to like deler: \(6\) cm og \(6\) cm.

Steg 2 — Finn høyden med Pytagoras

\[h^2+6^2=10^2\]

\[h^2=100-36=64\]

\[h=8\]

Steg 3 — Regn arealet

\[A=\dfrac{g\cdot h}{2}=\dfrac{12\cdot 8}{2}=48\]

Tolkning

Arealet er 48 kvadratcentimeter.

Vanlig feil: Å bruke 10 cm som høyde. Siden på 10 cm er skrå side, ikke høyden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 sqrt(10^2-6^2) → \(8\) 2 12*8/2 → \(48\)

💻 Python

from sympy import sqrt, Rational side = 10 halv_grunnlinje = 6 hoyde = sqrt(side**2 - halv_grunnlinje**2) areal = Rational(12, 2) * hoyde print(f"Høyde = {hoyde} cm") print(f"Areal = {areal} cm^2")

Høyde = 8 cm Areal = 48 cm^2

Fasit: \(48\,\text{cm}^2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 forhold og forstørring

Oppgave 5

Oppgave:

Eirin skal forstørre et bilde som er 8 cm bredt og 28 cm høyt.

Hun skal skrive ut bildet på et papir som er 30 cm bredt og 42 cm høyt. Hun vil at bildet skal bli så stort som mulig, men hun kan ikke rotere det.

Hvor bredt og hvor høyt vil bildet bli?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Sammenlikn mulige forstørringer

For bredden kan faktoren være \(\dfrac{30}{8}=3{,}75\). For høyden kan faktoren være \(\dfrac{42}{28}=1{,}5\).

Steg 2 — Velg minste faktor

Bildet må få plass både i bredden og i høyden. Derfor må vi bruke faktoren \(1{,}5\).

Steg 3 — Finn ny bredde og høyde

\[8\cdot 1{,}5=12\]

\[28\cdot 1{,}5=42\]

Tolkning

Høyden fyller papiret, mens det blir ledig plass i bredden.

Vanlig feil: Å bruke breddefaktoren. Da ville høyden blitt \(105\) cm, og bildet ville ikke fått plass.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Min(30/8,42/28) → \(1{,}5\) 2 8*1.5 → \(12\) 3 28*1.5 → \(42\)

💻 Python

bredde = 8 hoyde = 28 papir_bredde = 30 papir_hoyde = 42 faktor_bredde = papir_bredde / bredde faktor_hoyde = papir_hoyde / hoyde faktor = min(faktor_bredde, faktor_hoyde) print(f"Faktor ut fra bredde: {faktor_bredde:.2f}") print(f"Faktor ut fra høyde: {faktor_hoyde:.2f}") print(f"Valgt faktor: {faktor:.2f}") print(f"Ny bredde: {bredde*faktor:.1f} cm") print(f"Ny høyde: {hoyde*faktor:.1f} cm")

Faktor ut fra bredde: 3.75 Faktor ut fra høyde: 1.50 Valgt faktor: 1.50 Ny bredde: 12.0 cm Ny høyde: 42.0 cm

Fasit: Bildet blir \(12\) cm bredt og \(42\) cm høyt. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6 statistikk og frekvens

Oppgave 6

Oppgave:

Tonje har spurt 20 ungdommer hvor mange ganger de trente forrige uke. Svarene er

\(3,4,0,1,1,2,3,0,6,4,2,7,2,2,5,3,0,2,1,2\).

Bestem den relative og den kumulative frekvensen for fire treninger. Hva forteller disse frekvensene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Tell antall fire treninger

Tallet 4 forekommer 2 ganger.

Steg 2 — Finn relativ frekvens

\[\dfrac{2}{20}=0{,}10=10\,\%\]

Steg 3 — Finn kumulativ frekvens for 4

Kumulativ frekvens for 4 betyr antall observasjoner som er \(\le 4\). Vi teller 0, 1, 2, 3 og 4. Det er \(3+3+6+3+2=17\). …