Matematikk 2P Eksamen høsten 2023 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 2P

Udir eksamen · LK20 · Bokmål

Matematikk 2P eksamen Høst 2023 – løsningsforslag

Komplett originalt løsningsforslag med oppgavetekst på bokmål, trinnvise forklaringer, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll der det er nyttig. Del 1 er uten hjelpemidler. Del 2 viser digitale metoder, regnearkidéer og modellvurdering.

Del 1Del 2StatistikkLånRekkerKlimamodell

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Prosent og pris

Oppgave 1a

Oppgave:

Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området. Hun vurderer om hun skal kjøpe en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.

• Hver enkeltbillett koster 25 kroner.
• Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kroner.

Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fra hvilket antall bussreiser fleksikortet koster mindre enn enkeltbilletter.

Steg 1 — Lag uttrykk for de to prisene

For \(n\) reiser koster enkeltbilletter \(25n\) kroner. Fleksikortet koster \(415\) kroner.

Steg 2 — Sett opp kravet for at fleksikort skal lønne seg

Fleksikortet lønner seg når enkeltbillettene ville kostet mer enn fleksikortet:

\[25n>415\]

Steg 3 — Løs ulikheten

\[n>\dfrac{415}{25}=16{,}6\]

Siden antall reiser må være et helt tall, må hun reise minst \(17\) ganger.

Tolkning

Ved \(16\) reiser koster enkeltbilletter \(400\) kroner, altså mindre enn fleksikortet. Ved \(17\) reiser koster enkeltbilletter \(425\) kroner, og da er fleksikortet billigere.

Vanlig feil: Å svare \(16{,}6\) reiser. Antall reiser må rundes opp til nærmeste hele reise.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 415 / 25 → \(16{,}6\) 2 25 * 17 → \(425\)

💻 Python

from sympy import ceiling, Rational n = ceiling(Rational(415, 25)) print(n) print(25*n)

Fasit: \(17\) reiser. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Prosent

Oppgave 1b

Oppgave:

Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.

Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor prosentvis besparelsen er når Selma bruker alle \(20\) reisene på fleksikortet.

Steg 1 — Finn prisen for 20 enkeltbilletter

\[20\cdot25=500\]

Uten fleksikort ville de 20 reisene kostet \(500\) kroner.

Steg 2 — Finn hvor mange kroner hun sparer

\[500-415=85\]

Steg 3 — Regn besparelsen i prosent av opprinnelig pris

\[\dfrac{85}{500}\cdot100\,\%=17\,\%\]

Tolkning

Selma betaler \(415\) kroner i stedet for \(500\) kroner. Det betyr at hun sparer \(17\,\%\) sammenliknet med 20 enkeltbilletter.

Vanlig feil: Å dele på \(415\). Når vi spør hvor mange prosent hun sparer sammenliknet med enkeltbilletter, er sammenlikningsgrunnlaget \(500\) kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 20 * 25 → \(500\) 2 (500 - 415) / 500 * 100 → \(17\)

💻 Python

from sympy import Rational sparing = Rational(20*25 - 415, 20*25)*100 print(sparing)

Fasit: \(17\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Målestokk

Oppgave 2

Oppgave:

På et kart er avstanden mellom to byer 40 cm. I virkeligheten er avstanden 20 km.

Bestem målestokken til kartet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive målestokken som forholdet mellom avstand på kartet og avstand i virkeligheten, med samme enhet.

Steg 1 — Skriv avstandene

Kartavstanden er \(40\) cm. Virkelig avstand er \(20\) km.

Steg 2 — Gjør kilometer om til centimeter

\[20 ext{ km}=20\cdot1000\cdot100 ext{ cm}=2\,000\,000 ext{ cm}\]

Steg 3 — Sett opp forholdet

\[40:2\,000\,000\]

Steg 4 — Forkort forholdet

\[40:2\,000\,000=1:50\,000\]

Tolkning

\(1\) cm på kartet svarer til \(50\,000\) cm i virkeligheten, altså \(500\) meter.

Vanlig feil: Å blande centimeter og kilometer i samme forhold. Enhetene må være like før målestokken forkortes.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 2000000 / 40 → \(50\,000\)

💻 Python

from sympy import Rational print(Rational(2000000, 40))

Fasit: \(1:50\,000\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Statistikk

Oppgave 3

Oppgave:

Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km. Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.

• I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
• I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage to datasett med \(10\) tall. Begge må ha typetall \(5\), median \(8\) og gjennomsnitt \(9\).

Steg 1 — Bruk gjennomsnittet til å finne totalsummen

\[ ext{sum}=10\cdot9=90\]

De ti tallene må altså ha sum \(90\).

Steg 2 — Lag første alternativ med 8 km

Et mulig sortert datasett er

\[5,5,5,7,8,8,10,12,14,16\]

Her er \(5\) brukt flest ganger, så typetallet er \(5\).

Steg 3 — Kontroller median og gjennomsnitt for første alternativ

For \(10\) tall er medianen gjennomsnittet av tall nummer \(5\) og \(6\):

\[\dfrac{8+8}{2}=8\]

Summen er \(90\), så gjennomsnittet er \(90/10=9\).

Steg 4 — Lag andre alternativ uten 8 km

Et mulig sortert datasett er

\[3,5,5,6,7,9,10,12,15,18\]

Her er ingen av tallene \(8\), og minst fem av verdiene er nye sammenliknet med første alternativ.

Steg 5 — Kontroller median og gjennomsnitt for andre alternativ

Medianen blir

\[\dfrac{7+9}{2}=8\]

Summen er også \(90\), så gjennomsnittet er \(9\).

Tolkning

Oppgaven viser at typetall, median og gjennomsnitt ikke bestemmer datasettet entydig. Flere helt ulike datasett kan ha de samme sentralmålene.

Vanlig feil: Å tro at medianen må være et av tallene i datasettet. Når antallet observasjoner er partall, kan medianen være gjennomsnittet av to midterste tall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Mean({5,5,5,7,8,8,10,12,14,16}) → \(9\) 2 Median({5,5,5,7,8,8,10,12,14,16}) → \(8\) 3 Mean({3,5,5,6,7,9,10,12,15,18}) → \(9\) 4 Median({3,5,5,6,7,9,10,12,15,18}) → \(8\)

💻 Python

from statistics import mean, median, multimode A = [5,5,5,7,8,8,10,12,14,16] B = [3,5,5,6,7,9,10,12,15,18] for data in [A, B]: print(sum(data), mean(data), median(data), multimode(data))

Fasit: For eksempel \(5,5,5,7,8,8,10,12,14,16\) og \(3,5,5,6,7,9,10,12,15,18\). Få mer forklaring

Del 2 — med hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 4 Likninger og resonnement

Oppgave 4

Oppgave:

\[(x+4)(x-1)=0\]

\[(x+2)(x-3)=-6\]

Selma og Tobine arbeider med likningene ovenfor. Selma mener at når høyresiden er null, kan hun finne når en av parentesene er null. Tobine spør om det alltid er slik, og om løsningene til den andre likningen er \(x_1=-8\) og \(x_2=-3\).

Kommenter det Selma og Tobine sier, og løs likningen \((x+2)(x-3)=-6\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor nullproduktregelen kan brukes i den første likningen, og hvorfor Tobines metode ikke kan brukes direkte i den andre. …