Matematikk 2P Eksamen høsten 2021 (K06) – løsningsforslag

ifingo · løsningsforslag

Matematikk 2P eksamen Høst 2021 (K06)

Komplett løsningsforslag på bokmål, med transkriberte oppgaver, stegvis regning, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med håndregning og forklaring. Digitale kontrollbokser er lagt inn for etterkontroll i ifingo-format.

Del 1 · Oppgave 1a Statistikk

Oppgave 1a

Oppgave:

Nedenfor ser du hvor mange dager med snøfall det har vært i april de 10 siste årene i en kommune i Norge.

4  7  0  0  4  5  5  4  7  9

a) Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive datamaterialet med fire sentral- og spredningsmål.

Steg 1 — Sorter tallene

\[0,0,4,4,4,5,5,7,7,9\]

Sortering gjør median og typetall tydelige.

Steg 2 — Finn medianen

Det er 10 tall. Medianen er gjennomsnittet av tall nummer 5 og 6.

\[\dfrac{4+5}{2}=4{,}5\]

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

\[\overline{x}=\dfrac{4+7+0+0+4+5+5+4+7+9}{10}=\dfrac{45}{10}=4{,}5\]

Steg 4 — Finn typetall og variasjonsbredde

Tallet 4 forekommer flest ganger, så typetallet er 4. Variasjonsbredden er

\[9-0=9\]

Tolkning

Et typisk år hadde omtrent 4–5 snødager i april, men variasjonen gikk fra 0 til 9 dager.

Vanlig feil: Å finne medianen før tallene er sortert.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Median({4,7,0,0,4,5,5,4,7,9}) → \(4{,}5\) 2 Gjennomsnitt({4,7,0,0,4,5,5,4,7,9}) → \(4{,}5\) 3 Maks(...) - Min(...) → \(9\)

💻 Python

data = [4, 7, 0, 0, 4, 5, 5, 4, 7, 9] sortert = sorted(data) sum_data = sum(data) gjennomsnitt = sum_data / len(data) median = (sortert[4] + sortert[5]) / 2 typetall = max(set(data), key=data.count) variasjonsbredde = max(data) - min(data) print("Sortert datamateriale:", sortert) print("Sum:", sum_data) print("Median:", median) print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt) print("Typetall:", typetall) print("Variasjonsbredde:", variasjonsbredde)

Output når koden kjøres:

Sortert datamateriale: [0, 0, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 9] Sum: 45 Median: 4.5 Gjennomsnitt: 4.5 Typetall: 4 Variasjonsbredde: 9

Fasit: Medianen er \(4{,}5\), gjennomsnittet er \(4{,}5\), typetallet er \(4\), og variasjonsbredden er \(9\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Kumulativ frekvens

Oppgave 1b

Oppgave:

b) Bestem den kumulative frekvensen for 5 dager med snøfall i april. Hva forteller dette tallet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal telle hvor mange observasjoner som er mindre enn eller lik 5.

Steg 1 — Bruk sortert liste

\[0,0,4,4,4,5,5,7,7,9\]

Steg 2 — Tell verdiene til og med 5

Verdiene \(0,0,4,4,4,5,5\) er mindre enn eller lik 5. Det er 7 verdier.

Steg 3 — Tolk tallet

Den kumulative frekvensen for 5 er 7.

Det betyr at i 7 av de 10 årene var det høyst 5 dager med snøfall i april.

Vanlig feil: Å telle bare de årene som hadde nøyaktig 5 dager. Kumulativ frekvens betyr opp til og med verdien. Fasit: Den kumulative frekvensen for \(5\) er \(7\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Gruppert statistikk

Oppgave 2a

Oppgave:

Tabellen nedenfor viser hvor lang tid 100 elever bruker på skoleveien.

Minutter	Antall elever
\([0,10\rangle\)	20
\([10,20\rangle\)	50
\([20,40\rangle\)	20
\([40,80\rangle\)	10

a) Bestem gjennomsnittet for datamaterialet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Siden dataene er gruppert i intervaller, bruker vi klassemidtpunkter.

Steg 1 — Finn klassemidtpunktene

Midtpunktene er \(5\), \(15\), \(30\) og \(60\).

Steg 2 — Multipliser midtpunkt med frekvens

\[5\cdot20+15\cdot50+30\cdot20+60\cdot10=2050\]

Steg 3 — Del på antall elever

\[\overline{x}=\dfrac{2050}{100}=20{,}5\]

Tolkning

Gjennomsnittlig skolevei er omtrent 20,5 minutter.

Vanlig feil: Å bruke intervallgrensene i stedet for klassemidtpunktene.

Kontroll

💻 Python

midtpunkt = [5, 15, 30, 60] frekvens = [20, 50, 20, 10] vektet_sum = sum(m*f for m, f in zip(midtpunkt, frekvens)) antall = sum(frekvens) gjennomsnitt = vektet_sum / antall print("Vektet sum:", vektet_sum) print("Antall elever:", antall) print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt, "minutter")

Output når koden kjøres:

Vektet sum: 2050 Antall elever: 100 Gjennomsnitt: 20.5 minutter

Fasit: Gjennomsnittet er omtrent \(20{,}5\) minutter. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Medianintervall

Oppgave 2b

Oppgave:

b) I hvilket intervall ligger medianen? Begrunn svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor elev nummer 50 og 51 ligger når alle elever sorteres etter reisetid.

Steg 1 — Lag kumulative frekvenser

Etter første intervall er det \(20\) elever. Etter andre intervall er det \(20+50=70\) elever.

Steg 2 — Finn medianplassene

Det er 100 elever, så medianen ligger mellom elev nummer 50 og 51.

Steg 3 — Plasser medianen i riktig intervall

Både elev nummer 50 og 51 ligger i intervallet \([10,20\rangle\), fordi dette intervallet dekker plass 21 til 70.

Tolkning

Medianeleven bruker mellom 10 og 20 minutter på skoleveien.

Vanlig feil: Å si at medianen er 15 minutter. Vi kan bare bestemme intervallet, ikke nøyaktig verdi, fra denne tabellen. Fasit: Medianen ligger i intervallet \([10,20\rangle\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c Histogram

Oppgave 2c

Oppgave:

c) Framstill datamaterialet i et histogram.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Intervallene har ulik bredde, derfor må stolpehøydene være frekvenstetthet.

Steg 1 — Finn klassebredder

Klassebreddene er \(10\), \(10\), \(20\) og \(40\).

Steg 2 — Finn stolpehøyder

\[\dfrac{20}{10}=2,\quad \dfrac{50}{10}=5,\quad \dfrac{20}{20}=1,\quad \dfrac{10}{40}=0{,}25\]

Steg 3 — Tegn histogrammet

Histogram: høyde = frekvens delt på klassebredde.

Tolkning

Den høyeste stolpen er intervallet \([10,20\rangle\), der flest elever ligger.

Vanlig feil: Å bruke frekvens som høyde når intervallene har ulik bredde. Fasit: Stolpehøydene er \(2\), \(5\), \(1\) og \(0{,}25\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Potenser

Oppgave 3a

Oppgave:

a) Idar påstår at \(8^5=2^{15}\). Har han rett? Begrunn svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive 8 som en potens med grunntall 2.

Steg 1 — Skriv om grunntallet

\[8=2^3\]

Steg 2 — Bruk potensregelen

\[(2^3)^5=2^{3\cdot5}=2^{15}\]

Tolkning

Idar har rett fordi potensen av en potens gir produkt av eksponentene.

Vanlig feil: Å skrive \((2^3)^5=2^8\). Eksponentene skal multipliseres, ikke adderes. Fasit: Ja, \(8^5=2^{15}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Potenser

Oppgave 3b

Oppgave:

b) Hvilken av de to potensene \(8^5\) og \(3^{10}\) har størst verdi? Begrunn svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne to potenser.

Steg 1 — Regn ut \(8^5\)

\[8^5=32768\]

Steg 2 — Regn ut \(3^{10}\)

\[3^{10}=59049\]

Steg 3 — Sammenlikn

\[59049>32768\]

Tolkning

Selv om 8 er større enn 3, er eksponenten 10 så stor at \(3^{10}\) blir størst. …