Matematikk 2P Eksamen høsten 2019 (K06) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 2P

Matematikk 2P eksamen Høst 2019 – løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har transkribert oppgave, plan, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS der det passer, og Python-kontroll i nøytral terminalstil med realistisk output.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Statistikk

Oppgave 1a

Oppgave:

Arne har spurt 20 elever i videregående skole hvor mange timer de bruker foran en skjerm i løpet av en vanlig dag. Resultatene ser du nedenfor.

8 4 3 2 5 6 1 1 2 2 3 4 3 4 3 4 3 5 5 6

a) Bestem medianen og gjennomsnittet for dette datamaterialet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ett sentralt mål fra sortering og ett fra summen av alle verdier.

Steg 1 — Sorter tallene

\[1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,6,6,8\]

Sortering gjør medianen lett å lese av.

Steg 2 — Finn medianen

Det er 20 observasjoner. Medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer 10 og 11.

\[ \dfrac{3+4}{2}=3{,}5 \]

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

Summen av alle observasjonene er 76.

\[ \dfrac{76}{20}=3{,}8 \]

Tolkning

Typisk skjermtid ligger rundt 3,5 til 3,8 timer per dag.

Vanlig feil: Å velge bare ett av de to midterste tallene når antallet observasjoner er partall.

Python

data = [8, 4, 3, 2, 5, 6, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 5, 5, 6] sortert = sorted(data) print("Sorterte data:", sortert) print("Antall observasjoner:", len(data)) median = (sortert[9] + sortert[10]) / 2 gjennomsnitt = sum(data) / len(data) print("Median:", median) print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)

Output når koden kjøres:

Sorterte data: [1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8] Antall observasjoner: 20 Median: 3.5 Gjennomsnitt: 3.7

Fasit: Medianen er \(3{,}5\) timer, og gjennomsnittet er \(3{,}8\) timer. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Frekvens

Oppgave 1b

Oppgave:

b) Bestem den kumulative frekvensen og den relative frekvensen for 3 timer foran skjerm i løpet av en vanlig dag blant disse elevene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Kumulativ frekvens for 3 timer betyr hvor mange som har 3 timer eller mindre. Relativ frekvens for 3 timer betyr andelen som har akkurat 3 timer.

Steg 1 — Tell verdier til og med 3

Det er 2 elever med 1 time, 3 elever med 2 timer og 5 elever med 3 timer.

\[ 2+3+5=10 \]

Steg 2 — Tell akkurat 3 timer

Verdien 3 forekommer 5 ganger.

Steg 3 — Regn relativ frekvens

\[ \dfrac{5}{20}=0{,}25=25\,\% \]

Tolkning

Halvparten har 3 timer eller mindre, mens en firedel har akkurat 3 timer.

Vanlig feil: Å blande kumulativ frekvens og vanlig frekvens.

Python

data = [8, 4, 3, 2, 5, 6, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 5, 5, 6] kumulativ = sum(1 for verdi in data if verdi <= 3) frekvens_3 = data.count(3) relativ = frekvens_3 / len(data) print("Kumulativ frekvens for 3 timer:", kumulativ) print("Frekvens for akkurat 3 timer:", frekvens_3) print("Relativ frekvens:", relativ) print("Relativ frekvens i prosent:", relativ * 100, "%")

Output når koden kjøres:

Kumulativ frekvens for 3 timer: 10 Frekvens for akkurat 3 timer: 5 Relativ frekvens: 0.25 Relativ frekvens i prosent: 25.0 %

Fasit: Kumulativ frekvens er \(10\), og relativ frekvens for 3 timer er \(25\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Prosent

Oppgave 2

Oppgave:

I en eske ligger det hvite og røde terninger. Av disse er 15 hvite og 40 % røde.

Hvor mange terninger er det totalt i esken?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne totalen når 15 hvite terninger utgjør resten etter at 40 % er røde.

Steg 1 — Finn prosentandelen hvite

Når 40 % er røde, er 60 % hvite.

Steg 2 — Sett opp likning

La \(x\) være totalt antall terninger.

\[ 0{,}60x=15 \]

Steg 3 — Løs likningen

\[ x=\dfrac{15}{0{,}60}=25 \]

Tolkning

Det er 25 terninger totalt. Da er 10 røde og 15 hvite.

Vanlig feil: Å tro at 15 er 40 % i stedet for 60 %. GeoGebra · CAS 1 Løs(0.60x=15) → \(x=25\)

Python

hvite = 15 andel_rode = 0.40 andel_hvite = 1 - andel_rode total = hvite / andel_hvite print("Andel hvite:", andel_hvite) print("Totalt antall terninger:", total) print("Kontroll, røde terninger:", total * andel_rode)

Output når koden kjøres:

Andel hvite: 0.6 Totalt antall terninger: 25.0 Kontroll, røde terninger: 10.0

Fasit: Det er \(25\) terninger totalt. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Standardform

Oppgave 3

Oppgave:

Regn ut og skriv svaret på standardform

\[ \dfrac{1{,}2\cdot10^7-6{,}5\cdot10^6}{0{,}0005} \]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne ut uttrykket og skrive svaret som \(a\cdot10^n\), der \(1\le a<10\).

Steg 1 — Regn telleren

\[ 1{,}2\cdot10^7=12000000 \]

\[ 6{,}5\cdot10^6=6500000 \]

\[ 12000000-6500000=5500000 \]

Steg 2 — Del på nevneren

\[ \dfrac{5500000}{0{,}0005}=11000000000 \]

Steg 3 — Skriv på standardform

\[ 11000000000=1{,}1\cdot10^{10} \]

Tolkning

Svaret blir svært stort fordi vi deler på et lite tall.

Vanlig feil: Å flytte desimalkomma feil når man deler på \(0{,}0005\).

Python

teller = 1.2 * 10**7 - 6.5 * 10**6 nevner = 0.0005 svar = teller / nevner print("Teller:", teller) print("Nevner:", nevner) print("Svar som vanlig tall:", svar) print("Svar på standardform: {:.1e}".format(svar))

Output når koden kjøres:

Teller: 5500000.0 Nevner: 0.0005 Svar som vanlig tall: 11000000000.0 Svar på standardform: 1.1e+10

Fasit: \(1{,}1\cdot10^{10}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Potenser

Oppgave 4

Oppgave:

Regn ut og sorter tallene i stigende rekkefølge, fra minste verdi til største verdi

\[ 75^0 \qquad 2^3\cdot2^2 \qquad \left(2^3\right)^2 \qquad 2^{-3} \qquad \dfrac{1}{4^2} \]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne ut hver potens før vi sorterer.

Steg 1 — Regn hvert tall

\[ 75^0=1 \]

\[ 2^3\cdot2^2=8\cdot4=32 \]

\[ \left(2^3\right)^2=8^2=64 \]

\[ 2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8} \]

\[ \dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{16} \]

Steg 2 — Sorter

\[ \dfrac{1}{16}<\dfrac{1}{8}<1<32<64 \]

Tolkning

Negative eksponenter og brøker gir de minste verdiene her.

Vanlig feil: Å tolke \(2^{-3}\) som et negativt tall. Det er positivt og lik \(\dfrac{1}{8}\).

Python

verdier = { "75**0": 75**0, "2**3 * 2**2": 2**3 * 2**2, "(2**3)**2": (2**3)**2, "2**(-3)": 2**(-3), "1/(4**2)": 1/(4**2), } print("Utregnede verdier:") for uttrykk, verdi in verdier.items(): print(uttrykk, "=", verdi) print("Sortert fra minst til størst:") for uttrykk, verdi in sorted(verdier.items(), key=lambda item: item[1]): print(uttrykk, "=", verdi)

Output når koden kjøres:

Utregnede verdier: 75**0 = 1 2**3 * 2**2 = 32 (2**3)**2 = 64 2**(-3) = 0.125 1/(4**2) = 0.0625 Sortert fra minst til størst: 1/(4**2) = 0.0625 2**(-3) = 0.125 75**0 = 1 2**3 * 2**2 = 32 (2**3)**2 = 64

Fasit: \(\dfrac{1}{4^2},\;2^{-3},\;75^0,\;2^3\cdot2^2,\;\left(2^3\right)^2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5a Lineær modell

Oppgave 5a

Oppgave:

Iris jobber som telefonselger noen kvelder i uka. Hun har en fast lønn på 60 kroner per time. I tillegg tjener hun 40 kroner for hvert produkt hun selger.

a) Lag en modell som viser sammenhengen mellom antall produkter Iris selger i løpet av én time, og timelønnen hennes denne timen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær modell for timelønn.

Steg 1 — Definer variabel

La \(x\) være antall produkter Iris selger i løpet av én time.

Steg 2 — Fast lønn

Hun får alltid 60 kroner per time.

Steg 3 — Provisjon

For hvert produkt får hun 40 kroner, altså \(40x\).

Steg 4 — Lag modellen

\[ L(x)=60+40x \]

Tolkning

Stigningstallet 40 betyr at timelønnen øker med 40 kroner for hvert ekstra produkt.

Vanlig feil: Å glemme den faste lønnen på 60 kroner. GeoGebra · CAS 1 L(x):=60+40x → \(L(x)=60+40x\) Fasit: \(L(x)=60+40x\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5b Ulikhet

Oppgave 5b

Oppgave:

b) Hvor mange produkter må Iris selge for å få en timelønn som er høyere enn 200 kroner?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne minste hele antall produkter som gir lønn over 200 kroner.

Steg 1 — Sett opp ulikhet

\[ 60+40x>200 \]

Steg 2 — Trekk fra 60

\[ 40x>140 \]

Steg 3 — Del på 40

\[ x>3{,}5 \]

Steg 4 — Velg helt antall

Siden Iris må selge et helt antall produkter, må hun selge minst 4 produkter. …