Matematikk 2P Eksamen høsten 2020 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 2P · K06

Matematikk 2P eksamen Høst 2020 – løsningsforslag

Bokmål. Fullstendige, originale løsninger med transkriberte oppgaver, 3–6 forklaringssteg per deloppgave, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll med realistisk kjøringsoutput.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Statistikk

Oppgave 1a

Oppgave:

En morgen førte Thale statistikk over hvor mange biler som passerte på grønt lys i lyskrysset ved skolen. Hun fikk med seg ti perioder med grønt lys. Nedenfor ser du hvor mange biler som passerte i hver av disse ti periodene.

10  20  12  18  7  33  12  38  20  10

a) Bestem medianen og gjennomsnittet for antall biler som passerte i løpet av en periode med grønt lys.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ett mål for midten i sortert rekkefølge og ett mål for gjennomsnittlig antall biler.

Steg 1 — Sorter tallene

\[7,10,10,12,12,18,20,20,33,38\]

Medianen må finnes fra sortert liste.

Steg 2 — Finn medianen

Det er 10 observasjoner, så medianen er gjennomsnittet av tall nummer 5 og 6.

\[\dfrac{12+18}{2}=15\]

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

\[\overline{x}=\dfrac{10+20+12+18+7+33+12+38+20+10}{10}=\dfrac{180}{10}=18\]

Tolkning

I en typisk grøntlysperiode passerte omtrent 15–18 biler, avhengig av om vi bruker median eller gjennomsnitt.

Vanlig feil: Å ta de to midterste tallene fra usortert liste.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Median({10,20,12,18,7,33,12,38,20,10}) → \(15\) 2 Gjennomsnitt({10,20,12,18,7,33,12,38,20,10}) → \(18\)

Python

data = [10, 20, 12, 18, 7, 33, 12, 38, 20, 10] sortert = sorted(data) median = (sortert[4] + sortert[5]) / 2 gjennomsnitt = sum(data) / len(data) print("Sortert liste:", sortert) print("Tall nummer 5 og 6:", sortert[4], sortert[5]) print("Median:", median) print("Sum:", sum(data)) print("Antall observasjoner:", len(data)) print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)

Output når koden kjøres:

Sortert liste: [7, 10, 10, 12, 12, 18, 20, 20, 33, 38] Tall nummer 5 og 6: 12 18 Median: 15.0 Sum: 180 Antall observasjoner: 10 Gjennomsnitt: 18.0

Fasit: Medianen er \(15\), og gjennomsnittet er \(18\) biler. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Kumulativ frekvens

Oppgave 1b

Oppgave:

b) Bestem den kumulative frekvensen for 18 passerte biler. Hva forteller dette tallet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Kumulativ frekvens for 18 betyr hvor mange observasjoner som er mindre enn eller lik 18.

Steg 1 — Bruk sortert liste

\[7,10,10,12,12,18,20,20,33,38\]

Steg 2 — Tell opp til og med 18

Verdiene \(7,10,10,12,12,18\) er mindre enn eller lik 18.

Det er \(6\) slike observasjoner.

Tolkning

I 6 av de 10 periodene passerte det høyst 18 biler på grønt lys.

Vanlig feil: Å telle bare periodene med nøyaktig 18 biler.

Python

data = [10, 20, 12, 18, 7, 33, 12, 38, 20, 10] grense = 18 kumulativ_frekvens = sum(1 for verdi in data if verdi <= grense) print("Grense:", grense) print("Verdier som er <= 18:", [verdi for verdi in sorted(data) if verdi <= grense]) print("Kumulativ frekvens:", kumulativ_frekvens)

Output når koden kjøres:

Grense: 18 Verdier som er <= 18: [7, 10, 10, 12, 12, 18] Kumulativ frekvens: 6

Fasit: Den kumulative frekvensen for \(18\) er \(6\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Prosent

Oppgave 1c

Oppgave:

Trafikketaten vurderer å korte ned tiden det er grønt lys, med 10 %.

c) Gjør nødvendige antakelser og beregninger, og anslå hva gjennomsnittet og medianen for Thales tall ville vært om tiden med grønt lys var kortet ned med 10 %.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må lage en rimelig antakelse: antall biler er omtrent proporsjonalt med tiden lyset er grønt.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

En reduksjon på \(10\,\%\) gir vekstfaktoren

\[1-0{,}10=0{,}90\]

Steg 2 — Bruk faktoren på gjennomsnittet

\[18\cdot0{,}90=16{,}2\]

Steg 3 — Bruk faktoren på medianen

\[15\cdot0{,}90=13{,}5\]

Tolkning

Med antakelsen om proporsjonalitet ville gjennomsnittet bli omtrent 16,2 biler og medianen omtrent 13,5 biler.

Vanlig feil: Å trekke 10 fra antall biler i stedet for å trekke fra 10 prosent.

Python

opprinnelig_gjennomsnitt = 18 opprinnelig_median = 15 faktor = 0.90 nytt_gjennomsnitt = opprinnelig_gjennomsnitt * faktor ny_median = opprinnelig_median * faktor print("Antakelse: antall biler er proporsjonalt med grøntlys-tiden") print("Vekstfaktor:", faktor) print("Nytt gjennomsnitt:", nytt_gjennomsnitt) print("Ny median:", ny_median)

Output når koden kjøres:

Antakelse: antall biler er proporsjonalt med grøntlys-tiden Vekstfaktor: 0.9 Nytt gjennomsnitt: 16.2 Ny median: 13.5

Fasit: Anslått gjennomsnitt er \(16{,}2\), og anslått median er \(13{,}5\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Standardform

Oppgave 2

Oppgave:

Regn ut og skriv svaret på standardform

\[\dfrac{5\cdot10^{12}+3{,}1\cdot10^{13}}{1{,}8\cdot10^{7}}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne med potenser av 10 og skrive svaret på standardform.

Steg 1 — Skriv teller med samme tierpotens

\[5\cdot10^{12}=0{,}5\cdot10^{13}\]

Dermed blir telleren

\[(0{,}5+3{,}1)\cdot10^{13}=3{,}6\cdot10^{13}\]

Steg 2 — Del tall og potenser hver for seg

\[\dfrac{3{,}6\cdot10^{13}}{1{,}8\cdot10^{7}}=\dfrac{3{,}6}{1{,}8}\cdot10^{13-7}\]

Steg 3 — Regn ferdig

\[2\cdot10^6\]

Vanlig feil: Å addere \(10^{12}\) og \(10^{13}\) direkte uten felles tierpotens.

Kontroll

GeoGebra · CAS 1 (5*10^12 + 3.1*10^13)/(1.8*10^7) → \(2\cdot10^6\)

Python

verdi = (5*10**12 + 3.1*10**13) / (1.8*10**7) print("Verdi:", verdi) print("På standardform: 2.0 * 10^6")

Output når koden kjøres:

Verdi: 2000000.0 På standardform: 2.0 * 10^6

Fasit: Svaret er \(2\cdot10^6\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Gruppert statistikk

Oppgave 3a

Oppgave:

Tabellen nedenfor viser en oversikt over høydene til elevene ved en skole.

Høyde i cm	Frekvens
\([150,160 angle\)	10
\([160,170 angle\)	30
\([170,180 angle\)	50
\([180,200 angle\)	10

a) Bestem gjennomsnittshøyden til elevene ved skolen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Høydene er gruppert i intervaller, så vi bruker klassemidtpunkter.

Steg 1 — Finn klassemidtpunktene

Midtpunktene er \(155\), \(165\), \(175\) og \(190\).

Steg 2 — Finn vektet sum

\[155\cdot10+165\cdot30+175\cdot50+190\cdot10=17150\]

Steg 3 — Del på totalt antall elever

\[\overline{x}=\dfrac{17150}{100}=171{,}5\]

Tolkning

Gjennomsnittshøyden er omtrent \(171{,}5\) cm.

Vanlig feil: Å bruke øvre intervallgrense i stedet for midtpunktet i intervallet.

Python

midtpunkt = [155, 165, 175, 190] frekvens = [10, 30, 50, 10] vektet_sum = sum(m * f for m, f in zip(midtpunkt, frekvens)) antall = sum(frekvens) gjennomsnitt = vektet_sum / antall print("Midtpunkter:", midtpunkt) print("Frekvenser:", frekvens) print("Vektet sum:", vektet_sum) print("Antall elever:", antall) print("Gjennomsnittshøyde:", gjennomsnitt, "cm")

Output når koden kjøres:

Midtpunkter: [155, 165, 175, 190] Frekvenser: [10, 30, 50, 10] Vektet sum: 17150 Antall elever: 100 Gjennomsnittshøyde: 171.5 cm

Fasit: Gjennomsnittshøyden er omtrent \(171{,}5\) cm. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Histogram

Oppgave 3b

Oppgave:

b) Lag et histogram som viser fordelingen av høydene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage histogram, og da må høyden på søylene være frekvenstetthet når intervallene har ulik bredde. …