Matematikk 2P Eksamen våren 2017 (K06) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 2P

Matematikk 2P Vår 2017 (K06) – komplett løsningsforslag

Løsningsforslaget er skrevet på bokmål med Del 1 og Del 2, trinnvise løsninger, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS-bokser og Python-kontroll i nøytral terminalstil.

Kilde: opplastet Udir-PDF for MAT1015 Matematikk 2P, 31.05.2017.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 · 3 poeng Statistikk

Oppgave 1

Oppgave:

I en klasse er det 16 elever. Tabellen nedenfor viser hvor mange søsken de 16 elevene har.

Antall søsken	Frekvens
0	5
1	6
2	2
3	2
4	1

Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive datasettet med fire sentral- og spredningsmål.

Steg 1 — Finn totalt antall søsken

Vi multipliserer verdi med frekvens:

\[0\cdot 5+1\cdot 6+2\cdot 2+3\cdot 2+4\cdot 1=20\]

Steg 2 — Finn gjennomsnittet

Det er 16 elever, derfor er

\[\bar{x}=\dfrac{20}{16}=1{,}25\]

Steg 3 — Finn medianen

Når 16 tall sorteres, er medianen gjennomsnittet av tall nummer 8 og 9. Begge er 1, så medianen er 1.

Steg 4 — Finn typetall og variasjonsbredde

Verdien 1 har størst frekvens, så typetallet er 1. Variasjonsbredden er

\[4-0=4\]

Vanlig feil: Å finne gjennomsnittet av bare 0, 1, 2, 3 og 4 uten å ta hensyn til frekvensene.

Python

verdier = [0, 1, 2, 3, 4] frekvenser = [5, 6, 2, 2, 1] data = [] for verdi, frekvens in zip(verdier, frekvenser): data.extend([verdi] * frekvens) print("Datasett:", data) print("Antall elever:", len(data)) print("Sum søsken:", sum(data)) print("Gjennomsnitt:", sum(data) / len(data)) print("Median:", (data[7] + data[8]) / 2) print("Typetall:", max(set(data), key=data.count)) print("Variasjonsbredde:", max(data) - min(data))

Output

Datasett: [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4] Antall elever: 16 Sum søsken: 20 Gjennomsnitt: 1.25 Median: 1.0 Typetall: 1 Variasjonsbredde: 4

Fasit: Gjennomsnittet er \(1{,}25\), medianen er 1, typetallet er 1 og variasjonsbredden er 4. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 · 1 poeng Prosent

Oppgave 2

Oppgave:

Ved en skole er det 125 elever. En dag tok 25 av elevene buss til skolen. Hvor mange prosent av elevene tok buss til skolen denne dagen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor del 25 er av 125.

Steg 1 — Skriv som brøk

\[\dfrac{25}{125}=0{,}20\]

Steg 2 — Gjør om til prosent

\[0{,}20\cdot 100\,\%=20\,\%\]

Tolkning

Hver femte elev tok buss denne dagen.

Vanlig feil: Å skrive 25 % bare fordi tallet 25 står i oppgaven. Prosenten må regnes i forhold til 125.

Python

antall_elevar = 125 buss = 25 andel = buss / antall_elevar prosent = andel * 100 print("Andel:", andel) print("Prosent:", prosent)

Output

Andel: 0.2 Prosent: 20.0

Fasit: \(20\,\%\) av elevene tok buss. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 · 2 poeng Potenser

Oppgave 3

Oppgave:

Regn ut \[5^0\cdot 2^3\cdot 8^{-2}\cdot \left(4^{-1}\right)^{-3}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensregler og skrive uttrykket som ett tall.

Steg 1 — Regn hver faktor

\[5^0=1\]

\[2^3=8\]

\[8^{-2}=\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{1}{64}\]

Steg 2 — Bruk regelen for potens av potens

\[\left(4^{-1}\right)^{-3}=4^3=64\]

Steg 3 — Multipliser

\[1\cdot 8\cdot \dfrac{1}{64}\cdot 64=8\]

Vanlig feil: Å glemme at en negativ eksponent betyr den omvendte verdien, ikke et negativt tall.

Python

from fractions import Fraction verdi = 5**0 * 2**3 * Fraction(1, 8**2) * (Fraction(1, 4))**(-3) print("Eksakt verdi:", verdi) print("Som heltall:", int(verdi))

Output

Eksakt verdi: 8 Som heltall: 8

Fasit: Uttrykket er lik \(8\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 · 2 poeng Standardform

Oppgave 4

Oppgave:

I 10 L vann er det omtrent \(3{,}0\cdot 10^{25}\) vannmolekyler. Hvor mange vannmolekyler er det i 1,5 dL vann?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skalere antall molekyler fra 10 L til 1,5 dL.

Steg 1 — Gjør om til samme enhet

\[10 ext{ L}=100 ext{ dL}\]

Steg 2 — Finn andelen

\[\dfrac{1{,}5}{100}=0{,}015\]

Steg 3 — Multipliser med antall molekyler

\[3{,}0\cdot 10^{25}\cdot 0{,}015=4{,}5\cdot 10^{23}\]

Vanlig feil: Å sammenligne 1,5 dL direkte med 10 L uten å gjøre om enhetene først.

Python

molekyler_i_10_liter = 3.0e25 volum_dl = 1.5 ti_liter_i_dl = 100 andel = volum_dl / ti_liter_i_dl molekyler = molekyler_i_10_liter * andel print("Andel av 10 L:", andel) print("Antall molekyler:", molekyler) print("På standardform: 4.5e23")

Output

Andel av 10 L: 0.015 Antall molekyler: 4.5e+23 På standardform: 4.5e23

Fasit: Det er omtrent \(4{,}5\cdot 10^{23}\) vannmolekyler i 1,5 dL vann. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 · 3 poeng Lineær og eksponentiell modell

Oppgave 5

Oppgave:

I 2017 er verdien av en leilighet 1 200 000 kroner. Per antar at verdien vil stige med 80 000 kroner hvert år. a) Sett opp en modell som viser verdien \(f(x)\) av leiligheten \(x\) år etter 2017 dersom det går slik Per antar. Kari antar at verdien vil stige med 8 % hvert år. b) Sett opp en modell som viser verdien \(g(x)\) av leiligheten \(x\) år etter 2017 dersom det går slik Kari antar. c) Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til \(f\)? Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til \(g\)? Begrunn svarene dine.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp én lineær modell og én eksponentiell modell, og koble dem til riktig graf.

Graf B er lineær vekst. Graf A er eksponentiell vekst med økende stigning.

Steg 1 — Pers modell

Verdien øker med samme kronebeløp hvert år. Det gir lineær modell:

\[f(x)=1200000+80000x\]

Steg 2 — Karis modell

En økning på 8 % gir vekstfaktor

\[1+0{,}08=1{,}08\]

Derfor er

\[g(x)=1200000\cdot 1{,}08^x\]

Steg 3 — Velg graf

\(f\) har konstant stigningstall, så den passer med graf B. \(g\) vokser raskere etter hvert, så den passer med graf A. …