Matematikk 2P Eksamen våren 2022 (LK20) – løsningsforslag

ifingo - Matematikk 2P

Matematikk 2P eksamen Vår 2022 - løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål til Udir-settet MAT1023 Vår 2022. Alle deloppgaver er transkribert, løst stegvis og kontrollert digitalt der det passer.

Del 1 uten hjelpemidler Del 2 med hjelpemidler 19 deloppgavekort CAS + Python kontroll

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 dekker lineære kostnader, eksponentiell nedgang, KPI/kjøpekraft, programmering og ulikhet fra graf.

Del 1 - Oppgave 1a lineær modell

Oppgave 1a

Oppgave:

Den grafiske framstillingen ovenfor viser hvor mye det koster for en fabrikk å produsere stoler.

Linjens modell er lest fra grafen som omtrent \(K(x)=15\ 000+500x\).

a) Hvor mye koster det totalt å produsere 20 stoler?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av kostnaden på grafen når antall produserte stoler er 20.

Steg 1 - Les av punktet på grafen

Linjen går gjennom punktet der \(x=20\). Fra rutenettet ser vi at \(y=25\ 000\).

Steg 2 - Tolk aksene

Førsteaksen viser antall stoler, og andreaksen viser totale kostnader i kroner.

Tolkning

Det totale beløpet er ikke kostnaden per stol, men hele produksjonskostnaden for 20 stoler.

Vanlig feil: Å lese av \(20\ 000\) fordi tallet 20 står på førsteaksen. Beløpet må leses på andreaksen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 15000 + 500*20 → \(25\ 000\)

💻 Python

K = 15000 + 500*20 print(K)

Fasit: \(25\ 000\) kroner (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b lineær modell

Oppgave 1b

Oppgave:

b) Hvor mye koster det totalt å produsere 120 stoler?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den lineære sammenhengen videre fra grafen.

Steg 1 - Finn stigningstallet

Grafen øker fra \(15\ 000\) til \(20\ 000\) når antall stoler øker fra 0 til 10.

Det gir \(500\) kroner per stol.

Steg 2 - Sett opp modellen

Startkostnaden er \(15\ 000\), og hver stol øker kostnaden med \(500\).

\[K(x)=15\ 000+500x\]

Steg 3 - Sett inn \(x=120\)

\[K(120)=15\ 000+500\cdot120=75\ 000\]

Tolkning

Modellen gir en ekstrapolering utenfor området som er tydelig tegnet i grafen. Den passer hvis den lineære trenden fortsetter.

Vanlig feil: Å stoppe ved grafens siste synlige verdi og ikke bruke stigningstallet videre.

Kontroll

GeoGebra - CAS 1 K(x):=15000+500x → \(K(x)=15\ 000+500x\) 2 K(120) → \(75\ 000\)

💻 Python

def K(x): return 15000 + 500*x print(K(120))

Fasit: \(75\ 000\) kroner (forutsatt at modellen fortsetter lineært). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c gjennomsnittskostnad

Oppgave 1c

Oppgave:

c) Hva blir kostnadene per stol dersom bedriften produserer 50 stoler?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne total kostnad for 50 stoler og deretter dele på antall stoler.

Steg 1 - Finn total kostnad

Fra grafen eller modellen får vi

\[K(50)=15\ 000+500\cdot50=40\ 000\]

Steg 2 - Del på antall stoler

\[\dfrac{40\ 000}{50}=800\]

Tolkning

Gjennomsnittskostnaden blir \(800\) kroner per stol når fabrikken produserer 50 stoler.

Vanlig feil: Å svare \(500\) kroner. Det er merkostnaden per ekstra stol, ikke gjennomsnittskostnaden når startkostnaden tas med.

Kontroll

GeoGebra - CAS 1 (15000+500*50)/50 → \(800\)

💻 Python

print((15000 + 500*50)/50)

Fasit: \(800\) kroner per stol. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a halveringstid

Oppgave 2a

Oppgave:

Etter avsluttet behandling med et legemiddel vil mengden av legemiddelet i blodet avta eksponentielt. Mengden vil avta med 50 % i løpet av én halveringstid. Etter to halveringstider vil mengden være redusert til 25 % av opprinnelig mengde, etter tre halveringstider til 12,5 %, og så videre.

a) Hvor mange prosent av legemiddelet vil være igjen i blodet etter fem halveringstider?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal halvere mengden fem ganger.

Steg 1 - Skriv som vekstfaktor

Å halvere betyr å multiplisere med \(0{,}5\) for hver halveringstid.

Steg 2 - Bruk fem halveringstider

\[100\cdot0{,}5^5=3{,}125\]

Tolkning

Etter fem halveringstider er bare en liten del av den opprinnelige mengden igjen.

Vanlig feil: Å trekke fra \(5\cdot50\ \%\). Eksponentiell nedgang betyr gjentatt multiplikasjon, ikke gjentatt subtraksjon.

Kontroll

GeoGebra - CAS 1 100*0.5^5 → \(3{,}125\)

💻 Python

print(100*0.5**5)

Fasit: \(3{,}125\ \%\) er igjen. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b grafisk framstilling

Oppgave 2b

Oppgave:

b) Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom antall halveringstider og hvor mange prosent av legemiddelet som vil være igjen i blodet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en graf for prosentandelen som funksjon av antall halveringstider.

Steg 1 - Lag tabell

Halveringstider	0	1	2	3	4	5
Prosent igjen	100	50	25	12,5	6,25	3,125

Steg 2 - Tegn punktene og forbind dem med en fallende kurve

Punktene viser \(100\cdot0{,}5^x\) for \(x=0,1,2,3,4,5\).

Steg 3 - Skriv modellen

\[P(x)=100\cdot0{,}5^x\]

Tolkning

Grafen faller raskt først og deretter langsommere, fordi vi hele tiden tar halvparten av det som er igjen.

Vanlig feil: Å tegne en rett linje. Halveringstid gir eksponentiell kurve.

Kontroll

GeoGebra - CAS 1 P(x):=100*0.5^x → \(P(x)=100\cdot0{,}5^x\) 2 P(5) → \(3{,}125\)

💻 Python

for x in range(6): print(x, 100*0.5**x)

Fasit: En korrekt graf kan tegnes fra punktene i tabellen, for eksempel med modellen \(P(x)=100\cdot0{,}5^x\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3 KPI og kjøpekraft

Oppgave 3

Oppgave:

Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for årene 2015-2021. …