Matematikk 2P Eksamen våren 2022 (K06) – løsningsforslag

ifingo - komplett løsningsforslag

Matematikk 2P eksamen Vår 2022 (K06) – løsningsforslag

Alle oppgaver er transkribert på bokmål og løst trinnvis med tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kjøring i nøytral terminalstil.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a–b statistikk

Oppgave 1a–b

Oppgave:

Nedenfor ser du hvor mange fjellturer Sebastian har vært på hvert år de ti siste årene.

\[2\quad 5\quad 6\quad 5\quad 4\quad 6\quad 5\quad 2\quad 10\quad 4\]

a) Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.

b) Bestem den relative og den kumulative frekvensen for fem fjellturer. Hva forteller disse tallene oss?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive et datasett med sentralmål, spredning, relativ frekvens og kumulativ frekvens.

Steg 1 — Sorter dataene

Vi skriver observasjonene i stigende rekkefølge:

\[2,2,4,4,5,5,5,6,6,10\]

Sortering gjør det lettere å finne median og kumulativ frekvens.

Steg 2 — Finn median, gjennomsnitt, typetall og variasjonsbredde

Det er ti observasjoner, så medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer 5 og 6.

\[\text{median}=\dfrac{5+5}{2}=5\]

Gjennomsnittet blir

\[\dfrac{2+5+6+5+4+6+5+2+10+4}{10}=\dfrac{49}{10}=4{,}9\]

Typetallet er verdien som forekommer flest ganger, altså \(5\). Variasjonsbredden er \(10-2=8\).

Steg 3 — Relativ frekvens for fem fjellturer

Fem fjellturer forekommer tre ganger av totalt ti observasjoner.

\[\text{relativ frekvens}=\dfrac{3}{10}=0{,}30=30\ \%\]

Dette betyr at Sebastian hadde fem fjellturer i \(30\ \%\) av årene.

Steg 4 — Kumulativ frekvens for fem fjellturer

Kumulativ frekvens for \(5\) betyr andelen observasjoner som er mindre enn eller lik \(5\). Det gjelder \(2,2,4,4,5,5,5\), altså sju observasjoner.

\[\text{kumulativ relativ frekvens}=\dfrac{7}{10}=0{,}70=70\ \%\]

Dette forteller at Sebastian var på høyst fem fjellturer i \(70\ \%\) av årene.

Vanlig feil: Å tolke kumulativ frekvens for fem som bare antall femmere. Kumulativ betyr «til og med fem».

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Median({2,5,6,5,4,6,5,2,10,4}) -> \(5\) 2 Gjennomsnitt({2,5,6,5,4,6,5,2,10,4}) -> \(4{,}9\) 3 TellDersom(x==5, Liste) -> \(3\)

Python-kjøring

data = [2, 5, 6, 5, 4, 6, 5, 2, 10, 4] data_sortert = sorted(data) antall = len(data) median = (data_sortert[4] + data_sortert[5]) / 2 gjennomsnitt = sum(data) / antall typetall = max(set(data), key=data.count) variasjonsbredde = max(data) - min(data) relativ_frekvens_5 = data.count(5) / antall kumulativ_frekvens_5 = sum(1 for verdi in data if verdi <= 5) / antall print("Sortert datasett:", data_sortert) print("Median:", median) print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt) print("Typetall:", typetall) print("Variasjonsbredde:", variasjonsbredde) print("Relativ frekvens for 5:", relativ_frekvens_5) print("Kumulativ relativ frekvens for 5:", kumulativ_frekvens_5)

Sortert datasett: [2, 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 10] Median: 5.0 Gjennomsnitt: 4.9 Typetall: 5 Variasjonsbredde: 8 Relativ frekvens for 5: 0.3 Kumulativ relativ frekvens for 5: 0.7

Fasit: \(\text{median}=5\), \(\text{gjennomsnitt}=4{,}9\), typetall \(5\), variasjonsbredde \(8\). Relativ frekvens for fem fjellturer er \(30\ \%\), og kumulativ relativ frekvens er \(70\ \%\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 standardform

Oppgave 2

Oppgave:

Regn ut og skriv svaret på standardform

\[\dfrac{5\cdot 10^6+1{,}5\cdot 10^7}{2{,}5\cdot 10^{-6}}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne med tierpotenser og skrive svaret på standardform.

Steg 1 — Regn ut telleren

Vi skriver begge leddene med samme tierpotens:

\[5\cdot 10^6+1{,}5\cdot 10^7=5\cdot 10^6+15\cdot 10^6=20\cdot 10^6=2{,}0\cdot 10^7\]

Steg 2 — Divider tallfaktorene og tierpotensene

\[\dfrac{2{,}0\cdot 10^7}{2{,}5\cdot 10^{-6}}=\dfrac{2{,}0}{2{,}5}\cdot 10^{7-(-6)}=0{,}8\cdot 10^{13}\]

Steg 3 — Skriv på standardform

På standardform skal tallet foran tierpotensen være minst \(1\) og mindre enn \(10\).

\[0{,}8\cdot 10^{13}=8{,}0\cdot 10^{12}\]

Vanlig feil: Å glemme at \(10^7/10^{-6}=10^{13}\), ikke \(10^1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 (5*10^6 + 1.5*10^7)/(2.5*10^(-6)) -> \(8\cdot 10^{12}\)

Python-kjøring

from decimal import Decimal numerator = Decimal("5e6") + Decimal("1.5e7") denominator = Decimal("2.5e-6") value = numerator / denominator print("Teller:", numerator) print("Nevner:", denominator) print("Verdi:", value) print("Standardform: 8,0 * 10^12")

Teller: 2.0E+7 Nevner: 0.0000025 Verdi: 8E+12 Standardform: 8,0 * 10^12

Fasit: \(8{,}0\cdot 10^{12}\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a–b prosent og eksponentiell nedgang

Oppgave 3a–b

Oppgave:

En båt har i dag en verdi på 600 000 kroner. Anta at båtens verdi synker med 5 % hvert år framover.

a) Hva vil båtens verdi være om ett år?

Eirik påstår at båtens verdi vil være 450 000 kroner om 5 år.

b) Forklar Eirik hvorfor dette ikke kan være riktig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke prosentvis nedgang, altså eksponentiell utvikling med vekstfaktor \(0{,}95\).

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

Når verdien synker med \(5\ \%\), står \(95\ \%\) igjen.

\[1-0{,}05=0{,}95\]

Steg 2 — Verdien om ett år

\[600000\cdot 0{,}95=570000\]

Båten vil være verdt \(570000\) kroner om ett år.

Steg 3 — Sjekk Eiriks påstand

Etter fem år må vi multiplisere med \(0{,}95\) fem ganger:

\[600000\cdot 0{,}95^5\approx 464269\]

Dette er høyere enn \(450000\), så påstanden er for lav.

Steg 4 — Forklar hvorfor lineær tenkning blir feil

Eirik kan ha tenkt at verdien synker med samme kronebeløp hvert år. Men \(5\ \%\) tas av en stadig mindre verdi, derfor blir nedgangen i kroner mindre for hvert år. …