Matematikk 2P Eksamen høsten 2016 (K06) – løsningsforslag

ifingo · løsningsforslag

Matematikk 2P eksamen Høst 2016 (K06)

Fullstendig, originalt løsningsforslag på bokmål. Løsningene er skrevet med trinnvis metode, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll med realistisk kjøringsoutput.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 · 1 poeng Standardform

Oppgave 1

Oppgave:

Skriv tallene nedenfor på standardform: 26,3 millioner og \(16{,}5\cdot 10^{-8}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive tallene som et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

Steg 1 — Skriv millioner som tierpotens

\[26{,}3\text{ millioner}=26{,}3\cdot 10^6\]

Én million er \(10^6\).

Steg 2 — Flytt kommaet én plass mot venstre

\[26{,}3\cdot 10^6=2{,}63\cdot 10^7\]

Når tallet foran tierpotensen blir delt på 10, må tierpotensen ganges med 10.

Steg 3 — Gjør det samme med det andre tallet

\[16{,}5\cdot 10^{-8}=1{,}65\cdot 10^{-7}\]

Tallet foran tierpotensen må være minst 1 og mindre enn 10.

Tolkning

Begge svarene er skrevet på standardform.

Vanlig feil: Å la \(16{,}5\cdot 10^{-8}\) stå som standardform selv om 16,5 er større enn 10.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 26.3*10^6 → \(2{,}63\cdot 10^7\) 2 16.5*10^(-8) → \(1{,}65\cdot 10^{-7}\)

Python

from decimal import Decimal første = Decimal("26.3") * (Decimal(10) ** 6) andre = Decimal("16.5") * (Decimal(10) ** -8) print("26,3 millioner =", første) print("Standardform:", "2,63 * 10^7") print("16,5 * 10^-8 =", andre) print("Standardform:", "1,65 * 10^-7")

Kjøringsoutput

26,3 millioner = 26300000.0 Standardform: 2,63 * 10^7 16,5 * 10^-8 = 1.65E-7 Standardform: 1,65 * 10^-7

Fasit: \(2{,}63\cdot 10^7\) og \(1{,}65\cdot 10^{-7}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 · 1 poeng Potenser

Oppgave 2

Oppgave:

Regn ut og skriv svaret som desimaltall: \(\dfrac{3{,}5\cdot 10^8}{7{,}0\cdot 10^5\cdot 0{,}5\cdot 10^6}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi regner med tallfaktorene og tierpotensene hver for seg.

Steg 1 — Samle tallfaktorene i nevneren

\[7{,}0\cdot 0{,}5=3{,}5\]

Dette gjør brøken lettere å forenkle.

Steg 2 — Samle tierpotensene i nevneren

\[10^5\cdot 10^6=10^{11}\]

Når vi multipliserer potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Forkort

\[\dfrac{3{,}5\cdot 10^8}{3{,}5\cdot 10^{11}}=10^{-3}\]

Faktoren \(3{,}5\) forkortes bort.

Steg 4 — Skriv som desimaltall

\[10^{-3}=0{,}001\]

Negativ eksponent betyr at tallet er mindre enn 1.

Tolkning

Svaret er ett tusendels tall.

Vanlig feil: Å trekke eksponentene før tallfaktorene er samlet riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 (3.5*10^8)/(7.0*10^5*0.5*10^6) → \(0{,}001\)

Python

from fractions import Fraction verdi = (3.5 * 10**8) / (7.0 * 10**5 * 0.5 * 10**6) print("Utregnet verdi:", verdi) print("Som desimaltall:", format(verdi, ".3f"))

Kjøringsoutput

Utregnet verdi: 0.001 Som desimaltall: 0.001

Fasit: \(0{,}001\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 · 1 poeng Prosent

Oppgave 3

Oppgave:

Ved en skole er det 135 jenter og 115 gutter. Hvor mange prosent av elevene er jenter?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner først totalt antall elever og deretter jenteandelen i prosent.

Steg 1 — Finn totalt antall elever

\[135+115=250\]

Prosentandelen må regnes av hele elevgruppen.

Steg 2 — Finn andelen jenter

\[\dfrac{135}{250}=0{,}54\]

Andelen er antall jenter delt på totalt antall elever.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[0{,}54\cdot 100\,\%=54\,\%\]

Vi multipliserer med 100 for å få prosent.

Tolkning

Jentene utgjør litt over halvparten av elevene.

Vanlig feil: Å dele på antall gutter i stedet for totalt antall elever.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 135/(135+115)*100 → \(54\)

Python

jenter = 135 gutter = 115 totalt = jenter + gutter prosent_jenter = jenter / totalt * 100 print("Totalt antall elever:", totalt) print("Andel jenter i prosent:", prosent_jenter)

Kjøringsoutput

Totalt antall elever: 250 Andel jenter i prosent: 54.0

Fasit: \(54\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 · 2 poeng Prosentvis endring

Oppgave 4

Oppgave:

En vare kostet like mye i butikk A og butikk B. I butikk A ble prisen først satt opp med 10 %, senere satt ned med 10 %. I butikk B ble prisen først satt ned med 10 %, senere satt opp med 10 %. Avgjør hvilken påstand som er riktig: Påstand 1: Varen koster nå minst i butikk A. Påstand 2: Varen koster nå minst i butikk B. Påstand 3: Varen koster nå like mye i de to butikkene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi lar startprisen være \(P\), slik at vi kan sammenlikne uten å kjenne prisen.

Steg 1 — Butikk A

\[P\cdot 1{,}10\cdot 0{,}90=0{,}99P\]

Opp 10 % betyr faktor 1,10, og ned 10 % betyr faktor 0,90.

Steg 2 — Butikk B

\[P\cdot 0{,}90\cdot 1{,}10=0{,}99P\]

Faktorene er de samme, bare i motsatt rekkefølge.

Steg 3 — Sammenlikn

\[0{,}99P=0{,}99P\]

Begge butikkene ender på 99 % av startprisen.

Tolkning

Varen koster like mye i de to butikkene etter endringene.

Vanlig feil: Å tro at \(+10\,\%\) og \(-10\,\%\) alltid gir startprisen tilbake.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 P*1.10*0.90 → \(0{,}99P\) 2 P*0.90*1.10 → \(0{,}99P\)

Python

startpris = 100 butikk_A = startpris * 1.10 * 0.90 butikk_B = startpris * 0.90 * 1.10 print("Startpris:", startpris) print("Pris i butikk A:", butikk_A) print("Pris i butikk B:", butikk_B) print("Like priser?", butikk_A == butikk_B)

Kjøringsoutput

Startpris: 100 Pris i butikk A: 99.00000000000001 Pris i butikk B: 99.00000000000001 Like priser? True

Fasit: Påstand 3 er riktig. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 · 2 poeng Potenser og halvering

Oppgave 5

Oppgave:

Tenk deg at du har 1024 kroner. Hver uke framover bruker du halvparten av de pengene du har igjen. Skriv 1024 som en potens med grunntall 2, og regn med potenser for å bestemme hvor mye du vil ha igjen etter 7 uker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skriver startbeløpet som en toerpotens og bruker halvering som faktor \(\dfrac12\).

Steg 1 — Skriv 1024 som toerpotens

\[1024=2^{10}\]

Dette er nyttig fordi hver halvering trekker én fra eksponenten.

Steg 2 — Skriv sju halveringer som potens

\[\left(\dfrac{1}{2}\right)^7=2^{-7}\]

Å halvere sju ganger er det samme som å multiplisere med \(2^{-7}\).

Steg 3 — Regn med potensregler

\[2^{10}\cdot 2^{-7}=2^3\]

Når grunntallet er likt, legger vi sammen eksponentene.

Steg 4 — Finn beløpet

\[2^3=8\]

Etter sju uker er det 8 kroner igjen.

Tolkning

Beløpet blir lite fordi det halveres gjentatte ganger.

Vanlig feil: Å trekke fra \(7\cdot 2\) i stedet for å bruke halveringsfaktoren.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 2^10*(1/2)^7 → \(8\)

Python

start = 1024 uker = 7 beløp = start * (1/2)**uker print("Startbeløp:", start) print("Antall uker:", uker) print("Beløp igjen etter 7 uker:", beløp)

Kjøringsoutput

Startbeløp: 1024 Antall uker: 7 Beløp igjen etter 7 uker: 8.0

Fasit: \(1024=2^{10}\), og etter 7 uker er det \(8\) kroner igjen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6a · 4 poeng Lineær modell

Oppgave 6a

Oppgave:

Linjediagrammet viser hvordan antall dyr av en art har avtatt i perioden 2010–2015. Bestem en lineær funksjon som tilnærmet beskriver utviklingen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi leser av omtrentlige endepunkter og lager en lineær modell der \(x\) er år etter 2010.

Steg 1 — Velg to punkter fra grafen

\[(0,8500)\quad \text{og}\quad (5,5900)\]

Grafen starter omtrent ved 8500 dyr og ender omtrent ved 5900 dyr.

Steg 2 — Finn stigningstallet

\[a=\dfrac{5900-8500}{5-0}=\dfrac{-2600}{5}=-520\]

Stigningstallet viser endring i antall dyr per år.

Steg 3 — Skriv modellen

\[f(x)=8500-520x\]

Konstantleddet er startverdien når \(x=0\).

Tolkning

Modellen sier at bestanden minker med omtrent 520 dyr per år. …