Matematikk 1T Eksamen våren 2026 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 1T · LK20

Matematikk 1T eksamen Vår 2026 - løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst med eksakte verdier og håndregning. Del 2 viser digitale kontrollspor med GeoGebra/CAS og Python der det er relevant.

Del 1Del 2Kontroll

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Ulikheter og faktorisering

Oppgave 1

Oppgave:

Løs ulikheten \(x^2+7x+6\le 0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2+7x+6=(x+1)(x+6)\]

Faktorisering gjør det mulig å lese av nullpunkter og fortegn.

Steg 2 — Finn nullpunktene

\[(x+1)(x+6)=0 \Rightarrow x=-1 \;\text{eller}\; x=-6\]

Nullpunktene deler tallinjen i intervaller.

Steg 3 — Lag fortegnsvurdering

\[(x+1)(x+6)\le 0\]

Et produkt av to lineære faktorer er negativt mellom nullpunktene når parabelen vender oppover.

Steg 4 — Ta med endepunktene

\[x\in[-6,-1]\]

Ulikheten har \(\le\), derfor er nullpunktene også med.

Fortegnslinjen viser intervallet der produktet er mindre enn eller lik null.

Tolkning

Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.

Vanlig feil: Å bytte fortegn feil og velge området utenfor nullpunktene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x^2+7x+6 <= 0) → \(-6\le x\le -1\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality x = symbols("x", real=True) print(solve_univariate_inequality(x**2 + 7*x + 6 <= 0, x))

Fasit: \(x\in[-6,-1]\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Likningssystem

Oppgave 2a

Oppgave:

Gitt likningssystemet \(y=-x^2+4\) og \(x-y=2\). Løs likningssystemet ved regning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Skriv om den lineære likningen

\[x-y=2 \Rightarrow y=x-2\]

Da kan vi sette de to uttrykkene for \(y\) lik hverandre.

Steg 2 — Sett uttrykkene lik hverandre

\[x-2=-x^2+4\]

Skjæringspunktene har samme \(x\)-verdi og samme \(y\)-verdi i begge grafer.

Steg 3 — Samle alt på én side

\[x^2+x-6=0\]

Dette gir en vanlig andregradslikning.

Steg 4 — Faktoriser og løs

\[(x+3)(x-2)=0\Rightarrow x=-3\;\text{eller}\;x=2\]

Nullproduktregelen gir de mulige \(x\)-verdiene.

Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene

\[x=-3\Rightarrow y=-5,\qquad x=2\Rightarrow y=0\]

Vi setter inn i \(y=x-2\) fordi den er enklest.

Tolkning

Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.

Vanlig feil: Å finne \(x\)-verdiene, men glemme å regne ut tilhørende \(y\)-verdier.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs({y=-x^2+4, x-y=2},{x,y}) → \(\{(x,y)=(-3,-5),(2,0)\}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, solve x, y = symbols("x y") print(solve([y + x**2 - 4, x - y - 2], [x, y]))

Fasit: \((-3,-5)\) og \((2,0)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Grafisk løsning

Oppgave 2b

Oppgave:

Løs likningssystemet grafisk.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Tegn parabelen

\[y=-x^2+4\]

Parabelen vender nedover og har toppunkt \((0,4)\).

Steg 2 — Tegn linjen

\[y=x-2\]

Linjen har stigningstall \(1\) og skjærer \(y\)-aksen i \(-2\).

Steg 3 — Les av skjæringspunktene

\[(-3,-5)\quad \text{og}\quad (2,0)\]

Grafisk løsning betyr at vi finner punktene der grafene møtes.

Steg 4 — Koble graf til likningssystem

\[y=-x^2+4\quad \text{og}\quad y=x-2\]

Begge likninger er oppfylt samtidig i skjæringspunktene.

Tolkning

Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.

Vanlig feil: Å lese av bare omtrentlige verdier når skjæringspunktene faktisk er hele tall.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Skjæring({-x^2+4, x-2}) → \((-3,-5),(2,0)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, solve x = symbols("x") print(solve(-x**2 + 4 - (x - 2), x))

Fasit: \((-3,-5)\) og \((2,0)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Tredjegradslikning

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningen \(2x^3+3x^2-18x+8=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Se etter en rasjonell rot

\[x=2:\quad 2\cdot 2^3+3\cdot 2^2-18\cdot 2+8=0\]

Når en enkel verdi gir null, vet vi at \((x-2)\) er en faktor.

Steg 2 — Faktoriser polynomet

\[2x^3+3x^2-18x+8=(x-2)(2x^2+7x-4)\]

Vi deler ut den første faktoren og står igjen med en andregrad.

Steg 3 — Faktoriser andregradsuttrykket

\[2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)\]

Dette gir alle faktorene i polynomet.

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

\[(x-2)(2x-1)(x+4)=0\]

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Steg 5 — Finn løsningene

\[x=2,\qquad x=\dfrac12,\qquad x=-4\]

Dette er alle røttene fordi tredjegradspolynomet har tre lineære faktorer.

Tolkning

Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.

Vanlig feil: Å stoppe etter én rot og ikke finne alle tre løsningene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(2x^3+3x^2-18x+8) → \((x-2)(x+4)(2x-1)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, factor, solve x = symbols("x") expr = 2*x**3 + 3*x**2 - 18*x + 8 print(factor(expr)) print(solve(expr, x))

Fasit: \(x=-4\), \(x=\dfrac12\) eller \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Identitet og koeffisientsammenlikning

Oppgave 4

Oppgave:

Gitt likningen \(a(x+b)^2=x^2+8x+c\). Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen blir en identitet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Utvid venstresiden

\[a(x+b)^2=a(x^2+2bx+b^2)=ax^2+2abx+ab^2\]

For at uttrykkene skal være like for alle \(x\), må koeffisientene være like.

Steg 2 — Sammenlikn koeffisienten foran \(x^2\)

\[a=1\]

Høyresiden har koeffisient \(1\) foran \(x^2\).

Steg 3 — Sammenlikn koeffisienten foran \(x\)

\[2ab=8\Rightarrow 2b=8\Rightarrow b=4\]

Vi bruker at \(a=1\).

Steg 4 — Finn konstantleddet

\[c=ab^2=1\cdot 4^2=16\]

Konstantleddene må også være like.

Steg 5 — Kontroller identiteten

\[(x+4)^2=x^2+8x+16\]

Utvidelsen viser at identiteten stemmer for alle \(x\).

Tolkning

Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen. …