Matematikk 1T Eksamen høsten 2021 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 1T · LK20

Matematikk 1T eksamen Høst 2021 - løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst med håndregning og eksakte verdier. Del 2 viser digitale kontrollspor med GeoGebra/CAS og Python der det er relevant.

Del 1Del 2Kontroll

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 · 2 poeng Lineære funksjoner

Oppgave 1

Oppgave:

Likningen for en linje \(l\) er gitt ved \(y=-2x+9\). En annen linje \(m\) er parallell med linjen \(l\) og går gjennom punktet \((5,-6)\). Bestem likningen for linjen \(m\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk parallellitet

\[a_m=a_l=-2\]

Parallelle linjer har samme stigningstall.

Steg 2 — Sett opp formen

\[y=-2x+b\]

Vi kjenner stigningstallet, men mangler konstantleddet.

Steg 3 — Bruk punktet

\[-6=-2\cdot5+b\]

Punktet \((5,-6)\) må ligge på linjen.

Steg 4 — Løs for \(b\)

\[-6=-10+b\Rightarrow b=4\]

Vi isolerer konstantleddet.

Steg 5 — Skriv likningen

\[y=-2x+4\]

Likningen har riktig stigningstall og går gjennom punktet.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Vanlig feil: Å bruke konstantleddet \(9\) fra den første linjen. Parallelle linjer har samme stigningstall, ikke nødvendigvis samme konstantledd.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Linje((5,-6), Stigning=-2) → \(y=-2x+4\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, solve b=symbols("b") print(solve(-6-(-2*5+b), b))

Fasit: \(m: y=-2x+4\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 · 2 poeng Trigonometri

Oppgave 2

Oppgave:

Om en rettvinklet trekant \(ABC\) får du vite at \(\cos \angle A=\dfrac12\), \(\sin \angle C=\dfrac12\) og \(AB=4\). Bestem \(AC\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Finn vinklene

\[\cos A=\dfrac12\Rightarrow A=60^\circ\]

I en rettvinklet trekant er dette en standard eksakt vinkel.

Steg 2 — Bruk at trekanten er rettvinklet

\[A+C=90^\circ\Rightarrow C=30^\circ\]

De to spisse vinklene i en rettvinklet trekant summerer til \(90^\circ\).

Steg 3 — Plasser siden \(AB\)

\[AB=4\]

Siden \(AB\) ligger mot vinkel \(C=30^\circ\).

Steg 4 — Bruk sinus til \(C\)

\[\sin C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac12\]

Hypotenusen er \(AC\) når vinkelen \(B\) er rett.

Steg 5 — Løs for hypotenusen

\[\dfrac{4}{AC}=\dfrac12\Rightarrow AC=8\]

Siden overfor \(30^\circ\) er halvparten av hypotenusen.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Vanlig feil: Å tro at \(AB\) er hypotenusen. Det er \(AC\) som er hypotenusen når \(B=90^\circ\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 4/AC=1/2 → \(AC=8\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, solve AC=symbols("AC") print(solve(4/AC - 1/2, AC))

Fasit: \(AC=8\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 · 3 poeng Tredjegradslikning

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningen \(x^3+2x^2-7x+4=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Test rasjonelle røtter

\[x=1:\quad 1+2-7+4=0\]

Når koeffisientene er heltall, er \(\pm1,\pm2,\pm4\) naturlige kandidater.

Steg 2 — Del ut faktoren

\[x^3+2x^2-7x+4=(x-1)(x^2+3x-4)\]

Siden \(x=1\) er rot, er \((x-1)\) en faktor.

Steg 3 — Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2+3x-4=(x-1)(x+4)\]

Tallene \(-1\) og \(4\) gir produkt \(-4\) og sum \(3\).

Steg 4 — Skriv full faktorisering

\[x^3+2x^2-7x+4=(x-1)^2(x+4)\]

Dette viser også at \(x=1\) er en dobbelrot.

Steg 5 — Les av løsningene

\[(x-1)^2(x+4)=0\Rightarrow x=1\ ext{eller}\ x=-4\]

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Vanlig feil: Å skrive \(x=1\) bare én gang er greit som løsning, men faktoriseringen bør vise dobbelroten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(x^3+2x^2-7x+4) → \((x-1)^2(x+4)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, factor, solve x=symbols("x") print(factor(x**3+2*x**2-7*x+4)) print(solve(x**3+2*x**2-7*x+4, x))

Fasit: \(x=-4\) eller \(x=1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 · 2 poeng Likningssystem

Oppgave 4

Oppgave:

Vis at likningssystemet ikke har løsning: \[\begin{cases}x^2+2x-y=-1\ x+y=-2\end{cases}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Skriv om første likning

\[x^2+2x-y=-1\Rightarrow y=x^2+2x+1\]

Vi isolerer \(y\) for å sammenlikne de to uttrykkene.

Steg 2 — Skriv om andre likning

\[x+y=-2\Rightarrow y=-x-2\]

Begge likningene er nå skrevet som \(y=\ldots\).

Steg 3 — Sett uttrykkene like

\[x^2+2x+1=-x-2\]

Et skjæringspunkt må ha samme \(y\)-verdi i begge uttrykk.

Steg 4 — Flytt alt til én side

\[x^2+3x+3=0\]

Nå kan vi undersøke om andregradslikningen har reelle løsninger.

Steg 5 — Bruk diskriminanten

\[D=3^2-4\cdot1\cdot3=-3<0\]

Negativ diskriminant betyr ingen reelle \(x\)-verdier.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Vanlig feil: Å stoppe ved en andregradslikning uten å sjekke diskriminanten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs({x^2+2x-y=-1, x+y=-2},{x,y}) → \(\{\}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, solve x,y=symbols("x y") print(solve([x**2+2*x-y+1, x+y+2],[x,y], dict=True))

Fasit: Likningssystemet har ingen løsning. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 · 3 poeng Derivasjon og grafskisse

Oppgave 5

Oppgave:

Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\). Grafen har bunnpunkt \((-2,-11)\) og toppunkt \((4,25)\). Likningen for tangenten til grafen i punktet \((1,7)\) er \(y=9x-2\). Skisser grafen til den deriverte funksjonen, \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Den deriverte er en nedovervendt parabel med nullpunkter i ekstremalpunktene til \(f\), og \(f'(1)=9\).

Steg 1 — Bruk ekstremalpunktene

\[f\prime(-2)=0,\qquad f\prime(4)=0\]

Den deriverte er null i topp- og bunnpunkt.

Steg 2 — Bestem formen

\[f\prime(x)=k(x+2)(x-4)\]

En tredjegradsfunksjon har en andregradsfunksjon som derivert.

Steg 3 — Bruk tangentstigningen

\[f\prime(1)=9\]

Stigningstallet til tangenten i \((1,7)\) er \(9\).

Steg 4 — Finn \(k\)

\[9=k(1+2)(1-4)=k\cdot3\cdot(-3)=-9k\Rightarrow k=-1\]

Dette bestemmer skalaen til parabelen.

Steg 5 — Skriv en mulig skissefunksjon

\[f\prime(x)=-(x+2)(x-4)=-x^2+2x+8\]

Parabelen vender nedover, er negativ før \(-2\), positiv mellom \(-2\) og \(4\), og negativ etter \(4\).

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt. …