Matematikk 1T Eksempeloppgave 2020 – løsningsforslag

Matematikk 1T · LK20

Matematikk 1T eksempeloppgaver Høst 2020 – løsningsforslag

Denne filen inneholder originale, trinnvise ifingo-løsninger til eksempeloppgavene fra fagfornyelsen. Oppgavene er delt etter hovedgruppene i PDF-en, med presis matematikknotasjon, GeoGebra/CAS-kontroll og realistiske Python-eksempler der programmering er relevant.

Hovedgruppe 1 — automatisk vurderte oppgavetyper

Hovedgruppe 1 · Oppgave 1 Geometri · Herons formel

Oppgave 1

Oppgave:

Matematikeren Heron fra Alexandria har fått en formel oppkalt etter seg.

Vi kan bruke Herons formel til å beregne arealet \(T\) av en trekant med sider \(a\), \(b\) og \(c\):

\[T=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\quad \text{der}\quad s=\dfrac{a+b+c}{2}\]

Trekanten \(ABC\) har sider som er 13 cm, 14 cm og 15 cm.

Hvor stort areal har trekanten?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke Herons formel til å finne arealet direkte fra de tre sidelengdene.

Steg 1 — Finn halvomkretsen

Her er \(a=13\), \(b=14\) og \(c=15\). Derfor er

\[s=\dfrac{13+14+15}{2}=\dfrac{42}{2}=21\]

Herons formel bruker halvomkretsen, ikke hele omkretsen.

Steg 2 — Sett inn i Herons formel

\[T=\sqrt{21\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}\]

Vi erstatter hver side med sidelengden fra oppgaven.

Steg 3 — Regn faktorene inni kvadratroten

\[T=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}\]

Dette er arealet i kvadratcentimeter før vi tar kvadratroten.

Steg 4 — Forenkle

\[21\cdot 8\cdot 7\cdot 6=7056\]

Dermed får vi

\[T=\sqrt{7056}=84\]

Tolkning

Arealet av trekanten er \(84\) kvadratcentimeter.

Vanlig feil: Å bruke \(s=13+14+15\) i stedet for halvomkretsen \(s=\dfrac{13+14+15}{2}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 s := (13 + 14 + 15) / 2 → \(21\) 2 sqrt(s (s - 13) (s - 14) (s - 15)) → \(84\)

Python

from sympy import sqrt, simplify a = 13 b = 14 c = 15 s = (a + b + c) / 2 areal = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) print("Halvomkrets s =", s) print("Areal T =", simplify(areal), "cm^2")

Fasit: \(84\,\text{cm}^2\) Få mer forklaring Hovedgruppe 1 · Oppgave 2 Eksponentialmodell · prosentvis endring

Oppgave 2

Oppgave:

Det gjennomsnittlige lufttrykket ved havoverflaten er 1013 millibar.

Toppen av fjellet Mount Everest er 8848 meter over havet.

Når høyden over havet øker, avtar lufttrykket med 12 % per kilometer.

Hvor stort er lufttrykket på toppen av Mount Everest?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal modellere gjentatt prosentvis reduksjon. Siden trykket avtar med samme prosent per kilometer, bruker vi eksponentialmodell.

Steg 1 — Gjør høyden om til kilometer

\[8848\,\text{m}=8{,}848\,\text{km}\]

Prosentendringen er gitt per kilometer, derfor må høyden måles i kilometer.

Steg 2 — Finn vekstfaktoren

Når noe avtar med \(12\,\%\), er vekstfaktoren

\[1-0{,}12=0{,}88\]

Steg 3 — Sett opp modellen

Hvis \(x\) er høyde i kilometer, kan trykket modelleres ved

\[P\left(x\right)=1013\cdot 0{,}88^x\]

Steg 4 — Regn trykket på Mount Everest

\[P\left(8{,}848\right)=1013\cdot 0{,}88^{8{,}848}\approx 326{,}9\]

Tolkning

Med denne modellen er lufttrykket på toppen omtrent \(327\) millibar.

Vanlig feil: Å bruke \(8848\) som eksponent direkte. Eksponenten må være antall kilometer, ikke antall meter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 1013 * 0.88^(8848/1000) → \(326.9\)

Python

from math import pow trykk_havniva = 1013 # millibar hoyde_meter = 8848 hoyde_km = hoyde_meter / 1000 vekstfaktor = 1 - 0.12 trykk = trykk_havniva * pow(vekstfaktor, hoyde_km) print("Høyde i kilometer =", hoyde_km) print("Vekstfaktor =", vekstfaktor) print("Lufttrykk på toppen ≈", round(trykk, 1), "millibar")

Fasit: Omtrent \(327\) millibar Få mer forklaring

Hovedgruppe 2 — oppgaver med forklaring og begrunnelse

Hovedgruppe 2 · Oppgave 3 Geometri · Pytagoras og eksakt verdi

Oppgave 3

Oppgave:

I et kvadrat er diagonalen én enhet lengre enn sidekanten.

Beregn den eksakte lengden til sidekantene i kvadratet. Vis utregning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sidelengden i et kvadrat når diagonalen er én enhet lengre enn siden.

Steg 1 — Sett navn på sidelengden

La sidekanten være \(x\). Da er diagonalen \(x+1\).

Steg 2 — Bruk Pytagoras i kvadratet

Diagonalen er hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter \(x\) og \(x\):

\[x^2+x^2=\left(x+1\right)^2\]

Steg 3 — Utvid og samle ledd

\[2x^2=x^2+2x+1\]

\[x^2-2x-1=0\]

Steg 4 — Løs andregradslikningen

\[x=\dfrac{2\pm\sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-1\right)}}{2}\]

\[x=\dfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}\]

Steg 5 — Velg positiv lengde

Siden en lengde ikke kan være negativ, får vi

\[x=1+\sqrt{2}\]

Tolkning

Sidekanten er \(1+\sqrt{2}\), og diagonalen er \(2+\sqrt{2}\). …