Matematikk 1T Eksamen våren 2023 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 1T

Matematikk 1T eksamen Vår 2023 - løsningsforslag

Komplett bokmålsversjon med Del 1 uten hjelpemidler og Del 2 med hjelpemidler. Løsningene er skrevet trinnvis, med tolkning, vanlige feil og digital kontroll der det passer.

MAT1021 LK20 Udir - Vår 2023 Bokmål

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 løses med eksakte verdier og håndregning. Digitale kontroller er lagt inn som kvalitetssikring i løsningsforslaget. Del 1 · Oppgave 1 Trigonometri og identitet

Oppgave 1

Oppgave:

En rettvinklet trekant har sidelengder 8, 6 og 10. Se figuren til høyre.

Vis at \[\left(\sin u\right)^2+\left(\cos u\right)^2=1\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sidene i den rettvinklede trekanten til å vise identiteten for akkurat denne vinkelen.

Steg 1 - Finn hypotenusen

Den lengste siden er hypotenusen, altså \(10\).

Dette er siden som ligger mot den rette vinkelen.

Steg 2 - Finn motstående og hosliggende katet

For vinkelen \(u\) er motstående katet \(8\), og hosliggende katet \(6\).

Dette leses direkte fra figuren.

Steg 3 - Skriv sinus og cosinus

\[\sin u=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5},\qquad \cos u=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\]

Steg 4 - Kvadrer og legg sammen

\[\left(\sin u\right)^2+\left(\cos u\right)^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}+\dfrac{9}{25}=1\]

Tolkning

For denne trekanten blir summen av kvadratene av sinus og cosinus lik \(1\). Det er den trigonometriske identiteten \(\sin^2 u+\cos^2 u=1\).

Vanlig feil: Å bruke feil katet for \(\sin u\) og \(\cos u\), eller å skrive \(\sin u^2\) uklart i stedet for \(\left(\sin u\right)^2\).

Kontroll (Python)

💻 Python

from fractions import Fraction sin_u = Fraction(8, 10) cos_u = Fraction(6, 10) print(sin_u**2 + cos_u**2)

Fasit: \(\left(\sin u\right)^2+\left(\cos u\right)^2=1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Andregradsfunksjon og nullpunkter

Oppgave 2

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \[f(x)=x^2-2x-8\]

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen \(x\)-aksen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Grafen skjærer \(x\)-aksen der funksjonsverdien er \(0\).

Steg 1 - Sett funksjonen lik null

\[x^2-2x-8=0\]

Skjæringspunkter med \(x\)-aksen har alltid \(y=0\).

Steg 2 - Faktoriser andregradsuttrykket

Vi trenger to tall med produkt \(-8\) og sum \(-2\). Tallene er \(-4\) og \(2\).

\[x^2-2x-8=\left(x-4\right)\left(x+2\right)\]

Steg 3 - Bruk nullproduktregelen

\[\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0\]

Da må minst én faktor være \(0\).

Steg 4 - Løs de to enkle likningene

\[x-4=0\Rightarrow x=4\]

\[x+2=0\Rightarrow x=-2\]

Steg 5 - Skriv som punkter

Punktene på \(x\)-aksen er \(\left(-2,0\right)\) og \(\left(4,0\right)\).

Tolkning

Grafen krysser \(x\)-aksen to steder.

Vanlig feil: Å svare bare \(x=-2\) og \(x=4\), selv om oppgaven spør etter punkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x^2 - 2x - 8 = 0) → \(x=-2\lor x=4\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve x = symbols("x") print(solve(x**2 - 2*x - 8, x))

Fasit: \(\left(-2,0\right)\) og \(\left(4,0\right)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Polynomidentitet

Oppgave 3

Oppgave:

Gitt likningen \[x^3-5x^2-8x+12=\left(x-1\right)\left(x+a\right)\left(x-b\right)\]

Bestem \(a\) og \(b\) slik at likningen blir en identitet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? En identitet betyr at venstre og høyre side skal være like for alle \(x\).

Steg 1 - Faktoriser venstresiden

Vi ser at \(x=1\) er et nullpunkt fordi \(1-5-8+12=0\). Da er \(x-1\) en faktor.

Steg 2 - Del polynomet på \(x-1\)

\[x^3-5x^2-8x+12=\left(x-1\right)\left(x^2-4x-12\right)\]

Steg 3 - Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2-4x-12=\left(x-6\right)\left(x+2\right)\]

Steg 4 - Sammenlikn med høyresiden

\[\left(x-1\right)\left(x+a\right)\left(x-b\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-6\right)\]

Dermed kan vi velge \(a=2\) og \(b=6\).

Steg 5 - Merk om rekkefølgen

Faktorene kan bytte plass, men formen i oppgaven gjør \(x+a=x+2\) og \(x-b=x-6\) naturlig.

Tolkning

Med disse verdiene blir likningen sann for alle \(x\), ikke bare for enkelte løsninger.

Vanlig feil: Å behandle dette som en vanlig likning i \(x\). Her skal vi bestemme parametrene \(a\) og \(b\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) → \(\left(x-6\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

💻 Python

from sympy import symbols, expand x = symbols("x") print(expand((x - 1)*(x + 2)*(x - 6)))

Fasit: \(a=2\) og \(b=6\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Rasjonal funksjon

Oppgave 4

Oppgave:

Nedenfor ser du grafen til en rasjonal funksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\). Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av asymptoter og punkter fra grafen og sette opp et rasjonalt funksjonsuttrykk.

Steg 1 - Les av asymptotene

Grafen har vertikal asymptote \(x=1\) og horisontal asymptote \(y=3\).

Steg 2 - Velg standardform

En rasjonal funksjon med disse asymptotene kan skrives som

\[f(x)=3+\dfrac{k}{x-1}\]

Konstanten \(3\) gir horisontal asymptote, og nevneren \(x-1\) gir vertikal asymptote.

Steg 3 - Bruk et punkt fra grafen

Grafen skjærer \(x\)-aksen ved \(x=2\). Dermed er \(f(2)=0\).

\[0=3+\dfrac{k}{2-1}\]

Steg 4 - Finn \(k\)

\[0=3+k\Rightarrow k=-3\]

Steg 5 - Skriv funksjonen

\[f(x)=3-\dfrac{3}{x-1}\]

Dette kan også skrives som \(f(x)=\dfrac{3x-6}{x-1}\).

Steg 6 - Kontroller med et annet punkt

Ved \(x=0\) får vi \(f(0)=3-\dfrac{3}{-1}=6\), som stemmer med grafen. …